两向量夹角计算器

cos θ ＝ （u · v）÷ （|u| × |v|） θ ＝ arccos（cos θ） u · v ＝ u₁v₁ ＋ u₂v₂ ＋ … ＋ uₙvₙ

向量 u

第一个向量，写成它各个分量、用空格或逗号隔开：三维就写 1 1 0，二维写 0 3，多少维都行。这一页没有固定的输入框个数，因为它接受任意维数；两个向量的分量个数必须彼此一致

向量 v

第二个向量，写法相同，分量个数与第一个一样。两个向量对调不影响结果——夹角不分先后

u · v

数量积（内积）：两个向量的第一个分量相乘、第二个相乘、依此类推，再把乘积加起来。这一页要用它，但「不印它」——在这里它是求夹角的原料，不是独立的答案

|u| 与 |v|

两个向量的模，单位与分量本身相同：各分量平方和开根号。它们就是数量积要除的那两个数，而每个模都是那个向量自己的事——其中一个很大，说明不了另一个

cos θ

两个向量夹角的余弦，等于数量积除以两个模的乘积。两个向量同向时为 1，垂直时为 0，反向时为 −1，且永远不会跑出这个范围。夹角是从它反解出来的，所以页面把它一起印出来

θ

两个向量的夹角，以度为单位：同向是 0 度，垂直是 90 度，反向是 180 度。它由上面那个余弦取反余弦得到，所以继承了它的范围，不可能算出这个区间以外的值

弧度

同一个角度的另一种写法：180 度是 π 弧度，90 度是它的一半，输出是一个不带单位的纯数。微积分里的公式和多数编程语言要的都是弧度，所以这一页两个都给，省得你自己去乘 π 再除以 180

度

主输出的单位，也是这一页唯一带单位的输出。余弦与弧度值都是纯数

四位小数

所有输出的显示宽度。余弦只有在少数几个取值上才是精确的（0、0.5、1、−1），夹角也只在余弦取到这几个值时精确，所以这一页上几乎每一行都带着四舍五入

当你真正想要的是那个角度、而不只是两个方向之间的关系时，用这一页。有三个角度不需要任何计算就值得认出来：余弦为 1 是 0 度、两向量同向，余弦为 0 是 90 度、两向量垂直，余弦为 −1 是 180 度、两向量反向。其余都是实打实的角度，页面给到四位小数。最常见的实际用法是拿一个方向对照一个基准：风偏离正北多少度、镜头转了多少度、实测方向相对应有方向漂了多少。已知两个方向的几何题是同一个计算，把两条直线各写成一个向量之后求它们的夹角也是。检查答案是否合理的办法是让余弦与夹角互相印证：余弦大于零必然对应小于 90 度的夹角，余弦为负对应大于 90 度，余弦为零对应正好 90 度，两者对不上就说明分量跟你以为的不一样。弧度这一栏是给「这个角马上要代进公式或代码」的场合准备的，那些地方几乎总是要弧度，而手工换算正是 180 倍与符号错误的来源。

1. 1 1 0 与 1 0 1

   1. 数量积：1 × 1 ＋ 1 × 0 ＋ 0 × 1 ＝ 1
   2. u 的模：√（1 ＋ 1 ＋ 0）＝ √2 ＝ 1.414214
   3. v 的模：√（1 ＋ 0 ＋ 1）＝ √2 ＝ 1.414214
   4. 余弦：1 ÷ （1.414214 × 1.414214）＝ 1 ÷ 2 ＝ 0.5
   5. 夹角：0.5 的反余弦是 60 度，也就是 60 × π ÷ 180 ＝ 1.047198 弧度

   页面的默认输入，也是最干净的一档：余弦正好是二分之一，夹角正好是 60 度。注意数量积那个 1 在面板上哪儿都找不到——这一页印的是余弦与夹角，数量积是中间那一步。两个模都是根号二，相乘正好是 2，所以余弦与夹角都是精确值而不是四舍五入来的。

2. 3 4 0 与 4 3 0

   1. 数量积：3 × 4 ＋ 4 × 3 ＋ 0 × 0 ＝ 24
   2. 两者的模：√（9 ＋ 16）＝ 5，第三个分量为零
   3. 余弦：24 ÷ （5 × 5）＝ 0.96
   4. 夹角：0.96 的反余弦是 16.2602 度，也就是 0.2838 弧度

   这一档说明余弦为什么值得印出来。0.96 听上去像两个几乎重合的向量，而夹角是 16.26 度——约六分之一个直角。余弦把 0 到 90 度这一整段挤进了 1 到 0 之间，而且挤得不均匀，所以把它当成某个比例来读一定会读错。这里两个模都正好是 5，又是 3-4-5 在干活。

3. 1 0 与 0 1

   1. 数量积：1 × 0 ＋ 0 × 1 ＝ 0
   2. 两者的模：都是 1
   3. 余弦：0 ÷ 1 ＝ 0
   4. 夹角：零的反余弦正好是 90 度，也就是 1.570796 弧度

   这一页最常被打开来查的答案，而且恰好是精确的那一档：余弦为零就是垂直，夹角返回的正好是 90 而不是四舍五入过的数。这两个向量是最朴素的垂直对子——一个沿 x 轴，一个沿 y 轴。弧度那一栏的 1.5708 就是 π ÷ 2。

4. -1 0 0 与 1 0 0

   1. 数量积：（−1）× 1 ＋ 0 × 0 ＋ 0 × 0 ＝ −1
   2. 两者的模：都是 1
   3. 余弦：−1 ÷ 1 ＝ −1
   4. 夹角：−1 的反余弦正好是 180 度，也就是 3.141593 弧度

   范围另一头的那一档。余弦为 −1 就是两个向量能张出的最大角，180 度，弧度值是 π。方向正好相反的两个向量仍然是两个向量，它们之间的夹角不是零——当「算出 180 度」看着像出错时，该看的就是这一行。它没有错：相反是一种关系，跟平行一样是一种关系。

5. 2 -3 与 4 5

   1. 数量积：2 × 4 ＋ （−3）× 5 ＝ 8 − 15 ＝ −7
   2. u 的模：√（4 ＋ 9）＝ √13 ＝ 3.605551
   3. v 的模：√（16 ＋ 25）＝ √41 ＝ 6.403124
   4. 余弦：−7 ÷ （3.605551 × 6.403124）＝ −7 ÷ 23.086793 ＝ −0.303201
   5. 夹角：−0.303201 的反余弦是 107.6501 度，也就是 1.8788 弧度

   钝角那一档，也是最容易让人愣一下的情形：两个向量的夹角可以大于 90 度，只要数量积为负就会。这里 u 有一个负分量，这就是「指向左或指向下」的写法。余弦 −0.3032 数值不大，但它的符号就是全部的信息——它说这两个向量朝着彼此相反的方向偏，而 107.6501 度与它是一致的。

两个向量的分量个数必须相同，对不上时整页拒答，不会拿零补齐。零向量完全不受理：分量全为零的向量没有方向，它与任何东西的夹角都是未定义的，所以页面宁可整页拒答，也不给出一个会被读成「同向」的 0 度。分量按普通数字解析：逗号加空格是分量分隔，逗号后面不带空格时按小数点读（1,5 就是一点五），而千位分组会被直接拒收、不去猜——写 1500，不要写 1,500。每个向量最多 200 个分量，手写的用例远远用不到，但也够不上数据管线的规模。数量积本身不在输出里，这是有意的：它是算出夹角的那一步，把它当答案印出来的是另一页。四位小数是显示宽度而不是精度承诺，两个输出都是用未取整的模算出来的，所以把页面上印出来的数乘回去，未必能正好还原印出来的夹角。页面不知道分量是以什么为单位量出来的——输入是纯数，余弦与弧度值也是纯数，全页唯一带单位的地方是角度。

分量该怎么写？

用空格隔开，或者用逗号加空格：1 1 0 与 1, 1, 0 都可以。夹在两位数字之间、后面不带空格的逗号会被读成小数点（1,5 就是一点五）；而 1,500 这样的千位分组会被直接拒收、不去猜，所以写 1500。两个向量的分量个数必须一样，个数本身没有上限，只要两边一致即可——二维和三维是同一个页面。

印出来的余弦有什么用？

夹角是从它反解出来的，而在真正要紧的那三档上它比夹角好读得多：余弦为 1 表示两个向量同向，为 0 表示垂直，为 −1 表示反向。其余取值就是实打实的角度，页面会同时给出度与弧度。

怎么判断两个向量垂直？

它们的夹角余弦为零，页面会读成正好 90 度。这条判据用不到求夹角那一步的三角函数——它成立的充要条件就是数量积为零，而那只需要乘法。这一页之所以把余弦印出来，就是为了让直角这一档不必动手算也看得见。

夹角为什么不会超过 180 度？

因为夹角的余弦被限制在 −1 到 1 之间，而反余弦只返回 0 到 180 度之间的值。180 度就是两个向量正好反向的情形；两个方向之间不存在 200 度这样的角——200 度与 160 度说的是同一对箭头。

为什么给两个角度输出，度和弧度？

因为读者是两拨人。人读的是度；公式与编程语言几乎总是要弧度，而 180 度就是 π 弧度。两个都印出来，就没人需要自己去乘 π 再除以 180，而 180 倍的错误正是从那里来的。弧度值是不带单位的纯数。

为什么分量全为零的向量会被拒答？

因为零向量没有方向，它与任何东西的夹角都是未定义的。它的模是零，而余弦等于数量积除以两个模的乘积，算下去就是除以零。如果页面返回 0 度，那等于说它跟你的向量同向，而这是在为一个根本不存在的方向下断言。

• Dot product（数量积）——把对应分量相乘再相加的那个和，以及「它等于两个模与夹角余弦的乘积」这条恒等式；本页解的就是这条式子里的夹角 — Wolfram MathWorld（美国）
• Vector（向量）——本页读入的那种「有大小、有方向」的量，以及它的模等于各分量平方和开根号的来历 — Wolfram MathWorld（美国）
• Perpendicular（垂直）——直角关系，也就是余弦恰好为零、夹角恰好 90 度的那一档，本页之所以值得一算就是为了它 — Wolfram MathWorld（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；平面向量及其数量积是高中数学课程的内容，不属于义务教育学段，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部