排列数计算器

排列数 P(n, r) = n! / (n − r)! = nPr · 组合数 C(n, r) = n! / (r!(n − r)!) · P(n, r) = C(n, r) · r!

n

池子的大小——一共有多少种不同的东西可以取，最多 1000。这个上限限制的是算术而不是想法：计数随着 n 增长得极快，过了某一点准确值就不再落在这一页能精确表示的整数范围里

r

实际取出几个。不重复时它不能超过 n，因为不可能取出比存在更多的不同东西；一旦允许重复，r 就可以更大，只受「这一页还能精确算到多大的幂」限制

n!

n 的阶乘：n 乘以它下面的每一个整数直到 1。它是把所有东西按顺序取走的计数，也正是除以 (n − r)! 要减掉的那一段

P(n, r)

排列数：第一个位置有 n 种选择，第二个剩 n − 1 种，如此取 r 个位置。这个乘积 n × (n − 1) × … × (n − r + 1) 就是公式里的 n! / (n − r)!

C(n, r)

不计顺序的计数，印在第二行。它把排列数除以 r!，也就是任意一组被选出的东西自己能排出的顺序数——两行之间的全部差别就在这一除

allowRepetition

页面处在两套规则中的哪一套。允许重复时计数变成 n 的 r 次方，因为 r 次取用中每一次都重新面对整个池子；不计顺序那一行则换成多重集的计数

位置有区别时用它：比赛的名次、发出的前三张牌的顺序、密码或车牌、任何换两个位置就是另一个结果的清单。结果是「一组人」时用组合那一行——或者用这一对页面里的另一页——因为那时 r 个东西的两种排法给出同一个答案，而除以 r! 正好就是这个修正。东西取走之后还能再取时打开重复开关：四位密码有 10⁴ 种，因为每一位都是从十个数字里重新取的，而彩票摇出的球不含重复。另外，即使你是冲着第一行来的，也读一眼第二行：两个计数放在一起，是「顺序到底为什么重要」最清楚的说明，因为它们只差一个因子。至于计顺序还是不计顺序，先问一句「把取出的两个东西换个位置，结果会不会变」——会变就是排列，不会变就是组合。

1. 十个里取三个：排列 720 种，组合 120 种

   1. 第一个位置有十种选择，第二个剩九种，第三个剩八种
   2. 相乘：10 × 9 × 8 = 720 种排列
   3. 不计顺序时除以 3! = 6，得 120 种组合
   4. 720 / 120 = 6，正好是 3!

   两行并排就是这一页存在的理由：同样十个东西、同样取三个，计顺序是 720，不计顺序是 120，而两者之比是 3!——也就是三个被取出的东西能排出的顺序数。每当排列与组合看起来对不上，把两个数相除就是最快的检查：商不是某个阶乘，问题就出在题目的设定上，而不是算术上。

2. 八名选手争三个名次

   1. 冠军有八种可能，亚军剩七种，第三名剩六种
   2. 8 × 7 × 6 = 336 种填满领奖台的方式
   3. 不计顺序时，同样这三个人无论怎么排都是同一组：336 / 6 = 56
   4. 换个算法验算：8!/(8−3)! = 40320/120，同样是 336

   这是这个区分最日常的样子：比赛结果是一个排列，因为银牌不是金牌；而「谁晋级」是一个组合，因为晋级的三个人不论谁跑得最快都是这三个人。也留意同一对数字会以两行互换的样子出现在组合数那一页——那是这一对页面在按设计工作，不是内容重复。

3. 按顺序发五张牌

   1. 第一张牌有 52 种选择，第二张 51 种，一直到第五张 48 种
   2. 52 × 51 × 50 × 49 × 48 = 311,875,200 种有序发法
   3. 一手五张牌不计顺序，所以除以 5! = 120
   4. 311,875,200 / 120 = 2,598,960——扑克牌里那个熟悉的数字

   2,598,960 是所有扑克牌概率都要除的那个分母，所以这一格是读者能拿别处见过的数字来对账的地方。它也是最清楚地显示顺序因子有多大的一格：同样五张牌换个次序就是另一种有序发法，却是同一手牌，而两个计数之间的因子是 120 而不是 6。这里的两个计数都是精确值，没有取整。

4. 允许重复的三位数字码

   1. 允许重复时，三个位置各自独立地从十个数字里取
   2. 10 × 10 × 10 = 1000 种数字码
   3. 不计顺序那一行不再是 1000 / 6，因为像 777 这样的码并没有六种不同的排法
   4. 它换成多重集的计数：C(10 + 3 − 1, 3) = C(12, 3) = 220

   这一格有意思的是第二行。东西互不相同时，不计顺序的计数就是排列数除以 r!，但一旦允许重复，这一除就过头了——777 只有一种排法而不是六种——所以页面换了公式而不是继续除。220 是十个数字取三个的多重集个数，也正是这个开关会同时改动两行、而不只是第一行的原因。

两条边界是被拦住而不是被解释掉的，而在数字让你意外之前，两条都值得知道。不允许重复时 r 不能超过 n：从三个不同的东西里取四个，不是一个小概率事件，而是一个做不到的请求，页面会直接指出来，而不是返回 0。池子大小上限是 1000。真正会在实践中撞上的是第二条：排列数是一个增长极快的乘积，而这一页印的是精确整数，不是用科学记数法表示的近似值。过了真实值不再能被精确表示的那条线，它会拒绝作答，而不是印一个末尾几位是错的整数——在这里，一个看起来合理的错数远比一句明确的拒答糟糕，因为那个错数会被抄进依赖它的地方。重复那一支还有一个更小的算术上限：那里的计数是幂，指数很大时同样会溢出。还有两点关于含义。这里两行都不是概率，都是等可能排法的计数；要把计数变成概率，得再除以可能性的总数，而那个总数取决于过程，不取决于这一页上的这对数。另外，这一页没有阶乘、二项式系数或帕斯卡三角的参考表，理由见下面第 5 条问答。

排列数和组合数有什么区别？

排列数计排列，组合数计集合：把选中的两个东西换一下，对排列来说是另一个结果，对组合来说不是。这一页把两个数一起印出来，是为了让这层关系看得见而不是只靠一句话——排列数永远是大的那个，把它除以 r 的阶乘就得到另一行。实践中要问的是位置有没有含义。如果第三个位置与第二个不同，比如比赛名次或按顺序发出的牌，你要的是排列数；如果选中的几个东西可以互换，你要的是组合数。

为什么两行正好差 r 的阶乘？

因为任意 r 个被选出的东西都能排出 r! 种先后，而排列数把每一种先后都算作一个不同的结果。取 r = 3，任意三个东西都能排出六种顺序，所以一种组合对应六种排列，排列数就是组合数的六倍。这也是最快的验算方式：把两行相除，商应该是一个阶乘。如果不是，问题出在设定而不是算术上——最常见的是池子大小或重复开关与实际描述的情形不符。

什么时候同一个东西取两次算两种结果？

恰好是在情形允许它被取两次的时候——那正是重复开关控制的事，而它会同时改动两行，不只是第一行。四位密码每一位都从十个数字里重新取，所以 0000 之类的重复是普通结果，计数是 10⁴；而彩票是把球从桶里拿出来，所以没有号码能出现两次，计数是下降乘积。允许重复时，组合那一行不再是排列数除以 r!，因为像 777 这样的取法只有一种排列而不是六种，页面会把那一行换成多重集的计数。

为什么页面拒绝取走比池子里更多的东西？

不许重复时，r 比 n 大描述的是一个做不到的过程：只有三个东西可用的时候，第四个不同的东西并不存在。页面把这个矛盾报出来，而不是返回 0，因为 0 在别的设定下是一个合法的计数，会被当成一个答案读走。把重复打开，同一个请求就变得再普通不过——三个东西每次取一个、连取五次且允许重复，是 3⁵ = 243 种排列——所以这条限制长在两个设定的组合上，而不是长在 r 单独身上。

为什么这一对页面上都没有帕斯卡三角或阶乘表？

因为这里放一张表看不到你填的那两个数，而人们想要的表——阶乘、二项式系数、帕斯卡三角的各级——是固定小值的一张清单。真放上去，它回答的就是与上面面板不同的问题，有时还会当着人的面和你看的那一行矛盾，那比没有表更糟。面板就是那张表：改 n、改 r、拨一下重复开关，两行都会重算。这一对页面和别的计数工具给出的是同一个判断，而不是一页给表、另一页不给，因为这两页本来就是同一个问题的两个方向。

为什么池子大了就不给答案了？

因为排列数是长长一串整数连乘出来的乘积，而它越过这一页能精确表示的最大整数，比大多数人预想的早得多——19 的阶乘就已经越过了，尽管它只有 18 位数字，看起来并不吓人。过了那一点，页面会拒绝作答，而不是印一个末尾几位是错的数，而那些位数恰恰是一个精确计数的全部价值所在：一个错的整数看起来完全普通，还会被抄进依赖它的计算里。池子上限 1000 是围绕同一件事的另一道、更松的防线——它是在算术还值得一试的规模上把输入拦住。

• GB/T 3358.1-2009《统计学词汇及符号 第1部分：一般统计术语与用于概率的术语》（推荐性国家标准，现行：2009-10-15 发布 / 2010-02-01 实施，采标；该站注明因涉及国际版权不提供在线阅读，全文需另寻） — 国家市场监督管理总局 国家标准全文公开系统
• Permutation — from Wolfram MathWorld（英文原版；把有序列表里的元素重新排布，以及给定规模时排法的计数——本页主结果那一行的定义） — Wolfram MathWorld
• Combination — from Wolfram MathWorld（英文原版；从一堆东西里取若干个而不计顺序的取法数，也叫二项式系数，读作「n 选 k」——本页第二行的定义） — Wolfram MathWorld
• 1.3.6.1. What is a Probability Distribution — e-Handbook of Statistical Methods（英文原版；把概率读成「占多少份」的频率解释，也就是把「等可能排法的计数」变成概率的那一步） — 美国国家标准与技术研究院（NIST）