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CalcMax

实际利率计算器

范围：0 – 50

范围：1 – 365

结果

5.122%

有效年利率（APY，%）

期利率
0.20833%
连续复利上限（%）
5.127%
高出名义年利率的部分（%）
0.122%

实际利率计算器（effective interest rate，也就是有效利率）做的是邻居们做不到的一件事：它接受一年 1 到 365 次之间的任意整数复利次数。填 26 就是双周计息，填 52 就是每周计息，填 3 就是一个不对应任何日历的频率，页面给出这个次数对应的期利率、它复利一年得到的有效年利率、相对你填的名义年利率多出的部分，以及这些数共同趋近的连续复利上限。最后那个数才是这一页值得来的理由。名义 5% 一年复利一次就是 5%，按月 5.116%，按周 5.125%，按日 5.127%，而连续复利上限是 5.1271%——也就是说，从「一年 365 次」到「无限多次」这一段，只值万分之四个百分点。这就是整个关系的形状，而只有当频率是一个你能自由填的数字、而不是下拉框里六个标签之一时，它才看得见。次数在低端最要紧，而低端恰好也是固定档位最稀疏的地方：按年 5%、按半年 5.062%、按季 5.095%、按月 5.116%，相邻两档之间只差 0.062、0.033、0.021 个百分点。下拉框给不出的次数，恰恰是人们真的在用的那些：双周还款的房贷、每周结息的储蓄产品，一年复利 26 次或 52 次，这两个数都不在标准清单上。填 26 得 5.122%，填 52 得 5.125%，落在按月与按日之间，正是它该在的位置。中文读者还多一层要分清的东西：单利与复利不是同一种账。存 100 元、年利率 5%，按单利两年取出是 110 元，按复利是 110.25 元——多出来的 0.25 元就是第一年那 5 元利息在第二年也生出来的利息。本页的期利率那一列是单利的口径（名义年利率除以次数），有效年利率那一列是复利的口径（每一次的利息并进余额再生息）。中国人民银行公告〔2021〕第 3 号要求的正是把这个年化数明示出来，并允许用复利（内部收益率法）或单利计算、采用单利的必须说明——本页的两个数就是这两种口径各一个。还有一处分母不同：央行计结息通知里的换算公式是日利率＝年利率÷360，而本页把「按日」理解为一年 365 次；同一个日利率，两边折出来的年化数不一样（银发〔2005〕129 号）。最后，本页在邻居之间的位置取决于你手上有什么：有余额和六档频率用 APY 那一页，有每一期的期利率用 EAR 那一页，而这个次数是你自己填的，就用这一页。

5% 一年，按七个不同的次数复利

每年复利次数期利率有效年利率高出名义年利率的部分
1550
22.55.0620.062
41.255.0950.095
120.416675.1160.116
240.208335.1220.122
520.096155.1250.125
3650.01375.1270.127

第一列是次数而不是名称，正因如此这张表才能列出 24 和 52——半月与每周这两种六项频率清单够不到的安排。第二列掉得很快：5% 切成一份还是 5，切成十二份是 0.41667，切成 365 份是 0.0137，而这个「切」正是第三列往上走的来源。把第三列和它头顶那个 5 对照着读，增量依次是 0.062、0.033、0.021、0.006、0.003、0.002——每一步都比上一步小，这就是整张表的形状。等到次数到 52 的时候，这个利率下复利能做的事已经做完了几乎全部；365 那一行只比 52 那一行多 0.002，而连续复利上限又只比 365 多 0.0001。第四列是同样信息换一种说法：如果你在判断「换个频率值不值得」，看的就是它——5% 上，换任何一档频率都不太值钱。

公式

有效年利率 = (1 + 名义年利率 ÷ 复利次数)^(复利次数) − 1 期利率 = 名义年利率 ÷ 复利次数 连续复利上限 = e^(名义年利率) − 1

名义年利率
复利还没作用上去的那个年利率，也是本页与 APY 那一页共有的输入；「多出多少」那一列就是拿这个数当基准量的
每年复利次数
1 到 365 之间的任意整数：1 是按年、12 是按月、26 是双周、52 是按周、365 是按日。这个字段就是本页与邻居的分界，因为它是一个数字而不是清单里的一个选项——双周计息在六个选项的频率下拉框里根本没有位置
期利率
名义年利率除以次数，也就是每一步复利实际用的那个利率，同时也是信贷披露会「再乘回去」得到年化数的那个利率
有效年利率
这个期利率复利一年之后的结果，是比较两个账户时该用的数；当次数是 365 时，它就是存款披露里那个 annual percentage yield
高出名义年利率的部分
有效年利率减名义年利率，也就是把复利用百分点表示出来。它随次数上升，但随利率上升得快得多，而它的上限就是连续复利
连续复利上限
次数无限增大时有效年利率的极限：自然对数的底 e 的名义年利率次方再减一。它是第四列的天花板，也是「次数超过 365 就没意义」这件事的依据

当复利安排是一个数字而不是一个名字时用它。最常出现的两种是每周与双周：每周结息的储蓄产品一年复利 52 次，双周还款的贷款或账户一年复利 26 次，而这两个都不是六项频率清单能给出的选项。第二种用法是核对别人的算术：一个报出 5.116% 的收益率，如果是 12 次复利算出来的，那么这个账户实际用的就是按月，不管宣传语怎么写。第三种用法是让面板上那个连续复利上限发挥作用：它回答「在你被提供的频率之上，还剩下多少空间」。名义 5% 时，按日复利离上限只差 0.0004 个百分点，所以在这个利率上宣称连续复利的产品，实际给的几乎就是按日复利的钱；到 50% 时差距大一些（一年 365 次是 64.816%，连续是 64.872%），但也不过百分之六，因为指数很快就被压平了。有一件事要记牢：本页把年化做了两次——期利率那一列是线性的，有效年利率那一列是复利的。线性那一列是信贷披露的惯例，它不算错，但说不出「这一年到底值多少」；有效年利率才是回答这个问题的。拿一笔按年报价 12% 的贷款去和一个月息 1% 的账户比，正是本页第四列能了结的那种比较。中文语境下还要把分母说清：本页的「按日」是一年 365 次，而中国计结息口径的日利率是年利率除以 360，同一个日利率在两套口径下折出的年化数不同。

算例

  1. 5% 一年复利 24 次

    1. 期利率：5% ÷ 24 = 每期 0.20833%
    2. 有效年利率：1.0020833²⁴ − 1 = 5.1219%，印作 5.122%
    3. 高出名义年利率的部分：5.122% − 5% = 0.122 个百分点
    4. 连续复利上限：e^0.05 − 1 = 5.1271%，印作 5.127%

    默认算例，也是一个下拉框给不出的次数：一年 24 次相当于半月一结，它落在按月（5.116%）与按周（5.125%）之间，正是算术上该在的位置。连续复利上限只比它高 0.005 个百分点，这就是本页反复在说的那件事——在普通利率上，等你走到「一个月两次」的时候，复利能给的已经给得差不多了。

  2. 同样 5%，改成每周复利（52 次）

    1. 期利率：5% ÷ 52 = 每周 0.09615%
    2. 有效年利率：1.0009615⁵² − 1 = 5.1246%，印作 5.125%
    3. 高出名义年利率的部分：5.125% − 5% = 0.125 个百分点
    4. 连续复利上限：e^0.05 − 1 = 5.1271%，印作 5.127%

    每周复利——这一页存在的理由：52 不在任何标准下拉框里，而它给出的答案离按日（5.127%）比离按月（5.116%）更近——多出 0.125 个百分点，对比按月的 0.116，差千分之九个百分点。同样利率下要在「每周结息」和「每月结息」之间选，实际是在 5.125% 与 5.116% 之间选；而利率本身多零点一个百分点，就值这个差的十倍。

  3. 36% 按月复利：多出的部分不再是个小数

    1. 期利率：36% ÷ 12 = 每月 3%
    2. 有效年利率：1.03¹² − 1 = 42.576%
    3. 高出名义年利率的部分：42.576% − 36% = 6.576 个百分点
    4. 连续复利上限：e^0.36 − 1 = 43.333%

    同样是按月复利，5% 时多出 0.116 个百分点，36% 时多出 6.576 个百分点——利率大了七倍，多出的部分大了五十七倍，这就是那个平方关系在起作用。这也是为什么月息 3% 不能只说成「年息 36%」：这一年实际是 42.576%，差出来的那 6.576 个百分点比大多数人在意的费用都大。

局限

它假定名义年利率整年不变、而且次数就是这个账户真的在用的那个。利率会重定价、优惠期会结束、结息方式跟着余额档位变的账户，这几个数都只是快照而不是对一年的描述。它假定次数是整数，所以输入上限是 365 并且拒绝小数——但真实账户并不总是按固定次数复利：按每月实际天数计息的账户，平年是 365 次、闰年是 366 次；而按 360 天年计息的账户（中国计结息口径就是如此），与本页根本对不上，因为分母本来就不同。它不考虑存入与支取，描述的是一笔不动的钱而不是某个人的一年。它不含费用，而费用正是这个有效年利率与贷款上的年化利率（APR）之间的全部差别。它印出的连续复利上限是数学天花板而不是谁真的会付的利率，没有机构按连续复利计息；它之所以在面板上，是因为它是回答「还剩多少复利空间」的那个数，而在普通利率上答案是几乎没有。最后，它不是一份披露：存款账户挂出来的收益率是按规则原文算的，其中包括分层利率、阶梯利率和一年以上定期账户的特殊处理，这些本页都没有实现。

常见问题

有效利率（实际利率）是什么？
它是名义年利率按某个频率复利之后得到的年利率。名义 5% 按月复利就是 5.116% 的有效利率，因为每个月记进来的利息在剩下的月份里自己也在生息。有效利率永远不小于名义利率，两者的差就是复利——所以比较账户要看有效利率，而报价时人们报的往往是名义利率。中文里这两个名字指的是同一个东西：tools.json 里叫实际利率，输出标签叫有效年利率。
为什么这里填次数而不是选频率？
因为人们真正在用的频率并不总是在清单上。每周复利一年是 52 次，双周是 26 次，这两个数都不在标准的六项频率选择器里。填次数还能回答清单回答不了的问题：一年复利 3 次会怎样、某个不规则安排折算下来是多少，以及你手上这个次数离连续复利上限还差多少。
连续复利上限有什么用？
它是次数不断增大时有效利率趋近的天花板：e 的名义年利率次方减一。5% 时它是 5.1271%，而按日复利（365 次）已经到 5.127%，离它只差万分之四个百分点。所以这个上限不是谁真的会提供的产品，它的用处是告诉你：在按日复利之上几乎已经没有东西可拿了，至少在普通利率上是这样。
复利次数的影响有多大？
比利率的影响小得多。名义 5% 时，从按年到按月多 0.116 个百分点，从按月到按周多 0.009，从按周到连续复利上限多 0.002。但多出来的部分随利率的平方增长：36% 按月复利多的是 6.576 个百分点。所以高利率产品才需要在意频率，低利率产品不必——5% 上利率多零点二五个百分点，比换任何一档频率都值钱。
期利率就是每一期真正收取的利率吗？
它是线性的切法：名义年利率除以次数。在信贷披露里这是惯例，把期利率再乘回次数就能精确还原名义年利率。但它不是等效利率——5% 切成十二份是每月 0.41667%，而 0.41667% 复利十二次得到的是 5.116%，不是 5%。期利率那一列与有效利率那一列，就是这件事的两半：一半是单利的写法，一半是复利的写法，公告〔2021〕第 3 号要求把用的是哪一种说明白。
次数可以大于 365 吗？
数学上可以，但没有意义，这一页也不允许。一年 500 次时有效利率是 5.1270%，而连续复利上限是 5.1271%——比按日复利高出不到千分之一个百分点。没有任何产品比按日更频繁地计息，输入停在 365 是因为再往上答案就不动了。

参考资料

相关计算器

APY 计算器由名义利率算年化百分比收益率。EAR 计算器由名义利率与复利次数算实际年利率。期利率计算器由名义年利率算出每期适用的利率。复利计算器看存款按任意复利频率增长到多少。