向量模长计算器

|u| ＝ √（u₁² ＋ u₂² ＋ … ＋ uₙ²）

向量 u

要求长度的那个向量：两个或三个数，用空格或逗号隔开。没有别的东西标记它是哪一种——填了几个数，就说明你说的是平面上的向量还是空间里的向量

|u|

长度本身：每个分量各自平方，把平方加起来，再对总和开根号。这就是面板上印出来的那个数

u₁² ＋ u₂² ＋ …

平方和，也就是下面每个算例逐步列出的那一步。它是整条算式里唯一一个中间量，把它写出来，结果才能拿纸笔核对

√

开根号，这也是多数答案是无理数的原因。3 4 恰好得 5，只因为 9 加 16 正好是 25；1 1 得 1.4142，而没有哪个有限小数正好等于它

两个分量

平面上的向量。两种个数都收，谁也不比谁特殊：二维向量就是第三个分量为 0 的三维向量

零向量

各分量全是 0 的向量。它的长度是 0，而 0 是一个答案而不是拒答——这一页不做除法，这正是零向量在这里照收、在「要拿长度做除数」的那几页会被挡回去的原因

四位小数

答案印出来有多宽。平方和正好是完全平方数时是精确值，否则四舍五入到四位

没有单位

这一页不知道分量是按什么量出来的，答案就带着输入原本的单位。长度 5 的意思是「你填的那个东西的 5」

当你只关心「有多大」而不关心「朝哪边」时用这一页。最直接的场合是比大小：两个力、两个速度、两段位移，比的就是长度，方向只会来捣乱。第二种场合是它只作中间量——归一化一个向量要用它做除数，投影公式的分母是它，点积里也有它，所以它单独被算出来的次数远多于它本身就是最终答案的次数。第三种场合最具体：一个向量的分量就是平面上一个点的坐标，它的长度就是这个点到原点的距离，而那个式子在课本里叫两点间距离公式。答案里没有方向，这一点值得说明白，因为它太容易被过度解读。长度 5 可以来自 3 4，也可以来自 −3 4，也可以来自 0 5。要分清是哪一个，看模长是没用的，得看分量或者单位向量。二维输入照收，也不是被补成三维的：它是平面上的向量，长度就是同一个式子少一项。零向量照收，它的长度 0 是一句真话，不是出错。

1. 3 4

   1. 各分量平方：3² ＝ 9，4² ＝ 16
   2. 平方相加：9 ＋ 16 ＝ 25
   3. 开根号：√25 ＝ 5

   页面加载时的输入，也是最干净的一档。9 加 16 正好是 25，一个完全平方数，所以答案是整数、什么都没被舍去——这是 3 与 4 构成直角三角形两条直角边的结果。反过来验算一遍：横着三个单位、竖着四个单位，离原点是五个单位，与「向量 3 4 长 5」是同一句话。

2. 5 12

   1. 各分量平方：5² ＝ 25，12² ＝ 144
   2. 平方相加：25 ＋ 144 ＝ 169
   3. 开根号：√169 ＝ 13

   3-4-5 之后的下一个勾股数，用来说明精确值不是偶然。两个分量都比上一例大，答案仍然是整数。它也说明答案不受任何一个分量的限制：13 比 5 大，也比 12 大——平方和再开根号本来就会这样。

3. 1 1

   1. 各分量平方：1² ＝ 1，1² ＝ 1
   2. 平方相加：1 ＋ 1 ＝ 2
   3. 开根号：√2 ＝ 1.414214，页面印 1.4142

   这一档才是常态而不是例外：多数平方和不是完全平方数，所以多数答案是无理数，按四位小数印出来。√2 是最简单的一个，也最值得记住——只要把一份量平均分到两个方向上，它就会出现。按定义倒着验一遍：1.4142 的平方是 1.99996，在四舍五入的范围内就是 2。

4. 0 0

   1. 各分量平方：0² ＝ 0，0² ＝ 0
   2. 平方相加：0 ＋ 0 ＝ 0
   3. 开根号：√0 ＝ 0

   零向量，而这一页给它答案而不是把它挡回去。从原点到原点的向量长度就是 0，整个算式里没有任何一处做了除法，所以没有理由拒答。要做归一化的那几页会拒绝同一串输入，因为在那里长度是除数——收不收取决于卡片问的是什么，不取决于输入本身。

只收两个或三个分量，别的不收：一个数是一个带符号的量而不是方向，四个以上则不是这一页被问到的长度。二维输入不是被补成三维的——它躺在那个平面里，同一个方向写成三个坐标时第三分量就是 0，所以这个框不必再问你填的是哪一种。分量按普通数字解析：逗号加空格是分量分隔，逗号后面不带空格时按小数点读（1,5 就是一点五），而千位分组会被直接拒收、不去猜——写 1500，不要写 1,500。四位小数是显示宽度而不是精度承诺，答案是用未取整的平方和算出来的，所以印出来的数倒着平方回去未必正好是原来的数。长度是一个纯数：这一页不知道分量是按米、按牛顿还是按什么都没有量过，模长就带着输入原本的单位。答案真正做不到的事只有一件——它说不出任何关于方向的信息。长度 5 同时属于 3 4、−3 4 与 0 5，只印长度的一页按定义已经把这几者之间的区别丢掉了。要方向就看分量本身或者由它算出的单位向量；要一个不看方向的比较，这一页就是全部答案，这正是它的意义。

什么是向量的模？

就是向量的长度：每个分量各自平方，平方相加，再对总和开根号。它是一个数，说的是这个向量有多大，而完全不涉及它朝哪边。从原点画到一个点的向量，模长与「原点到那个点的距离」是同一个数，所以这个式子看起来像距离公式——它就是距离公式。

怎么手算一个向量的长度？

把每个分量平方，把平方加起来，再对总和开根号。3 4 是 9 加 16 得 25，25 开根号是 5；1 1 是 1 加 1 得 2，2 开根号是 1.4142。整条算式里只有中间那一步容易算错，而参考表把每一行的平方和都列了出来，为的就是省掉这一步。

二维向量和空间向量都能填吗？

都能，也不需要切换设置：填两个数就是平面上的向量，填三个数就是空间里的向量。同一个框能装两种，是因为算式本来就是同一个——平面上的向量不过是第三个分量为 0 的空间向量，它的长度就是同一个根号下面少一项。

零向量的模长是多少？

是 0，而这一页会把它算出来而不是拒绝这串输入。每个分量都是 0，每个平方都是 0，和是 0，开根号还是 0。整条算式里没有一处拿长度做除数，所以这里没有出错的理由；单位向量那一页拒绝同一串输入，正是因为在那里长度是除数。

模长能告诉我方向吗？

不能，而且原理上就不可能：它是一个数，而方向至少要两个数才说得清。3 4、−3 4 与 0 5 是三个方向完全不同的向量，长度却都是 5，所以长度没法把它们区分开。要方向就直接看分量，或者把它归一化成单位向量——那个做法保留方向、丢掉大小，与本页正好相反。

向量的长度在什么时候用得上？

比大小的时候，以及做下一步计算的时候。两个力或两个速度在方向无所谓时就是比长度。它同时也是很多公式里要除或者要乘的那个数——归一化、投影、点积都要用它——所以即使长度不是最终答案，单独把它算出来也很常见。

• Vector magnitude（向量模长）——向量长度等于各分量平方和开根号，也就是本页执行的那一步、以及参考表所依据的定义 — Wolfram MathWorld（美国）
• Norm（范数）——向量长度函数的通名，本页用的是它最普通的欧几里得那一档，即平方和开根号 — Wolfram MathWorld（美国）
• Distance（距离）——两点间的距离等于连接它们的向量的长度，这正是向量的模与「到原点的距离」是同一个算式的原因 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；平面向量及其线性运算不属于义务教育学段，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部