向量投影计算器

s ＝ (u · v) ÷ |v| proj_v u ＝ (s ÷ |v|) · v ＝ ((u · v) ÷ |v|²) · v

源向量 u

被投影的那个向量，也就是要求影子长度的那一个。两个或三个数，用空格或逗号隔开。它可以是零向量，此时投影就是零

目标向量 v

影子落上去的那个向量，也是提供方向的那一个。它和另一个框不能互换：交换后答案会变，所以两个框按角色命名而不是按序号

u · v

两个向量的点积：对应分量逐个相乘再把乘积累加。它同时出现在两条式子的分子上，所以值得记住「点积为零意味着两个向量垂直」——那正好是投影为零的那一档

|v|

目标向量的模长，点积除的就是它。如果目标向量恰好长度是 1，这一步除法什么都不改变，标量投影就等于点积——参考表第一行就是这一档，也是最容易手算核对的一行

s

标量投影：源向量沿着目标方向伸出去多远，是一个带符号的数。两个向量大致反向时它为负，垂直时它为零。它既不是源向量的模长，也不是点积——它是点积除以目标向量的模长

proj_v u

投影向量：标量投影乘以目标向量的单位向量，把方向装回来，得到落在目标向量那条直线上、与它共线的向量。它的长度就是 s 的绝对值

s 的符号

目标向量掉头时会变的东西。把目标向量取负，标量投影变号，因为分子变了号而分母里的平方不变；投影向量却原样不动，因为同一个负号在分子与分母里各出现一次

目标向量是零向量

拒绝。目标向量既提供方向又提供除数，而零向量两样都没有：分母会是零，也没有一条直线可以投影上去。源向量是零向量则是另一回事，照收，投影为零

没有单位

标量投影与投影向量那三个分量在这里都是纯数。标量投影与输入分量同一个量纲（它就是拿它们量出来的一段长度），但这一页不知道那个量纲是什么

四位小数

输出印出来有多宽。标量投影常常是干净的分数——11 除以 5 正好是 2.2——而投影向量的三个分量几乎总是要四舍五入

当你想要一个向量「沿着另一个方向的那一部分」时用这一页，它也是把任何东西拆成分量的那一步。把一个力拆成水平与竖直，就是把力投影到两条坐标轴上；力做的功等于力在位移方向上的投影乘以位移长度；影子、沿斜面的分量、最小二乘拟合里的系数，都是同一个操作。两个输出回答的是两个不同的问题。「多少」看带符号的标量，它也是继续做算术时该用的那个：负值说明源向量朝着目标的反方向偏。「在哪」看投影向量，答案必须是向量时用它——它落在目标那条直线上，可以继续与别的东西相加，也可以画出来。想最快看清两者的区别，就把目标向量掉个头：标量变号而向量不变，因为标量是相对一个朝向量出来的，向量不是。两个向量垂直时两个输出都是零，而零是真实的答案——它说的是源向量在目标方向上一点分量都没有。唯一不能用的输入是零目标向量，因为方向与除数正是它给不出的东西。

1. 3 4 投影到 1 0

   1. 点积：3 × 1 ＋ 4 × 0 ＝ 3
   2. 目标向量的模长：|1 0| ＝ 1
   3. 标量投影：3 ÷ 1 ＝ 3
   4. 投影向量：(3 ÷ 1) × (1, 0) ＝ (3, 0, 0)

   页面加载时的输入，也是没有任何东西藏着的一档：目标向量是单位向量，除以它的模长什么都不改变，所以标量投影就等于点积。它也是最好用眼睛核对的一档，因为目标沿着 x 轴，投影就是把源向量的 y 分量去掉。这就是投影在最简单的场合做的事——留下沿着目标的那部分，其余丢掉。

2. 1 2 投影到 3 4

   1. 点积：1 × 3 ＋ 2 × 4 ＝ 11
   2. 目标向量的模长：√(9 ＋ 16) ＝ 5
   3. 标量投影：11 ÷ 5 ＝ 2.2
   4. 投影向量：(2.2 ÷ 5) × (3, 4) ＝ (1.32, 1.76, 0)

   最普通的一档，目标向量不是单位向量，两次除法都要做。标量投影是精确的——11 除以 5 就是 2.2——而投影向量的分量不是。可以验一下答案确实落在目标那条直线上：1.32 除以 3 是 0.44，1.76 除以 4 也是 0.44，两个分量与目标向量的对应分量比例相同，这正是「落在同一条直线上」的意思。投影的长度是 2.2，也就是那个标量。

3. 3 4 投影到 −1 0

   1. 点积：3 × (−1) ＋ 4 × 0 ＝ −3
   2. 目标向量的模长：|−1 0| ＝ 1
   3. 标量投影：−3 ÷ 1 ＝ −3
   4. 投影向量：(−3 ÷ 1) × (−1, 0) ＝ (3, 0, 0)

   与第一例同一个源向量、同一条直线，只是目标指向另一头，而这是全页最能说明两个输出各知道什么的一档。标量投影翻成了 −3：它是沿一个朝向量出来的，朝向变了它就跟着变。投影向量却与第一例逐位相同，(3, 0, 0)，因为把目标取负会在分子里添一个负号、在平方后的分母里再添一个，两个正好抵消。标量知道目标朝哪边，向量只知道它在那条直线上。

4. 1 0 投影到 0 1

   1. 点积：1 × 0 ＋ 0 × 1 ＝ 0
   2. 目标向量的模长：|0 1| ＝ 1
   3. 标量投影：0 ÷ 1 ＝ 0
   4. 投影向量：(0 ÷ 1) × (0, 1) ＝ (0, 0, 0)

   两个互相垂直的向量，两个输出的投影都是零。这是一个真答案而不是失败：它说的是源向量在目标方向上没有任何一部分，而「垂直」本来就是这个意思。点积等于零就是要找的信号，也是两个向量都不为零时得到零标量投影的唯一途径。这里两个向量长度都是 1，谁都不小——两个满长的向量之间投影为零，第一次见到时值得停一下。

5. 0 0 投影到 3 4

   1. 点积：0 × 3 ＋ 0 × 4 ＝ 0
   2. 目标向量的模长：√(9 ＋ 16) ＝ 5
   3. 标量投影：0 ÷ 5 ＝ 0
   4. 投影向量：(0 ÷ 5) × (3, 4) ＝ (0, 0, 0)

   源向量是零向量：点积里每一项乘积都是零，所以两个输出都是零，除法也没有出问题。这一页不会拒绝这串输入。拒答的方向恰好相反——不能为零的是目标向量，因为它既提供方向又提供除数，投影到零向量上根本没有一条线可落。

两个向量的分量个数必须相同，各自只能是两个或三个。两个框不能互换，标签已经写明哪个是哪个：源向量是被投影的那一个，目标向量是影子落上去的那一个。交换两个框会得到另一个答案，而它看起来完全合理，所以结果反常时先核对两个框，再核对算术。目标向量不能是零向量，因为它既提供方向又提供除数；源向量可以是零向量，那时投影为零。分量按普通数字解析：逗号加空格是分量分隔，逗号后面不带空格时按小数点读（1,5 就是一点五），而千位分组会被直接拒收、不去猜——写 1500，不要写 1,500。四位小数是显示宽度而不是精度承诺，投影向量是用未取整的标量算出来的，所以拿某个分量去除以目标向量对应分量，未必正好得到印出来的那个标量。参考表按输入原文与四个输出列出，而它故意没有「目标向量是零向量」那一行——那一档这一页算不出来，那个缺一行的理由写在表注里。还有一处重叠值得点名：点积是投影公式的分子，单位向量是第二条式子里被乘回去的那个方向，所以这一页同时用到了那两页的东西，而它自己既不是点积也不是归一化——投影是那个商。

标量投影与投影向量有什么区别？

标量投影是一个带符号的数：源向量沿目标方向伸出去多远，两者大致反向时为负。投影向量是把同样的距离写成一个沿目标直线指出去的向量。标量知道目标朝哪边，向量不知道——把目标向量掉个头，标量变号而投影向量一动不动。要接着做算术用标量，答案必须是向量时用投影向量。

标量投影为什么会是负数？

因为源向量朝着目标的反方向偏。标量投影是沿一个朝向量出来的，两个向量方向大致相反时它就是负的。这不是出错，也不是可以随手去掉的符号约定：一个沿着某方向往回拉的力，在那个方向上的分量本来就是负的，功也可以是负的。

两个框里哪个才是被投影的向量？

第一个框是源向量，第二个框是目标向量，目标向量提供影子落下去的那个方向。这一页的两个框不能互换：把 u 投影到 v 上与把 v 投影到 u 上是两个不同的数，交换之后答案会变，而页面上看不出任何异常。所以两个框按角色命名，而不是叫向量 u 与向量 v。

两个向量垂直时会怎样？

两个输出都是零，而那是真实答案不是失败。点积为零就意味着两个向量垂直——这也是两个向量都不为零时得到零标量投影的唯一途径——而投影为零说明源向量在目标方向上一点分量都没有。参考表第四行就是这一档。物理上「垂直的力之间不做功」说的是同一件事。

被投影的向量可以是零向量吗？

可以，两个输出都是零：点积里每一项乘积都是零，而除法除的是目标向量的模长，没有问题。这一页拒答的方向恰好相反——不能为零的是目标向量，因为它既提供方向又提供除数，投影到零向量上没有线可落。

投影的公式是什么？

标量投影等于两个向量的点积除以目标向量的模长：s ＝ (u · v) ÷ |v|。投影向量再把标量乘上目标向量的单位向量，也等于点积乘以目标向量、再除以目标向量模长的平方。当目标向量本身就是单位向量时两条式子都简化，标量投影就是点积——这也是参考表第一行最适合手算核对的原因。

• Scalar projection（标量投影）——一个向量在另一个向量方向上那道影子的长度，带符号，也就是本页两个输出里的第一个 — Wolfram MathWorld（美国）
• Dot product（点积）——对应分量乘积之和，它是投影公式的分子，也是「等于零就说明两向量垂直」的那个量 — Wolfram MathWorld（美国）
• Unit vector（单位向量）——沿目标方向、长度为 1 的向量，标量投影乘上它就得到投影向量 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；平面向量及其线性运算不属于义务教育学段，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部