点积计算器

u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + uₙvₙ |u| = √(u₁² + u₂² + … ) cos θ = (u · v) ÷ (|u| × |v|)

向量 u

第一个向量，写成用空格或逗号隔开的分量：三维写 1 2 2，二维写 0 3，要多少写多少。之所以没有固定数量的框，是因为页面接受任意维数，而两个向量的分量个数必须相同

向量 v

第二个向量，写法相同、分量个数与第一个相同。顺序对点积和夹角都没有影响——把两个向量对调，答案一样

u · v

点积：把两个第一个分量相乘、两个第二个分量相乘，以此类推，再把结果加起来。它是一个没有单位跟着的普通数，因为向量的分量带的是那个量本身的单位，而两个分量相乘带的会是单位的平方

|u| 与 |v|

各自向量的模，单位就是分量本身的单位：各分量平方和的平方根。这是箭头通常意义上的长度，与「原点到向量所指那个点的距离」是同一道计算

θ

两个向量之间的夹角，单位是度，从同向的 0 度、经过垂直的 90 度、到反向的 180 度。它不会跑出这个范围，因为反余弦不可能返回范围之外的值

cos θ

点积除以两个模之积，它是这一页两半之间的桥。它从同向的 1，经过直角的 0，到反向的 −1，而夹角实际上就是从这个数算出来的

度

夹角输出的单位，也是这一页唯一带单位的输出。点积和两个模都是普通的数

四位小数

每个输出印出来的宽度。分量是整数时点积常常也是整数；两个模各带一个平方根、夹角带一个反余弦，所以后三个几乎从来不整齐

点积是问「两个方向有多一致」的标准办法，它能回答的问题比这套算术看起来要多得多。判断垂直是最主要的一个：点积为零则两向量成直角，程序靠它决定一个表面是不是朝着光源、一条路径是不是穿过一堵墙、图纸上两条线是不是互相垂直——而它只需要乘法，一点三角函数都不用。其次是符号：为正说明大体同向，为负说明大体反向，背面剔除和「这个力是在对物体做功还是阻碍它」背后的判据整个就是这一条。物理里同一个数叫功：一个力做的功等于力点乘位移，这就是斜着推不如正着推、而成直角推一点功也不做的原因。当你真的要夹角而不只是要关系时，页面把它给你，而值得认的数字是 0 度、90 度和 180 度——同向、垂直、反向。其余的角都是偏离这三者的一对向量，而一个有用的核对是：点积的符号应当与夹角一致，点积为负而夹角小于 90 度不可能同时成立。

1. 1 2 2 与 2 2 1

   1. 点积：1 × 2 + 2 × 2 + 2 × 1 = 2 + 4 + 2 = 8
   2. u 的模：√(1 + 4 + 4) = √9 = 3
   3. v 的模：√(4 + 4 + 1) = √9 = 3
   4. 余弦：8 ÷ (3 × 3) = 0.888889，它的反余弦是 27.2659…，保留三位是 27.266

   页面打开时的默认输入，也是整齐的一组：两个向量的长度都正好是 3，于是余弦就是点积除以九。两个不同的向量、一个点积、两个模、一个夹角——整页浓缩在一行里。夹角小于 90 度而点积为正，这正是每个答案都该做一次的符号核对。

2. 3 4 0 与 4 3 0

   1. 点积：3 × 4 + 4 × 3 + 0 × 0 = 12 + 12 = 24
   2. 两个模都是：√(9 + 16) = 5，因为第三个分量是零
   3. 余弦：24 ÷ (5 × 5) = 0.96，它的反余弦是 16.2602…

   两个躺在一个平面里的向量，第三个分量明写一个零，用意是说明二维向量不过是第三分量为零的三维向量。两个模都正好是 5，又是 3-4-5 在干它的老本行。夹角很小而点积很大且为正，这正是两个大体同向的向量该有的样子。

3. 1 0 与 0 1

   1. 点积：1 × 0 + 0 × 1 = 0
   2. 两个模都是 1
   3. 余弦：0 ÷ 1 = 0，而零的反余弦正好是 90 度

   这一页最常被用来得到的答案。点积为零说明两个向量垂直，而这两个是最朴素的例子：一个沿 x 轴、一个沿 y 轴。注意夹角返回的是正好 90 而不是一个舍入过的数，因为余弦正好是零，走到这里不需要任何平方根或除法。这就是直角判据，而它一点也不用夹角输出所依赖的那套三角函数。

4. 1 2 3 与 4 5 6

   1. 点积：1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 = 4 + 10 + 18 = 32
   2. u 的模：√(1 + 4 + 9) = √14 = 3.741657…，保留四位是 3.7417
   3. v 的模：√(16 + 25 + 36) = √77 = 8.774964…，保留四位是 8.775
   4. 余弦：32 ÷ (3.741657 × 8.774964) = 0.974631…，它的反余弦是 12.9331…，保留四位是 12.9332

   两个长度都不整齐的向量，也是想看舍入代价时该看的一行。两个模都是除不尽的平方根，所以余弦是用它们未舍入的值算的，而不是用屏幕上的 3.7417 和 8.775——这就是为什么拿印出来的两个数相乘去除 32 得到 0.9746、落回同一个夹角，但只是勉强落回。夹角很小是因为两个向量接近平行：4 5 6 大致就是 1 2 3 放大了一些。

5. -1 0 0 与 1 0 0

   1. 点积：(−1) × 1 + 0 × 0 + 0 × 0 = −1
   2. 两个模都是 1
   3. 余弦：−1 ÷ 1 = −1，而 −1 的反余弦正好是 180 度

   范围的那一端。两个方向正好相反的向量，点积等于两长度之积的相反数，这里是 −1，于是余弦是 −1、夹角是 180 度。这一行说明了点积为什么会是负的、以及负值意味着什么：不是错误，也不是夹角变小的意思，而是两个箭头背对着指。

两个向量的分量个数必须相同，不同的一对页面会拒绝，而不是给短的那个补零。零向量整条被拒：所有分量都是零的向量没有方向，它与任何东西的夹角都没有定义，页面把整道计算退回去，而不是给出一个会被读成「同向」的 0 度。分量按普通数字解析：逗号加空格是分量分隔，逗号后面不带空格时按小数点读（1,5 就是一点五），而千位分组会被直接拒收、不去猜——写 1500，不要写 1,500。每个向量最多接受 200 个分量，远超任何手写的用例，但比数据管道用的规模要小。四位小数是显示宽度而不是精度声明，夹角是用未舍入的模算的，所以把印出来的几个数相乘未必能还原出印出来的夹角。这一页只管点积和夹角：不给叉积、不给一个向量在另一个上的投影、不给单位向量，也不管分量是用什么量的，所以用米填分量算出来的点积拿到的是一个普通数而不是平方米。

分量该怎么打进去？

用空格隔开，或者用逗号加一个空格：1 2 2 和 1, 2, 2 都可以。两个数字之间、后面不带空格的逗号会被读成小数点（1,5 就是一点五）；而 1,500 这样的千位分组会被直接拒收、不去猜，所以写 1500。两个向量的分量个数必须相同，只要相同就没有个数上限——二维和三维是同一个页面。

点积到底告诉了我什么？

两个向量在方向上有多一致。它们平行且同向时最大，垂直时为零，反向时为负。它的值还与两个向量有多长有关，所以长向量上的大点积并不代表夹角小——除以两个长度（页面替你做了）才得到夹角的余弦。

怎么判断两个向量是不是垂直？

看点积是不是零。判据就这一条，而且只用乘法——没有平方根、没有三角函数，这也是代码里用它那种写法的原因。页面仍然会给你夹角，它会显示 90，但如果你只想要「垂不垂直」，点积本身就已经定了。

点积为什么可以是负的？

因为它既跟踪大小也跟踪方向。两个大体指向对方的向量给出正数；成直角时两边的贡献相消，乘积为零；大体背向时给出负数。点积为负总是与大于 90 度的夹角同时出现，两者不应该互相矛盾——矛盾就说明输入有问题。

为什么全零的向量会被拒绝？

因为零向量没有方向，它与任何东西的夹角都没有定义。它与任何向量的点积都是零、自身的模也是零，要算余弦就得除以零。一个返回 0 度的页面等于在说它和你的向量同向，而那是在对一个不存在的方向作断言。

答案的单位是什么？

夹角是度，另外三个输出完全没有单位。点积是分量乘积之和，所以如果分量是用米量的，它的单位是平方米，如果分量只是普通的数，它就只是一个数；页面宁可不写单位也不去猜，因为同一套算术既服务于一个方向，也服务于一个力，还服务于一组考试成绩。

• Dot product（点积）——对应分量乘积之和，以及「等于两个长度与夹角余弦之积」的几何解释，本页正是把这个解释反过来用 — Wolfram MathWorld（美国）
• Vector（向量）——本页读取其分量的、有大小和方向的对象，其长度是各分量平方和的平方根 — Wolfram MathWorld（美国）
• Perpendicular（垂直）——点积为零所检测的直角关系，也是这道计算最常见的用途，且完全不需要用到它的三角函数部分 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；平面向量及其数量积（内积）是高中数学课程的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部