叉积计算器

u × v ＝ （u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁） |u × v| ＝ |u| × |v| × sin θ ＝ 平行四边形面积

向量 u

第一个向量：恰好三个数，用空格或逗号隔开，例如 1 2 3。只收三个是硬规定，因为叉积是三维运算——二维的一对会被拒答，而不是补一个零凑形状，补零会静默改掉答案

向量 v

第二个向量，同样恰好三个数。这里两个向量的次序是有意义的，点积那一页则不然：把它们对调，答案的每个分量都变号

x 分量

答案的第一个分量：第一个向量的第二个分量乘第二个向量的第三个分量，减去它的第三个分量乘第二个向量的第二个分量。叉积的每个分量都是两个乘积之差，符号就是从这里来的

y 分量

同一套写法沿循环挪一位：第一个向量的第三个分量乘第二个向量的第一个分量，减去它的第一个分量乘第二个向量的第三个分量。挪错位置是最常见的错误——它不会给出荒唐的结果，只会让某一个分量的符号反掉

z 分量

再挪一位：第一个向量的第一个分量乘第二个向量的第二个分量，减去它的第二个分量乘第二个向量的第一个分量。三个分量合起来，就是同时垂直于两个输入的那个向量

长度

结果向量的模：三个分量平方和开根号。它同时等于两个输入向量张成的平行四边形面积，也是以它们为两边的三角形面积的两倍——通常后一种读法更有用

|u| × |v| × sin θ

同一个长度的另一种写法，θ 为两个输入的夹角。它说明这个长度在两个向量垂直时最大、在它们趋于共线时降到零；这既是「叉积为零就是平行」的来历，也是点积（行为恰好相反）与本页互为补集的原因

同时垂直于两者

让这个输出值得一算的性质：结果与两个输入都成直角。在输出上可以直接验：拿它与任一输入做点积，两边都是零（在四舍五入范围内）

四位小数

所有输出的显示宽度。输入是整数且不大时，各分量是精确值，手算的用例大多落在这一档；不在这一档时给出的是四舍五入后的数

叉积回答的是与点积不同的问题，两者是互补而不是二选一。点积拿两个向量给出一个数，两个向量越同向它越大；叉积拿两个向量给出一个向量，两个向量越垂直它越长。需要一条同时垂直于两个已知方向的方向时，用这一页：曲面的法向量、旋转所绕的轴、磁场对运动电荷施加力的方向。需要从两条边向量求平行四边形或三角形面积时也用它——答案的长度就是平行四边形面积，一半就是三角形面积。想判断两个向量是否平行时也用它，因为它们平行的充要条件正是答案恰好是三个零。需要的是「带朝向的那条垂线」时更需要它，而这正是两个向量的次序与右手定则起作用的地方：第一个向量是你手指卷离的那个，第二个是卷向的那个，拇指指向答案。两条提醒。结果垂直于两个输入，所以它并不是任何一个输入所指的方向——如果你期待答案落在其中一个方向上，你要的是点积。以及长度为零是一个真答案、不是失败：它说的是这两个向量平行，其中也包括有一个是零向量的情形。

1. 1 2 3 与 4 5 6

   1. x 分量：2 × 6 − 3 × 5 ＝ 12 − 15 ＝ −3
   2. y 分量：3 × 4 − 1 × 6 ＝ 12 − 6 ＝ 6
   3. z 分量：1 × 5 − 2 × 4 ＝ 5 − 8 ＝ −3
   4. 长度：√（9 ＋ 36 ＋ 9）＝ √54 ＝ 7.348469

   页面的默认输入，也是用来说明这套算术有多朴素的一档：三个「两乘积之差」，没有别的。三个分量都非零，所以拿手算结果跟页面对账时这一档最好用——某个符号写反了不会被某个零掩盖掉。长度 7.3485 是这两个向量张成的平行四边形面积，以它们为两边的三角形面积是它的一半。

2. 1 0 0 与 0 1 0

   1. x 分量：0 × 0 − 0 × 1 ＝ 0
   2. y 分量：0 × 0 − 1 × 0 ＝ 0
   3. z 分量：1 × 1 − 0 × 0 ＝ 1
   4. 长度：√（0 ＋ 0 ＋ 1）＝ 1

   前两条坐标轴上的单位向量，叉积回到第三条轴上。这一档说明了本页赖以成立的循环次序：x 叉乘 y 得到 z；长度是 1，说明两个输入本来就垂直，那个平行四边形是单位正方形。值得动手把三个分量各写一次的，就是这一档——该消掉的项在这里全都消掉了。

3. 0 1 0 与 1 0 0

   1. x 分量：1 × 0 − 0 × 0 ＝ 0
   2. y 分量：0 × 1 − 0 × 0 ＝ 0
   3. z 分量：0 × 0 − 1 × 1 ＝ −1
   4. 长度：√（0 ＋ 0 ＋ 1）＝ 1

   上一档把两个框对调，全部差别就是第三个分量的符号。这就是这个运算与次序有关的那条性质，而这一页不用任何代数就能演示它：同一对数输两次、对调两个框，看着一个分量变号。长度仍然是 1，这是同一句话的另一半——对调两个向量会调转答案的方向，但不会改变它的大小。

4. 1 2 3 与 2 4 6

   1. x 分量：2 × 6 − 3 × 4 ＝ 12 − 12 ＝ 0
   2. y 分量：3 × 2 − 1 × 6 ＝ 6 − 6 ＝ 0
   3. z 分量：1 × 4 − 2 × 2 ＝ 4 − 4 ＝ 0
   4. 长度：√（0 ＋ 0 ＋ 0）＝ 0

   两个向量指向同一条直线——第二个正好是第一个的两倍——答案是三个零。这就是平行那一档，也是最该认得的一档，因为叉积的长度是两个向量张成的面积，而平行的向量张不出面积。拿回三个零是正确答案而不是失败：它说的是这两个方向是同一条直线，而那条直线并不存在一个「曲面法向量」意义上的垂线。

5. 3 4 0 与 4 3 0

   1. x 分量：4 × 0 − 0 × 3 ＝ 0
   2. y 分量：0 × 4 − 3 × 0 ＝ 0
   3. z 分量：3 × 3 − 4 × 4 ＝ 9 − 16 ＝ −7
   4. 长度：√（0 ＋ 0 ＋ 49）＝ 7

   两个向量都躺在同一个平面上，所以垂线就是垂直穿出那个平面的方向，前两个分量都是零。长度 7 是以它们为两边的平行四边形面积，而同样的两边构成的三角形面积是 3.5。第三个分量的符号告诉你答案指向平面的哪一侧，这里是负的，因为从另一侧看过去、第一个向量是逆时针转到第二个的。这两个向量的模都是 5，点积是 24，而 7、24、25 是一组勾股数——换句话说，这里的长度与点积正好是一个直角三角形的两条直角边，斜边是两个模的乘积。

两个向量都必须恰好三个分量，写成两个或四个的会被拒答，不会补齐。二维没有叉积：这个运算按定义就是三维的，而悄悄补一个零让二维的一对凑上去，会给出一个跟这两个向量所在的平面毫无关系的方向。分量按普通数字解析：逗号加空格是分量分隔，逗号后面不带空格时按小数点读（1,5 就是一点五），而千位分组会被直接拒收、不去猜——写 1500，不要写 1,500。四位小数是显示宽度而不是精度承诺。零向量在本页是收的，与点积页、夹角页不同，这个差别是有意的：叉积与零向量的结果确实是零向量，因为零向量跟任何向量都张不出面积，所以这里有真答案可给，而不是有一个计算要拒。因此拿回三个零本身是有歧义的，页面替你了断不了——它表示两个向量平行，也表示其中有一个是零向量，只有你知道是哪一种。两种都是正确输出。本页不处理单位：分量是纯数，答案的长度也是纯数，尽管那个长度确实带着输入被平方后的单位。页面也不会去核对结果是否符合你右手的方向：如果你要把输出当法向量或旋转轴用，决定你拿到两条垂线中哪一条的，是你输入两个向量时的先后次序。

为什么不能输二维向量？

因为平面里两个向量没有叉积。这个运算定义在三维：答案要同时垂直于两个输入，而在一个平面里没有多余的方向给它指。把二维的一对补一个零硬凑成三维，得到的答案与那个平面毫无关系，所以这一页宁可拒答。

答案在几何上是什么意思？

它是同时垂直于两个输入的那个向量，而它的长度等于两个输入张成的平行四边形面积；这个长度的一半，就是以它们为两边的三角形面积。正是这种双重读法，让同一个计算既出现在「要一个曲面法向量」的场合，也出现在「要一个面积」的场合。

我拿到三个零，是哪里出错了吗？

没有——叉积为零是一个真答案。它表示两个向量平行、张不出面积；其中一个向量是零向量时同样如此。两种都是正确结果而不是失败，而页面没有办法告诉你是哪一种，因为两者给的都是同样的三个零。

两个向量的先后次序有影响吗？

有，而且这是本页与点积页差别最明显的一处。对调两个向量会调转答案的方向：每个分量都变号，而长度完全不变。同一对数输两次、把两个框对调，你就能看着它发生。至于两条垂线里你想要哪一条，由右手定则决定。

三个分量的次序是什么？

先是 x 分量，再 y，再 z，答案按你输入时的向量写法印出来。每个分量都是两个乘积之差，而写法沿循环每挪一位就得到下一个：y 分量把 x 那一套的分量循环一次，z 分量再循环一次。

它跟点积有什么区别？

点积拿两个向量给出一个数，两个向量越同向它越大；叉积给出一个向量，两个向量越垂直它越长，两者互为补集。如果你要的是一个数——夹角、投影、相似程度——你要的是点积；如果你要的是一条同时垂直于两者的方向，你要的是这一页。

• Cross product（叉积）——本页计算的运算，含逐分量的定义，以及本页依赖的两条性质：结果同时垂直于两个输入、交换两个因子的次序会改变符号 — Wolfram MathWorld（美国）
• Determinant（行列式）——那个「求值结果恰好就是叉积各分量公式」的数组；正因为如此同一个循环次序在两边都出现，也是本页指向矩阵计算器的原因 — Wolfram MathWorld（美国）
• Parallelogram（平行四边形）——叉积的长度给出的正是它的面积，也是两个向量平行时答案恰好是三个零的原因 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；空间向量及其运算不属于义务教育学段，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部