向量加法计算器

u ＋ v ＝ (u₁ ＋ v₁, u₂ ＋ v₂, u₃ ＋ v₃) u − v ＝ u ＋ (−v) |u ＋ v| ＝ √（w₁² ＋ w₂² ＋ w₃²）

向量 u

第一个向量，写成两个或三个数，用空格或逗号隔开。它放进哪个框对加法没有影响，对减法也只是让结果整体变号，所以当成「第一个」来理解不会丢信息

向量 v

第二个向量，写法相同。它的分量个数必须与第一个相同：把二维向量加到三维向量上没有任何规则可依，因为多出来的那个数没有对手

u ＋ v

和，逐分量算出来。结果的每一个分量只用到两个输入里位置相同的那两个分量——第一位与第一位，第二位与第二位，依次类推

u − v

差，也就是先把第二个向量的每个分量取负、再相加。加与减的全部差别就是这一步，所以一个控件足够管住两种运算

合向量的 x、y、z 分量

连着读才是「那个向量」。两个输入都是二维向量时第三个分量印 0：那个 0 不是补齐，而是同一个方向写成三个坐标时的样子

|u ＋ v|

合向量的模长，等于它三个分量的平方和开根号。它与那三个分量是两个问题，所以值得单独一行：分量说的是朝哪边，模长说的是有多长

相加 / 相减

这一页唯一要你做的选择，也是两档之间唯一会变的东西。两个输入框与四行结果两档共用，变的只有算式

零向量

各分量全是 0 的向量。和或者差完全可以是零向量，那是一个正确答案而不是失败——一个向量加上它的相反向量正好得到它，参考表里就有这一行

四位小数

结果印出来有多宽。输入是整数时三个分量都是精确的，因为只做了加减；需要四舍五入的是模长，那里有一个根号

当两个向量同时作用在同一个东西上、你想知道合起来的效果时用这一页。一个物体上的两个力、水流里叠起来的两个速度、先走一段再走一段的两段位移——都是逐分量相加，答案是那个「一个顶两个」的向量。减法回答的是同一件事的另一半：u − v 就是从 v 的箭头端走到 u 的箭头端的那段位移，所以凡是相对位置、相对速度的计算，背后都是这个减号。向量之所以好加，是因为分量之间从不混在一起——结果的每一位只由输入的对应位决定——这一点值得记住，因为乘法不是这样：那里结果的每个分量都跟两个输入的所有分量有关，还多出一个角度。二维三维都行，但两个输入的个数要一样。和为零是平常结果：一个向量加上它的相反向量就是零，而零是一个完全正常的向量。唯一要拎清的是：旁边印出来的模长是合向量的模长，不是两个输入模长之和——除非两个向量方向完全一致，否则这两个数不一样，而这个差别正是「向量不能靠把长度加起来相加」的全部内容。

1. 3 4 ＋ 1 2

   1. x 分量：3 ＋ 1 ＝ 4
   2. y 分量：4 ＋ 2 ＝ 6
   3. z 分量：0 ＋ 0 ＝ 0，因为两个输入都是二维向量
   4. 模长：√(16 ＋ 36 ＋ 0) ＝ √52 ＝ 7.211103

   页面加载时的输入，每一步都看得见。两个向量方向大致相同，所以合向量比较长：7.2111，而两个输入的模长分别是 5 与 2.2361，加起来是 7.2361。这里两者很接近但并不相等，只有方向完全一致时才相等——参考表里有两行正是那种情形，而在别处合向量都比两个模长之和更短。

2. 3 4 − 1 2

   1. x 分量：3 − 1 ＝ 2
   2. y 分量：4 − 2 ＝ 2
   3. z 分量：0 − 0 ＝ 0
   4. 模长：√(4 ＋ 4) ＝ √8 ＝ 2.828427

   与上一例同一对输入、换一档运算，变的只有第二个输入前面的符号。合向量比两个输入都短得多，因为二者方向接近，拆开之后剩下的不多。在它与上一例之间来回切，是看清这个控件在做什么最快的办法。

3. 1 2 3 ＋ (−1) (−2) (−3)

   1. x 分量：1 ＋ (−1) ＝ 0
   2. y 分量：2 ＋ (−2) ＝ 0
   3. z 分量：3 ＋ (−3) ＝ 0
   4. 模长：√(0 ＋ 0 ＋ 0) ＝ 0

   一个向量加上它的相反向量，得到零向量。这里没有出错：两支箭头一样长、方向相反，它们描述的那段路走完回到了起点。这一页把这个结果算出来而不是拒绝，参考表第七行是同一档。同一对输入切到减法，答案反而翻倍——2 4 6，模长 7.4833——符号的作用没有比这更清楚的例子了。

4. −1 2 − 3 −5

   1. x 分量：−1 − 3 ＝ −4
   2. y 分量：2 − (−5) ＝ 2 ＋ 5 ＝ 7
   3. z 分量：0 − 0 ＝ 0
   4. 模长：√(16 ＋ 49) ＝ √65 ＝ 8.062258

   符号不能互相抵消、必须老老实实算的一档。减去负五就是加上五，所以 y 分量涨到 7；x 分量变负，因为第二个向量的第一位更大。结果比两个输入都长，这在两个向量方向大致相反时就会出现——而模长是这件事最明显的信号，因为光看 −4 与 7 两个分量，并不觉得它是一个长向量。

两个向量的分量个数必须相同，而且各自只能是两个或三个：面板上只有三行分量，个数不一致会让其中一个输入的第三个数没有对手。二维向量不是被补成三维的——它躺在那个平面里，第三行印出来的 0 就是同一个方向写成三个坐标的样子。分量按普通数字解析：逗号加空格是分量分隔，逗号后面不带空格时按小数点读（1,5 就是一点五），而千位分组会被直接拒收、不去猜——写 1500，不要写 1,500。参考表只演示相加，因为生成表格时看不到当前选的是哪一档；减法是同样几行把第二个向量的符号翻过来，下面每个算例都覆盖到了。结果旁边印出来的模长是合向量的模长，不是两个输入模长之和。只有两个向量方向完全一致时，把两个模长加起来才是对的；而一个向量加上它的相反向量得到 0，与那种情形正好是两个极端。四位小数是显示宽度而不是精度承诺。这一页不知道分量是按什么量出来的，三个分量与模长都带着输入原本的单位，所以那三个分量本身不该被当成一段长度来读。

两个向量相加是什么意思？

就是按位置逐个相加：第一位加第一位，第二位加第二位，第三位加第三位，得到的三个数就是合向量的分量。整个过程没有乘法，也不用算角度，这正是向量相加比相乘容易得多的原因——分量之间从不混合，结果的每一位只由两个输入各自的一位决定。

向量减法与加法差在哪里？

差一个符号。减法就是先把第二个向量整体取负再相加，所以 u − v 与 u ＋ (−v) 是同一条算式的两种写法。这也是本页把两档放在同一个控件后面的原因：变的只有一个符号，把同一对输入在两档之间来回切，是看清它最直接的办法。3 4 减 1 2 得 2 2，加则得 4 6。

合向量可以是零向量吗？

可以，而且那是正确答案而不是失败。一个向量加上它的相反向量就是零：两支箭头一样长、方向相反，它们描述的那段位移走完就回到了起点。页面会把三个分量都印成 0，模长也是 0。参考表第七行就是这一档，而同一对输入切到减法得到的是 2u。

两个向量的分量个数必须相同吗？

必须相同。二维向量加到三维向量上没有任何规则可依，多出来的那个数没有对手。每个输入可以是两个或三个分量——那是面板的限制，不是算术的限制——但两个个数得对得上，页面会直接说明，而不是悄悄把缺的那一位当成 0。

合向量的模长等于两个模长相加吗？

不等于，而这正是本页最想提前挡掉的误会。只有两个向量方向完全一致时，合向量的模长才等于两个模长之和；方向相反时它可以等于两者之差，垂直时它比任何一个都小。原因是分量会互相抵消一部分，而抵消多少取决于方向，不取决于长度。

能把二维向量加到三维向量上吗？

不能，页面会拒绝，而不是把缺的第三分量当成 0 补上。二维向量是平面上的向量，它确实等同于第三分量为 0 的三维向量——但那是关于「平面如何嵌在空间里」的事实，不是「可以拿一个数去加一个空位」的许可。真有第三分量就把它写出来。

• Vector addition（向量加法）——逐分量相加，以及几何上等价的平行四边形法则，也就是本页两个输入框与那行合向量所实现的东西 — Wolfram MathWorld（美国）
• Vector subtraction（向量减法）——两向量之差等于把第二个取负之后相加，这正是本页一个控件能管住两种运算的原因 — Wolfram MathWorld（美国）
• Vector（向量）——被相加的那个对象，包括「分量个数不同不能相加」以及「向量与其相反向量之和是零向量」这两条规则 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；平面向量及其线性运算不属于义务教育学段，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部