椭圆计算器
结果
面积
- 周长
- 25.5270 cm
- 离心率
- 0.8000
椭圆计算器收下椭圆的两条轴，回给你三个数：它占多大面积、边缘绕一圈有多长、以及它离正圆有多远。前两个都以厘米给出——面积是平方厘米，周长是厘米——第三个是一个不带单位的纯数，理由下面会说。椭圆是圆在一个方向上被拉长之后的样子，两条轴就是这两个方向。长轴是较长的那一条，从这头穿过中心到那头；短轴是较短的那一条，与长轴垂直。每条轴的一半叫半轴，而这里必须把这个区分说清楚，因为通行的公式是按半轴写的，这一页收的却是整条轴：两个框里填的是卷尺在桌面或跑道上量到的全长，折半这一步页面替你做掉了。面积是三个数里唯一一个人人拿起来就能用的。它等于圆周率乘以两条半轴，稍一留意就会发现这与圆面积是同一个式子——圆本来就是两条轴相等的椭圆。如果你的两个测量值相等，这一页与圆面积页会逐位吻合，这里的一圈长度与那里的周长也会吻合；参考表第一行摆在那里就是为了让你去对这两个数。周长才是需要提醒的那一个。与面积不同，椭圆绕一圈的长度没有初等闭式，它是一条椭圆积分，想要一个数就只能用近似式。这一页用的是 Ramanujan 第二近似，精度足够高，高到任何你用尺子量得出来的椭圆都看不出这四位小数的差别——但它是近似，而且它在两端的行为是有讲究的。两条轴相等时它完全精确，因为式子的两端恰好抵消。短轴趋近于零时椭圆被压扁成一条线段，近似值会略偏小：长轴 10、短轴 0 的椭圆本该是一段长度 20 的来回，这一页印的是 19.992。离心率是第三个输出，也是最多人没料到的那一个。它是一个 0 到 1 之间的数，说的是这个椭圆离正圆有多远：0 就是正圆，越接近 1 越扁。它没有单位，因为它是一个比值——你用厘米量还是用英里量，这个数都一样——页面上因此不给它印单位。三个数的缩放方式各不相同，参考表用一对行把这件事摆出来。两条轴都翻倍，面积变成四倍，周长只翻倍，而离心率一动也不动，因为放大后的椭圆形状没变。照片放大之后内容不变，靠的就是这件事；行星轨道的形状只报离心率、而大小要另报两条轴，靠的也是这件事。有一件事这一页不会替你做：它不替你理顺两个测量值。较短的轴填进了较长的框，页面会指出来然后停下，而不是悄悄对调——会把你的数对调的页面，屏幕上的数与它旁边的标签是对不上的，而你还无从知道这件事发生过。
常见椭圆：由两条轴得到的面积、周长与离心率
| 长轴（厘米） | 短轴（厘米） | 面积（平方厘米） | 周长（厘米） | 离心率 |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 10 | 78.5398 | 31.4159 | 0 |
| 10 | 8 | 62.8319 | 28.3617 | 0.6 |
| 10 | 6 | 47.1239 | 25.527 | 0.8 |
| 20 | 12 | 188.4956 | 51.054 | 0.8 |
| 10 | 4 | 31.4159 | 23.0131 | 0.9165 |
| 10 | 2 | 15.708 | 21.01 | 0.9798 |
| 10 | 1 | 7.854 | 20.3196 | 0.995 |
| 10 | 0 | 0 | 19.992 | 1 |
八个椭圆、五列：两条轴进去，三个数出来。第一行是圆，也是拿去与别的页对账的那一行——10 × 10 的椭圆就是半径 5 的圆，它的面积 78.5398 正是圆面积页印的数，周长 31.4159 正是圆周长页印的数。第二行是更温和的 10 × 8，离心率 0.6，现实里从跑道到椭圆桌，不少东西就是这个形状。第三行是页面打开时的那一组，10 × 6，离心率正好 0.8。第四行是同一个椭圆把两条轴都翻倍，三个数的反应各不相同——面积四倍、周长两倍、离心率不变——这正是离心率要单独报、不跟大小混在一起的全部理由。第五、第六行把同一条 10 厘米的长轴继续压扁到 4 与 2，离心率一路逼近极限，而周长几乎不动。最后一行是退化成一条线段的那一档：面积为零、离心率到了极限 1，而周长那一列印的是 19.992，真值却是整整 20——这是近似式在整张表上误差最大的一处。注意最后两行的一圈长度几乎一样——20.3196 与 19.992——一个是很扁的椭圆、一个是直线段，因为图形一旦够扁，周长就不再跟着短轴变了。
公式
A ＝ πab P ≈ π（a ＋ b）·（1 ＋ 3h ÷（10 ＋ √（4 − 3h））） e ＝ √（1 − b² ÷ a²）
- a
- 长轴的一半，也就是半长轴。这一页收的是整条长轴、然后替你折半，因为卷尺给出的就是全长；公式按半轴写，是因为它历来就是这么写的
- b
- 短轴的一半，也就是半短轴。当 b 与 a 相等时这个椭圆就是圆，面积公式也就塌回熟悉的 πr²，r 取任意一条半轴都一样
- πab
- 面积。与下面的周长不同，它是精确值——两条半轴相乘再乘圆周率，想要几位就能算到几位
- h
- 两条半轴差多少的一个量，算法是「差除以和」再平方。正圆时它是 0，越扁越接近 1，而周长那个近似式就是架在它上面的
- P
- 椭圆的周长，单位是厘米。它没有初等闭式，所以这里是 Ramanujan 第二近似：两轴相等时精确，短轴趋近于零时略偏小
- e ＝ √（1 − b² ÷ a²）
- 离心率，一个 0 到 1 之间的纯数，没有单位。正圆是 0，越扁越接近 1，天文学与光学报的都是它——那里只关心形状，不关心大小
- 四位小数
- 读数印出来的宽度。面积底下是精确值，周长底下是近似值，而离心率是一个比值，在接近正圆的椭圆上它前几位数字就载着几乎全部信息
凡是椭圆的实物要量，都是最直白的用场：一张其实并不圆的圆桌、一面椭圆的镜子或一块椭圆的地毯、一个由两条直道和两个弯道描述出来的跑道、一张椭圆会议桌、一个两头收圆的泳池、以及开椭圆孔的相框或卡纸。这些场合里，面积是算用料与遮盖要用的那个数，而一圈长度是买边框、包边、镶条与沿边料时按长度算的那个数。园林与施工里，它是椭圆花坛、弧形铺装、椭圆露台，以及任何用「两枚钉子之间绷一根绳」画出来的形状——那正是椭圆在地上放样的标准做法。制造业里，它是椭圆手孔、椭圆管、被压扁的管子，以及任何被拉伸或冲压成椭圆的截面；那里离心率有用，是因为两个面积相同的椭圆形状可以明显不同，而只有一个能配得上给定的接头。天文学里离心率是最要紧的那个数：行星轨道都是以太阳为一个焦点的椭圆，离心率说明每条轨道有多接近正圆，地球是 0.0167，彗星则大得多。光学里它用在望远镜中折转光路的椭圆平面反射镜上，镜子的两条轴由它的倾角定出来；医学里它用在血管与心腔的截面上，也用在放疗的椭圆照射野上。统计学里它是置信椭圆的样子，两条轴来自两个标准差，面积给出覆盖率。课堂上，它演示的是「圆只是某个更一般的东西的特例」：把一圈绳套在两枚图钉上、用笔绷紧了画一圈，图钉分开时形状会变，而周长始终等于那个绳圈——这件事本身就值得留意。日常算术里，它回答的是椭圆地毯够不够盖住地面、椭圆桌布要多少布、以及椭圆花坛的沿边要买多长。
算例
长轴 10、短轴 6 的椭圆
- 两条轴各折半：半长轴是 5，半短轴是 3
- 面积：π × 5 × 3 ＝ 47.1239 平方厘米
- 离心率：√（1 − 3² ÷ 5²）＝ √0.64 ＝ 0.8
- 周长：h ＝（（5 − 3）÷（5 ＋ 3））² ＝ 0.0625，代入得 π × 8 × 1.0157… ＝ 25.527 厘米
页面打开时就是这一组，选它是因为离心率正好落在 0.8——一个读者能手算核对的数，也是说明这个量在讲什么最干净的一档。算例第一步就是折半，而这一步正是两个框藏起来的那一步：把 10 与 6 直接相乘再乘圆周率会得到四倍面积，那是这一页最常见的错。
同一个椭圆放大一倍：20 × 12
- 两条轴各折半：10 与 6
- 面积：π × 10 × 6 ＝ 188.4956 —— 是上一例的四倍
- 离心率：√（1 − 36 ÷ 100）＝ 0.8，没变
- 周长：51.054 —— 是上一例的两倍
两条轴都翻倍，三个数的反应各不相同。面积变成四倍，周长只翻倍，而离心率一动也不动。形状其实一点没变，这正是离心率在说的话——它描述的是比例不是大小，所以比较轨道形状时用的就是它。
伪装成椭圆的圆：10 × 10
- 两条轴各折半：半轴都是 5
- 面积：π × 5 × 5 ＝ 78.5398 平方厘米
- 离心率：√（1 − 25 ÷ 25）＝ 0
- 周长：近似式在此成为 π × 10 × 1 ＝ 31.4159 厘米
两条轴相等的椭圆就是圆，而这一行可以拿去和另外两页对账。10 × 10 的椭圆就是半径 5 的圆：78.5398 正是圆面积页对那个半径印的数，31.4159 正是圆周长页与两向换算页印的数。周长近似式在这里也是精确而不是接近，这是当初挑中它的两个理由之一。
很扁的椭圆：10 × 2
- 两条轴各折半：5 与 1
- 面积：π × 5 × 1 ＝ 15.708 平方厘米
- 离心率：√（1 − 1 ÷ 25）＝ 0.9798
- 周长：21.01 厘米 —— 只比沿长轴来回的那条 20 长出约二十分之一
离心率 0.9798 已经很靠近极限，而这一档要说明的是：离心率不是任何一个量的百分比。最长的方向只有 10，绕一圈却有 21.01，这说明一个很扁的椭圆比它正在退化的那条直线长不了多少——多出来的是百分之五，不是一半。
完全压扁：10 × 0
- 两条轴各折半：5 与 0
- 面积：π × 5 × 0 ＝ 0 —— 图形已经塌成一条线段，什么也没盖住
- 离心率：√（1 − 0 ÷ 25）＝ 1，到了极限
- 周长：19.992 厘米 —— 近似式唯一的缺口就在这里露出来
页面把话说到底的这一档。短轴为 0 时椭圆就是一段长度 10 的线段，真正的一圈是 20——沿半长轴去一趟再回来。近似式印的是 19.992，少了 0.008。这就是用公式代替椭圆积分的全部代价，也是近似式在整页上误差最大的一处。
局限
这一页只由两条轴算椭圆，别的都不做：不反推（给面积或周长求轴），不给焦点与焦距，不给某点处的切线与法线，也不画图。两条轴都必填，而且较短的那一条必须填在短轴框里；把较长的数填进去，页面会告诉你较长的那一条属于长轴框，而不是悄悄对调。两条轴允许相等，那就是一个圆；也允许都是 0，那是一个点。两条都不允许为负。周长是近似值，不是精确值——用的是 Ramanujan 第二近似，两轴相等时精确，短轴趋近于零时略偏小，长轴 10、短轴 0 时印 19.992，而真值是 20。对于任何你真量得出来的椭圆，误差到不了印出来的第四位小数；而这一页也没法给出更准的数，因为精确的周长是一条椭圆积分。离心率没有单位，它是两个长度之比，无论用什么单位量结果都一样；在它旁边印出单位的都是错的。两个框都收厘米、米、毫米、英寸或英尺，而两个带厘米的输出一律按厘米给出，与填进去的单位无关——换算发生在进去的那一步；按英寸量的面积要按长度换算系数的平方换算，除的是 6.4516 而不是 2.54。四位小数是显示宽度，不是「这个数精确」的声明；另外要记住，在接近正圆的椭圆上离心率很小，它前几位数字几乎载着全部信息。这一页不处理旋转过的椭圆，也不处理并不是真椭圆的椭圆形——鸡蛋形与体育场形看着都像椭圆，两个都不是。
常见问题
- 两个框填的是整条轴还是半轴？
- 整条轴——卷尺从椭圆这头量到那头得到的数。公式用的是每条轴的一半，所以折半这一步页面替你做掉了；要是把框改成收半轴，就等于要求你先把自己的测量值除以二再填进来。这是整页算术里唯一藏起来的一步，所以每个算例都从「两条轴各折半」写起。
- 周长为什么不是精确值？
- 因为椭圆绕一圈的长度没有初等闭式，它是一条椭圆积分，这一点绕不过去。页面用的是 Ramanujan 第二近似：两轴相等时它完全精确，椭圆越扁它越偏小，最极端的一档——长轴 10、短轴 0——印的是 19.992，而真值是 20。对任何你用尺子量得出来的椭圆，这个差别到不了印出来的第四位小数。
- 离心率到底在说什么？
- 说的是这个椭圆离正圆有多远，用一个 0 到 1 之间的数表示。0 是正圆，越扁这个数越大。它没有单位，因为它是两个长度之比，你用厘米量还是用英里量它都一样——这也是为什么比较行星轨道的形状时用它：那些轨道的尺寸差着好几个数量级，形状却可以放在一起比。
- 为什么把两条轴翻倍，面积变了而离心率没变？
- 因为离心率说的是形状，面积说的是大小，而两条轴一起翻倍只改变了后者。翻倍之后面积变成四倍、周长只翻倍，离心率却停在原地。放大后的椭圆还是同一个形状，而那个用来描述形状的数自然没有理由动。
- 我把较长的那个数填进了短轴框，为什么是报错而不是自动对调？
- 因为对调之后，屏幕上的数与它上面那个框的标签就对不上了，而你还无从知道这件事发生过。页面告诉你较长的那个数该填在哪个框里，决定权留给你——改一个框就对了，而它始终是你的测量值，没有变成页面替你编的数。
- 这一页与圆面积那一页是一回事吗？
- 两条轴相等的椭圆上，两页逐位相同，参考表第一行就是这一档：10 × 10 的椭圆就是半径 5 的圆，两页的面积都印 78.5398，绕一圈都印 31.4159。换成别的椭圆，圆面积那页就完全用不上了——圆只有一个测量值，椭圆有两个。
参考资料
- Ellipse——这条曲线本身，包含半长轴与半短轴、面积 πab，以及把周长写成第二类完全椭圆积分并给出 Ramanujan 两个近似式的那一段 — Wolfram MathWorld（美国）
- Eccentricity——离心率这个数是什么意思，以及它如何从正圆的 0 一路走到完全压扁时的 1 — Wolfram MathWorld（美国）
- Circle——椭圆在两条轴相等时退化成的那个形状，也是参考表第一行能与本站另两页对上账的原因 — Wolfram MathWorld（美国）
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；圆与椭圆的认识是义务教育阶段数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部