EAR 计算器
结果
有效年利率（APY，%）
- 名义年利率（%）
- 12.000%
- 与有效年利率之差（%）
- 0.683%
EAR 计算器从对账单停下的地方接着算：手上是每一期真正被收取的那个利率。填上「每月 1%」，或者「每日万分之五」，再说一年有多少个这样的期，页面给出三个数——期利率复利一年后的有效年利率、期利率乘以一年期数得到的名义年利率，以及两者之间差了几个百分点。最后那个数才是值得看的地方。一张每月收 1% 的卡，按披露惯例说的年利率是 12%，而按「一年下来实际付了什么」说，是 12.683%，因为每个月的利息会并进下个月计息的余额里。这中间的 0.683 个百分点就是复利。期越短，它长得比大多数人以为的快：名义年利率都是 18.25% 时，按日计息（每日万分之五）复利一年是 20.016%，比名义高出 1.766 个百分点——而如果换成中国的口径，这同一个「日万分之五」折成年化是 18%，不是 18.25%，因为央行计结息通知里的换算公式是日利率＝年利率÷360（银发〔2005〕129 号）。这三套数字不是谁算错了，是分母和口径不同：18% 是 ÷360 的单利折年，18.25% 是 ÷365 的单利折年，20.016% 是把每一天的利息都并进余额后复利出来的。中文读者手边就有一个真实的例子。按银发〔2016〕111 号，信用卡透支利率的上限是日利率万分之五、下限是其 0.7 倍，发卡机构在这个区间内自主定价，计结息方式也由发卡机构自定。而这正是本页默认的那一档输入：日利率 0.05%。中国人民银行公告〔2021〕第 3 号要求贷款产品明示年化利率，并允许用复利（内部收益率法）或单利计算、选单利的必须说明——本页面板上那两个数，恰好就是这两种口径：名义年利率是单利折年，有效年利率是复利折年。公式本身与存款披露用的那条是同一个：期利率加一，乘方到一年期数，再减一；同一个量在存款侧的名字是 annual percentage yield（有效年利率）。关于输入有两点要说清。这一页不提供连续复利，这不是漏了一档：期利率预设了「期」的存在，当复利从不间断时就不存在「每一期收多少」这个东西——连续复利会作为输出出现在那一页以名义年利率为输入的页面上。下拉框停在第 5 档而不是第 6 档，也是同一个理由。最后，本页在邻居之间的位置取决于你手上有什么：有对账单就有所在期的期利率，用这一页；有广告就是名义年利率加一个复利频率，用 APY 那一页；而如果手上那个复利次数是下拉框给不出的数字——26、52——就用实际利率那一页，它接受 1 到 365 的任意整数。
按月复利，从每月 0.1% 到每月 2%
| 期利率 | 名义年利率 | 有效年利率 | 与有效年利率之差 |
|---|---|---|---|
| 0.1 | 1.2 | 1.207 | 0.007 |
| 0.25 | 3 | 3.042 | 0.042 |
| 0.5 | 6 | 6.168 | 0.168 |
| 1 | 12 | 12.683 | 0.683 |
| 2 | 24 | 26.824 | 2.824 |
这张表每一行都是按月复利，所以第二列就是第一列乘以十二，整张表可以读成同一个问题：在这个期利率上，「把利率写成一年」这个惯例藏了多少？每月 0.1% 时答案是 0.007 个百分点，每月 2% 时是 2.824——差距大致随利率的平方增长，所以最后一行的差是倒数第二行的九倍而不是两倍。这就是读表而不只算一次的意义：在人们觉得「很小」的利率上复利项几乎看不见，在人们觉得「很大」的利率上它占主导，而它从可以忽略变成不可忽略的那个位置，就在这五行中间的某处。第一列是输入，第四列才是这一页真正要回答的问题，只想看两列的读者该看这两列。
公式
有效年利率 = (1 + 期利率)^(一年期数) − 1 名义年利率 = 期利率 × 一年期数
- 期利率
- 每一期实际被收取或记入的利率，也就是对账单上写的那个数、复利每一步用的那个数——每月 1%、每月 0.5%、每日万分之五。它是本页与邻居分界的那个输入：那两页从年化数出发做除法，本页从一期出发做乘法
- 一年期数
- 一年里有多少个这样的期：按年 1、按半年 2、按季 4、按月 12、按日 365。它既是复利里的那个指数，也是名义年化时的那个乘数
- 有效年利率
- 期利率复利一年之后，这一年实际付出或赚到的比率——永远不小于名义年利率，而期越短两者差得越多
- 名义年利率
- 期利率乘以一年期数，也就是信贷披露所用的那种年化，也是被问「这卡一年多少」时多数人会报出来的数。它完全不含复利，所以它印在有效年利率旁边，而不是替代它
- 两者之差
- 有效年利率减名义年利率，也就是把复利本身用「个百分点」表示出来。这个数说的是「把利率写成一年」这个惯例藏了多少东西
手上的利率是「每一期」而不是「每年」时用它，实际场景基本就是读数对账单而不是看广告。一张写「每月 1%」的信用卡、一张写「每日万分之五」的透支利率、一个每季记息 0.25% 的账户，这些都是期利率；把它们乘以 12 或乘以 4 得到的年化数，会低估这一年真正的成本，而「两者之差」那一列就是这个低估的幅度。它有两个用处。一是告诉你该报哪个数：一张每月 1% 的卡，说 12% 是惯例、说 12.683% 是实话，而当它要和一笔按年报价的贷款放在一起比时，该用的是第二个。二是告诉你复利什么时候不再是细节：名义 6% 按月时差 0.168 个百分点，名义 18.25% 按日时差 1.766 个百分点，而每日万分之五（名义 182.5%）的有效年利率是 517.465%，差 334.965 个百分点——到这个量级，差的那部分不再是细节，它就是全部成本。这一页也常常是另一个方向上的第一步：期利率那一页拿名义年利率去切，本页拿切好的期利率合回去，两个都跑一遍同一组数，就能看出「切」与「合」并不是互逆的——6% 切成每月 0.5%，再复利合回去是 6.168%，不是 6。中国的口径还要多看一层：本页的期利率按 365 天折年，而央行的换算公式是日利率＝年利率÷360，所以同一个日利率在两个口径下的年化数不同，比较时要把分母说清。
算例
每日万分之五：中国信用卡透支利率的上限
- 一年期数：365
- 名义年利率（本页口径，×365）：0.05% × 365 = 18.25%
- 按央行计结息口径折年（÷360）：0.05% × 360 = 18%（同一套口径下的另一个数）
- 有效年利率：1.0005³⁶⁵ − 1 = 20.0156%，印作 20.016%
- 两者之差：20.016% − 18.25% = 1.766 个百分点
银发〔2016〕111 号规定信用卡透支利率的上限就是日利率万分之五（下限是其 0.7 倍），所以这一格不是假想出来的例子。三件事值得对照着看：万分之五听起来比「年化 18%」小得多，而它们本来就是同一件事的两种写法（0.05% × 360 ＝ 18%）；本页给出的名义年化是 18.25%，因为它按 365 天折，这是《规章 DD》那条 365 天年的口径；而一旦把每天记出来的利息并进余额再复利，一年变成 20.016%，比名义高出 1.766 个百分点。中国人民银行公告〔2021〕第 3 号要求的正是把这个年化数明示出来，且允许复利（内部收益率法）或单利两种算法——单利的那个就是 18% 或 18.25%，复利的那个是 20.016%。
每月 1%：最常见的对账单写法
- 一年期数：12
- 名义年利率：1% × 12 = 12%
- 有效年利率：1.01¹² − 1 = 12.6825%，印作 12.683%
- 两者之差：12.683% − 12% = 0.683 个百分点
默认算例，也是大家都见过的那一种。12% 是披露惯例给出的数，12.683% 是一年不还款的实际成本。那 0.683 不是手续费也不是罚息，它就是「利息的利息」——只要余额被留在账上继续计息，它就会出现；反过来，每月全额还款的人这两个数都碰不到，因为没有余额可供复利。
每年 4%、每半年计息一次
- 一年期数：2
- 名义年利率：2% × 2 = 4%
- 有效年利率：1.02² − 1 = 4.04%
- 两者之差：4.04% − 4% = 0.04 个百分点
债券是这一档输入最常见的来源：票面 4%、每半年付息一次，就是每半年拿 2%，如果利息按期再投，一年是 4.04% 而不是 4%。0.04 个百分点很小，但它是「同样票面的半年付息债券与年付息债券不是同一个投资」的原因——后者一年只付一次，也就只复利一次。
局限
它假定这个期利率整年不变。浮动利率、只在前几个月优惠的利率、跟着某个基准调整的利率，都会让有效年利率变成「今天这个利率」的陈述而不是这一年的陈述；在一张利率可以变的卡上，差的那一列描述的是一段不会发生的年份。它假定每一期一样长。一年 365 天除不出整数个月，按实际天数计息的账户与按十二个等长月份计息的账户会有细微出入；按 360 天年（中国计结息口径）计息的账户同样对不上，因为分母本来就不同。它不问你余额是怎么来的。复利只发生在被留下的余额上：刷卡后每月全额还款，有效年利率和那个差额都与你无关，因为没有东西可以复利。它也不是年化利率（APR）：APR 把期利率线性年化并且计入费用，而本页把同一个期利率年化了两次——一次线性、一次复利——两次都不加费用。最后，它不是一份披露：当期限是一年时，有效年利率与存款披露里的 APY 是同一个量，所以同利率同频率下存款披露上的收益率应当与本页第一个输出一致；而信贷披露上的 APR 不会一致，因为它建立在本页第二个输出那种线性年化之上。
常见问题
- 有效年利率是什么？
- 它是每期收取的那个利率在一年里累积成的实际比率，前提是每一期的利息自己也要计息。每月 1% 不是一年 12%，而是 12.683%，因为第二个月是在「本金加第一个月利息」上计息的。有效年利率就是把这个过程算进去的那个数；名义年利率是期利率乘以十二，是披露惯例给出的、不含复利的那个数。
- 从期利率怎么算有效年利率？
- 把期利率加一，乘方到一年期数，再减一。每月 1% 就是 1.01 的十二次方减一，等于 0.126825，也就是 12.683%。这也正是存款账户算 APY 的那条公式——期限为一年时两者是同一个量，而本页的输入正是你读数对账单时会有的那一组。
- 为什么没有连续复利这一档？
- 因为期利率需要「期」存在。连续复利是期长趋近于零时的极限，那时并不存在「每一期收多少」这个数；有效年利率本身仍然存在，它会作为连续复利上限出现在那一页以名义年利率为输入的页面上。本页的频率停在第 5 档，第 6 档的缺席是输入性质决定的，不是少做了一个功能。
- 名义年利率和年化利率（APR）是一回事吗？
- 算法相同——都是期利率乘以一年期数——但 APR 还要把费用算进去，而本页一分费用都不加。没有费用的贷款上两者一致，所以本页这个名义数可以用来核对信贷披露。有手续费的贷款，APR 会高于本页印出的名义年利率，差额就是那笔费用。中国的口径里，公告〔2021〕第 3 号要求的「年化利率」正是把利息与直接相关费用一起算进去的那个数，所以它更接近 APR 而不是本页的名义年利率。
- 两个利率之间的差会随利率变大吗？
- 会，而且很快。名义 6% 按月时差 0.168 个百分点，名义 12% 按月时差 0.683，名义 18.25% 按日时差 1.766，而每日万分之五（名义 182.5%）的有效年利率是 517.465%，差 334.965 个百分点。在这个量级上复利大致与利率的平方成正比，所以利率翻一倍，差大致变成原来的四倍而不是两倍。
- 两张卡该拿哪个利率来比？
- 都不收费用时用有效年利率，因为只有它把「多久复利一次」算进去了，而它与存款侧的 APY 是同一个量。任一张收费用时改用 APR，因为它建立在本页第二个输出那种线性年化之上、并且包含费用。把一张按月报价的卡和一笔按年报价的贷款各自拿名义利率放在一起比，正是这一页存在要避免的错误。中国的信用卡透支利率上限是日利率万分之五，按 ÷360 折年是 18%、按 365 天折是 18.25%、按日复利一年是 20.016%——比较时先把用的是哪一套说清楚。
参考资料
- 中国人民银行《关于信用卡业务有关事项的通知》（银发〔2016〕111 号）第一条：对信用卡透支利率实行上限和下限管理，透支利率上限为日利率万分之五，透支利率下限为日利率万分之五的 0.7 倍；信用卡透支的计结息方式由发卡机构自主确定 — 中国人民银行
- 中国人民银行《关于人民币存贷款计结息问题的通知》（银发〔2005〕129 号）第三条第（一）项：人民币业务的利率换算公式为日利率＝年利率(%)÷360、月利率(‰)＝年利率(%)÷12（载于《中国人民银行文告》2005 年第 10 期，总第 200 号） — 中国人民银行
- 中国人民银行公告〔2021〕第 3 号：所有贷款产品均应明示贷款年化利率，年化利率以对借款人收取的所有贷款成本与其实际占用的贷款本金的比例计算并折算为年化形式；可采用复利（内部收益率法）或单利方法计算，采用单利计算方法的应说明是单利 — 中国人民银行
- 12 CFR 1030.2(c)（美国《规章 DD》）：annual percentage yield 的定义——反映账户所支付利息总额的比率，以利率与复利频率为基础、按 365 天为一年计算；本页从期利率出发算的就是同一个量 — Consumer Financial Protection Bureau regulation, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)