单位向量计算器

û ＝ u ÷ |u| |u| ＝ √（u₁² ＋ u₂² ＋ … ＋ uₙ²） |û| ＝ 1

向量 u

要归一化的向量：两个或三个数，用空格或逗号隔开，例如 3 4。两个分量是平面里的向量，三个是空间里的；没有「维度」这个输入项要你填，数几个数就说明是哪种

|u|

输入向量的模：各分量平方和开根号。它是所有分量要除的那个数，也是面板上的第四个输出——印的是「你填的那个向量」的长度，不是单位向量的长度，后者的长度永远是 1

û

单位向量：输入的每个分量除以它的模。它与输入完全在同一条直线上、长度为 1，所以两者差的是大小而不是方向。头上那顶帽子是它的标准写法

x 分量

答案的第一个分量：输入的第一个分量除以模。它的符号就是输入的符号——除以一个正的长度不可能翻转方向，所以指向左边的向量，单位向量也指向左边

y 分量

第二个分量，同样是除以模。它与 x 分量一起把平面里的方向定死，与原向量有多长无关

z 分量

第三个分量，同样除以模，输入是二维时它等于 0。那个 0 不是补位：二维向量躺在那个平面里，同一个方向写成三个坐标时第三个分量就是 0

|û| ＝ 1

答案按构造就具备的性质，也是它不作为第五行印出来的理由。单位向量的长度在任何情况下都是 1，面板上摆一行永远写着 1.0000 的常数，是把常数打扮成了结果

四位小数

所有输出的显示宽度。只有当输入的模是整数或很短的根式时才精确——3 4 给出 5，而三分之一与一般的根式都除不尽

当你想要的是方向本身、而不带大小时，用这一页。最清楚的场合是比较两个量级差得很远的方向：只有长度不同的两个向量单位向量相同，所以归一化把你不问的那一部分剥掉了。另一个常见场合是给「假定向量长度为 1」的公式准备输入——反射、投影、光照计算都如此，而喂给它们一个长度为 5 的向量，会不声不响地把答案放大五倍。旁边印出来的长度让这次除法可以核对：3 4 给出 0.6 与 0.8，你能看到 5 从两个数里各除了一次。有两点值得记住。输出带着输入的符号，所以指向左或指向下的向量，单位向量也指向左或指向下——归一化改变的是向量有多长，仅此而已。以及输出的长度不论你填什么都是 1，所以页面印的是输入的长度；那才是有信息的那个数。二维向量完全可以，第三个分量回 0，因为同一个方向写成三个坐标就是这个样子。零向量是唯一被拒的输入，因为它没有方向可以归一化。

1. 3 4

   1. 模：√（9 ＋ 16）＝ √25 ＝ 5
   2. x 分量：3 ÷ 5 ＝ 0.6
   3. y 分量：4 ÷ 5 ＝ 0.8
   4. z 分量：0 ÷ 5 ＝ 0，二维向量躺在那个平面里

   页面的默认输入，也是最干净的一档：3-4-5 让模成为一个整数，于是两个分量都是精确值。这一档说明了第四个输出是干什么的——面板上的 5 就是 3 与 4 各自除的那个数，看着它读 0.6 与 0.8 就是这道题的全部。验算可以平方相加：0.36 ＋ 0.64 ＝ 1。

2. 2 3 6

   1. 模：√（4 ＋ 9 ＋ 36）＝ √49 ＝ 7
   2. x 分量：2 ÷ 7 ＝ 0.285714
   3. y 分量：3 ÷ 7 ＝ 0.428571
   4. z 分量：6 ÷ 7 ＝ 0.857143

   三维的一档，模同样正好是整数 7，而三个分量一个都不精确：全是除不尽、取到四位小数的循环小数。这个组合是常态而不是巧合——模是整数相当常见，而单位向量的分量还是整数就不常见了。方向与 2 3 6 一致，只是把长度除了出去。

3. -3 4

   1. 模：√（9 ＋ 16）＝ √25 ＝ 5，与 3 4 相同
   2. x 分量：−3 ÷ 5 ＝ −0.6
   3. y 分量：4 ÷ 5 ＝ 0.8
   4. z 分量：0 ÷ 5 ＝ 0

   第一个例子把第一个分量取了负，而单位向量把符号留住了：−0.6 与 0.8。除以一个正的长度不可能把向量调头，这一行就是这件事看得见的地方。指向左上方的向量是完全正常的输入，它的单位向量也指向左上方。模两种写法都是 5，因为把一个分量取负不会改变它。

4. 0 5

   1. 模：√（0 ＋ 25）＝ 5
   2. x 分量：0 ÷ 5 ＝ 0
   3. y 分量：5 ÷ 5 ＝ 1
   4. z 分量：0 ÷ 5 ＝ 0

   一个本来就落在坐标轴上的向量，所以它的单位向量就是那条轴的方向本身：0、1、0。这里要看的是第四个输出那一行——它写的是 5，不是 1。一个长度为 5、笔直向上的向量，其单位向量长度为 1，而面板印的是被除出去的那个长度，不是算出来的那个常数 1。

5. 1 1 1

   1. 模：√（1 ＋ 1 ＋ 1）＝ √3 ＝ 1.732051
   2. 每个分量：1 ÷ 1.732051 ＝ 0.577350

   正方体的体对角线，三个分量相等——这是必然的，输入三个分量本来就相等，而把它们除以同一个数不会破坏这个平局。模是一个根式而不是整数，所以这里没有一个精确值。验算就按页面自己的定义来：0.5774 的平方是 0.3334，三个加起来在四舍五入的范围内是 1。

只收两个或三个分量，别的不收：一个数是一个带符号的量而不是方向，四个以上则放不进面板上那三行分量。二维向量不是被「补」成三维的——它躺在那个平面里，第三行那个 0 就是同一个方向写成三个坐标的样子，所以页面不需要再问你这是哪一种。零向量完全不受理：它的模是零，没有东西可除，更要紧的是它没有方向可供答案保留。分量按普通数字解析：逗号加空格是分量分隔，逗号后面不带空格时按小数点读（1,5 就是一点五），而千位分组会被直接拒收、不去猜——写 1500，不要写 1,500。四位小数是显示宽度而不是精度承诺，分量是用未取整的模算出来的，所以印出来的数平方相加未必正好是 1。面板上印的长度是输入的，不是答案的；答案的长度按定义就是 1，印它等于印一个常数。这一页不知道分量是以什么为单位量出来的——单位向量没有单位，这正是它的意义，而长度带着输入原本的单位。有一处算术上的细节值得写明：每个分量的符号都跟着输入走，所以指向左的向量，单位向量也指向左。如果你期待的是正数，那你期待的是另一个向量。

什么是单位向量？

长度为 1、指向某个给定方向的向量。把一个向量除以它自己的模就得到它，它保留了方向、丢掉了大小。只有长度不同的两个向量，单位向量是同一个，这就是它被用来比较不同量级方向的原因。

为什么第四行印的是输入的模，而不是 1？

因为单位向量的长度在任何一档上都是 1，一行永远写着 1.0000 是一条常数而不是结果。输入的模是被除出去的那个数，印出来这次除法就看得见：填 3 4、看到 5，也就读出 0.6 与 0.8 分别是那两个数除以 5。

可以只填两个分量吗？

可以，第三个分量会回 0。那不是补位——二维向量躺在那个平面里，同一个方向写成三个坐标时第三个分量就是 0。面板上本来就是三行分量，所以二维与三维共用同一套排版。

为什么答案带着负号？

因为除以一个长度不可能把向量调头。模是正数，所以每个分量都保留自己的符号：−3 4 的单位向量是 −0.6 与 0.8。如果你期待答案是正的，那是另一个方向，不是同一个方向归一化的结果。

为什么分量全为零的向量会被拒答？

因为归一化它意味着除以它的模，而它的模是零。除了除法这层，还有第二个理由：零向量根本没有方向，没有东西可供答案保留。夹角页与点积页同样拒答，而叉积页收它——在那边它确实会算出一个零向量。

归一化一个向量是拿来干什么的？

把方向与大小分开。反射、投影、光照这几类公式都假定你交给它们的向量长度为 1，而交一个长度为 5 进去，会不声不响地把答案放大五倍。另一个用途是比较两个在不同量级上量出来的方向：两个都归一化，大小就不再干扰。

• Unit vector（单位向量）——指向给定方向、长度为 1 的向量，也就是本页返回的东西，以及由它而来的「除以模」这种归一化写法 — Wolfram MathWorld（美国）
• Vector（向量）——被归一化的那个对象，以及它的模等于各分量平方和开根号这一定义 — Wolfram MathWorld（美国）
• Norm（范数）——向量长度的通名，本页用的是它最普通的欧几里得那一档，也就是平方和开根号 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；平面向量及其线性运算不属于义务教育学段，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部