向量计算器

u ＝ (u₁, u₂, u₃) |u| ＝ √（u₁² ＋ u₂² ＋ u₃²） û ＝ u ÷ |u|

向量 u

唯一的输入：两个或三个数，用空格或逗号隔开。填两个数是平面上的向量，填三个数是空间里的向量，而填了几个数是唯一说明你指哪一种的东西——页面没有维数设置可改

u ＝ (u₁, u₂, u₃)

分量：你填进去的那几个数，读回来当成一个向量。二维输入时第三个分量是 0，这不是补齐——同一个方向写成三个坐标就是这样

|u|

模长：每个分量平方、平方相加、再开根号。它是第一行输出，也是「这个向量有多大」的答案

û

单位向量，也就是方向：每个分量除以模长。它与输入完全在同一条直线上，按构造长度为 1，所以它携带的值只有方向、没有大小

u ÷ |u|

把两种读法分开的那一步除法。分量是填进去的东西，单位向量的分量是它除以长度，而这一页把两者都印出来，让这一步看得见而不是靠读者自己推——这正是兄弟页面不做的事

零向量

拒答，理由很窄：它的模长是 0，单位向量那一步会变成 0 ÷ 0，没有方向可以报。零向量本身并不是非法输入——模长那一页对同一串 0 就给 0——但这一页承诺三条读数，而它只拿得出两条

两个分量

照收。二维向量是平面上的向量，模长就是同一个根号下面少一项，而每一个输出的第三个分量都是 0

四位小数

输出印出来有多宽。输入是整数或有限小数时，分量那三行精确复现输入；模长常常是整数；单位向量几乎总要四舍五入，因为除以一个根号很少除得尽

没有单位

分量、模长、单位向量的分量全是纯数。这一页不知道分量是按什么量出来的，三种读数都带着那个未知的单位——只有单位向量例外，它是无量纲的

当你手上只有一个向量、想在不牵扯第二个向量的前提下把它能说的都说出来时用这一页。分量那几行是输入读回来的数字，手写输入时想知道它被怎么解析，看这里；模长那行是它有多大；单位向量那几行是它朝哪边。后两样在实际上最要紧，因为它们合起来正好是一个向量的两半——大小与方向——而这一页是它们可以直接对照的地方。它是汇总卡而不是替代品：只想要长度，只印长度的页面回答得更快，方向同理；要处理两个向量——相加、投影、点积——则要去找有两个框的页面。这一页多出来的是并排看：单位向量那几行就是分量那几行除以模长，印在同一个面板里，这一步除法可以读出来而不必凭信任接受。二维三维都收，二维输入的第三分量全程为 0。零向量是唯一被拒答的输入，而拒答的理由是三条承诺里有一条对它不存在，不是这串输入不合法。

1. 3 4

   1. 分量：输入读回来是 (3, 4, 0)
   2. 模长：√(9 ＋ 16) ＝ √25 ＝ 5
   3. 单位向量 x：3 ÷ 5 ＝ 0.6
   4. 单位向量 y：4 ÷ 5 ＝ 0.8
   5. 单位向量 z：0 ÷ 5 ＝ 0

   页面加载时的输入，也是说明「分量那几行为什么要印」的一行。第二组里每个数都是第一组里对应的数除以 5，两组同屏，这一步除法可以直接读出来而不必自己算。模长是整数，因为 3-4-5 是直角三角形，两个单位向量分量也因此是精确值。反着验一遍：0.6 乘 5 是 3，0.8 乘 5 是 4，单位向量乘上模长就把原向量还原了。

2. 0 0 5

   1. 分量：输入读回来是 (0, 0, 5)
   2. 模长：√(0 ＋ 0 ＋ 25) ＝ 5
   3. 单位向量 x：0 ÷ 5 ＝ 0
   4. 单位向量 y：0 ÷ 5 ＝ 0
   5. 单位向量 z：5 ÷ 5 ＝ 1

   落在 z 轴上的向量，也是分量那几行最派得上用场的一档。输入原文 0 0 5 容易被读成一个只有一个数的向量，分量那几行把话说明白：它是一个三维向量，只是前两位恰好是零。单位向量于是就是坐标轴方向本身，0 0 1，而这条除法也最容易核对：5 除以 5 是 1，0 除以 5 是 0。

3. 2 3 6

   1. 分量：(2, 3, 6)
   2. 模长：√(4 ＋ 9 ＋ 36) ＝ √49 ＝ 7
   3. 单位向量 x：2 ÷ 7 ＝ 0.285714
   4. 单位向量 y：3 ÷ 7 ＝ 0.428571
   5. 单位向量 z：6 ÷ 7 ＝ 0.857143

   最普通的三维情形，也说明三种读数确实是三个不同的数。模长是整数 7，而单位向量的三个分量一个都不精确：三个都是循环小数，取四位。分量那一组本身精确，把它与单位向量那一组对着看，就是 2 除以 7、3 除以 7、6 除以 7 这一件事。顺带注意最大的分量 6 给出的也是最大的单位向量分量——三个数除以同一个值，大小顺序不会变。

4. −3 4

   1. 分量：(−3, 4, 0)
   2. 模长：√(9 ＋ 16) ＝ 5，与 3 4 相同
   3. 单位向量 x：−3 ÷ 5 ＝ −0.6
   4. 单位向量 y：4 ÷ 5 ＝ 0.8
   5. 单位向量 z：0 ÷ 5 ＝ 0

   第一例改了一个符号，用来说明符号能到哪几种读数里。模长不变，还是 5，因为把一个分量取负不改变它的平方和。分量带着符号，这是显然的。单位向量也带着，因为除以一个正的长度不可能把向量调头——所以三种读数里，只有分量与单位向量携带方向，模长恰好是那个携带不了的。把页面自己的表拿出来对照：这两行挨着，只差一个符号。

只收两个或三个分量。与相邻工具的重叠是真实存在的，值得点名，因为这一页是汇总卡而它们是专页：模长那一行与模长页给的是同一个数，单位向量那三行与单位向量页给的是同一组数，而那两页都不印分量。只要其中一个单一答案，更短的页面给得更快；这一页多出来的是单位向量旁边那几行分量，也是那一步除法唯一被显示成除法的地方。它只处理一个向量，凡是要两个向量的——相加、相减、投影、点积、夹角——都归那些有两个框的页面。零向量被拒答：它的模长是 0，也没有方向，单位向量那几行填不出来，而面板要么每行都印数、要么什么都不印。那次拒答针对的是这一页的承诺，不是那串输入——模长页对它是给 0 的。分量按普通数字解析：逗号加空格是分量分隔，逗号后面不带空格时按小数点读（1,5 就是一点五），而千位分组会被直接拒收、不去猜——写 1500，不要写 1,500。二维向量照收，第三个分量全程是 0 而不是缺一项。这一页不知道分量是按什么量出来的：单位向量无量纲，分量与模长带着输入原本的单位。四位小数是显示宽度而不是精度承诺。

这一页比别的向量页面多给了什么？

分量，印成数字摆在它们除出来的单位向量旁边。模长那一行与模长页是同一个数，单位向量那三行与单位向量页是同一组数，所以读数本身不新。新的是它们与分量同处一个面板：3 与 4 在一组、0.6 与 0.8 在下一组，那一步除法可以直接读出来。

这几个数里哪个是方向？

单位向量那三行，而且必须连起来读：单看一个分量不是方向。单位向量与你填的向量在同一条直线上，只是把长度除掉了，所以它自己的长度恒为 1，里面装的值只与方向有关。上面那行模长是一个数，一个数表达不了方向，这就是三行都必要的原因。

分量是我自己填的，为什么还要印出来？

因为把输入当成数字摆在单位向量旁边，正是这一页的用意。它同时说明了输入是怎么被解析的：0 0 5 这样写容易被当成只有一个数的向量，分量那几行表明它是一个第三分量非零的三维向量。没有这几行，面板上就只剩一个模长和一个方向，与输入看不出任何联系。

零向量在模长页照收，为什么这里被拒答？

因为这一页承诺三条读数，而零向量只拿得出两条：分量是 0 0 0，模长是 0，但没有方向——归一化它等于除以长度零。模长页只承诺一条，给得出来，所以同一串输入在那里有答案。面板每一行都要印一个值，所以「一部分留空」这一页显示不了。

它与向量模长计算器有什么区别？

那一页回答一个问题，这一页回答三个，而模长那个数在两边完全一样。只要长度，更短的页面到得更快。这一页是给你同时要长度和方向、并且想看清两者关系的时候用的——单位向量的分量就是分量除以模长，把两组放在同一屏，那一步就从「凭信任接受」变成「可以核对」。

二维向量能填吗？

能，每一行的第三个分量都会是 0。二维向量是平面上的向量，等同于第三分量为 0 的三维向量，所以一个面板能装两种、不必加维数设置。模长就是同一个根号下面少一项，单位向量则是那两个分量除以这个长度。

• Vector（向量）——本页所描述的那个对象，包括它的分量的定义，以及由分量导出的两个量：模长与方向 — Wolfram MathWorld（美国）
• Vector magnitude（向量模长）——向量长度等于各分量平方和开根号，也就是本页三种读数里的第一种 — Wolfram MathWorld（美国）
• Unit vector（单位向量）——指向给定方向、长度为 1 的向量，本页用它表示方向，它也正是分量除以模长得到的东西 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；平面向量及其线性运算不属于义务教育学段，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部