协方差计算器

协方差 = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) ÷ 除数，样本取 n − 1、总体取 n；相关系数 r = 协方差 ÷ (sₓ × s_y)

xᵢ, yᵢ

成对出现的两个值：第一组第 i 个数配第二组第 i 个数。两组个数必须相同，而且都不排序——配对靠的是位置，把其中一组调换顺序，结果就会变

x̄, ȳ

两组各自的平均数，都在结果里印着。每个值都是拿自己那一组的平均数去减的，所以整组数同时加上或减去同一个常数，协方差不变

n

一共有多少对，也就是任一组数据的个数，本页最多 200 对。总体协方差除以它，样本协方差除以它减一

sₓ, s_y

两组各自的标准差，口径与协方差一致。它们是把协方差变成相关系数的那一步，印出来是为了让 r 在面板上就能复算出来

协方差

协方差本身：两组同涨同落时为正，一组涨另一组落时为负，线性关系很弱时接近 0。它的单位是 x 的单位乘 y 的单位

r

皮尔逊相关系数，等于协方差除以两个标准差之积，单位在这一步约掉，取值落在 −1 与 1 之间。它不随某一组数据换单位而改变，而且在样本与总体两种口径下完全相同

同一批对象上测了两个量、想知道它们是不是同步变化时，协方差就是自然的概括：身高与体重、学习时长与成绩、气温与用电量、同一支传感器在两个时刻的读数。它是标准差在「两个变量」上的推广，也是每一个相关系数、回归斜率与组合方差公式的原料——所以值得亲手算一遍，看看那些公式是从哪来的。要读的是符号而不是大小：一组用米、另一组用厘米，协方差会相差 100 倍，而两组数据之间的关系一点没变。下面印的相关系数是把单位约掉之后的版本，真正要说明「关系强不强」时报的是它。协方差也不说明因果，而且它只认直线：两组数据之间是完美的曲线关系时，协方差同样可以是 0。

1. 五对同涨的数据：协方差 1.5，r = 0.7746

   1. 平均数：x̄ = (1+2+3+4+5) ÷ 5 = 3，ȳ = (2+4+5+4+5) ÷ 5 = 4
   2. 各自的离差，x：−2、−1、0、1、2；y：−2、0、1、0、1
   3. 乘积之和：(−2)(−2) + (−1)(0) + (0)(1) + (1)(0) + (2)(1) = 4 + 0 + 0 + 0 + 2 = 6
   4. 样本除数是 n − 1 = 4：协方差 = 6 ÷ 4 = 1.5
   5. 两个标准差是 1.5811 与 1.2247，所以 r = 1.5 ÷ (1.5811 × 1.2247) = 0.7746

   符号为正，而协方差真正被读的就是这一半：高于平均的 x 配着高于平均的 y。大小 1.5 的单位是 x 的单位乘 y 的单位，任一组换个单位它就会变，所以旁边印着相关系数。r 是 0.7746：向上走的趋势很明显，但离一条直线还远——(4, 4) 这一对掉在了趋势下面。

2. 同样的数据按总体口径：协方差 1.2，r 一点没变

   1. 求和结果不变：乘积之和仍是 6，两个平均数仍是 3 与 4
   2. 总体除数是 n = 5：协方差 = 6 ÷ 5 = 1.2——比样本口径小，因为除数更大
   3. 两个标准差同样变小：1.4142 与 1.0954
   4. r = 1.2 ÷ (1.4142 × 1.0954) = 0.7746——与上面完全相同

   换除数会改变协方差与两个标准差，却动不了相关系数：在那个比值里 n − 1 与 n 约掉了。所以样本与总体的选择对协方差要紧、对 r 完全不要紧——这一点值得先记住再拿这里的协方差与别处报的数作比较：两份材料可以一个说 1.5 一个说 1.2，而对「关系有多强」的判断分毫不差。

3. 完美的曲线，协方差却是 0

   1. 平均数：两组都是 3
   2. 各自的离差，x：−2、−1、0、1、2；y：−2、1、2、1、−2
   3. 乘积之和：4 − 1 + 0 + 1 − 4 = 0
   4. 协方差：0 ÷ 4 = 0，r = 0 ÷ (1.5811 × 1.8708) 同样是 0

   第二组是个倒过来的 U：1、4、5、4、1 是极其规整的形状，而它与 1 到 5 的协方差正好是 0。协方差只认直线关系——这里第二组先升后降，正负两部分的贡献精确地抵消了。所以「协方差接近 0」的意思是没有线性关系，绝不是「没有关系」，这也是散点图没有被一个数字取代的原因。

协方差不是相关系数，不能当相关系数读。它的大小取决于两组的单位，所以不同量纲的变量之间没法直接比，而且它没有上界可供判断——能直接解释的只有符号。它也只测线性关联，关系很强但弯曲时协方差可以接近 0。由于它是按配对算的，两列必须对得齐：两组个数要相同，每个值都与同一位置上的那个值配对，所以某一组多一个或少一个，后面的配对就全错位了。任一组完全没有变化——每个值都相同——时相关系数没有定义，这一页拒绝作答，而不是印一个除零的结果。两个列表各上限 200 对；像 1,500 这样的写法会被拒收而不是替读者猜，因为夹在数字中间的逗号在有些国家是小数点、在另一些国家是千分位。这一页也不说明因果：一起变动的两组数据，可能是同时被第三个两者都没有包含的变量推着走。

协方差怎么算？

先把两组数按位置配对，各自减去本组的平均数得到离差，把每一对的离差相乘，再把这些乘积加起来，最后除以 n − 1（样本）或 n（总体）。x = 1、2、3、4、5 与 y = 2、4、5、4、5 的乘积之和是 6，所以样本协方差是 6 ÷ 4 = 1.5。两个平均数、两个标准差与结果都印在面板上，每一步都能跟着走。

两组数据的个数必须一样吗？

必须一样，而且顺序也要对——第一组的第一个数配第二组的第一个数，两组都不排序。所以这一页遇到长度不等的两列会拒绝作答，而不是把短的那列补齐：一组 3 个数、另一组 2 个数时，无从判断少的是哪一个，把前面两个偷偷配上会给出一个看起来完全合理的错误答案。粘贴之前先确认两列来自同一批对象、行与行对得上。

协方差的正负号是什么意思？

协方差为正，说明某个值高于本组平均数时，与它配对的那个值也倾向于高于另一组的平均数——两组同涨同落。为负则相反：一个高于平均往往配着另一个低于平均。接近 0 说明没有直线规律，而这不等于没有关系：1、4、5、4、1 与 1、2、3、4、5 之间是一个规整的倒 U 形，协方差正好是 0。

为什么还要印一个相关系数？

因为协方差单看没法读。它的单位是第一组的单位乘第二组的单位，所以某一组从米换成厘米就会把它放大 100 倍，而两组之间的关系毫无变化。除以两个标准差之积把单位约掉，并把结果限制在 −1 与 1 之间，于是不同变量之间可以互相比较。协方差是公式推导里的那个量，而别人问「关系强不强」时该报的是 r。

为什么其中一组没有变化时它会拒绝作答？

因为相关系数会除以 0：某一组每个值都相同时，那组的标准差是 0，关系的强度就没有定义。协方差本身是有定义的（就是 0），但这一页把两个数放在一起印，只报一半会让人把没有意义的 r 当成真的。这个站上别处也是同样的处理：变异系数那一页在平均数不为正时同样拒绝作答，而不是印一个没有定义的比值。

该选样本还是总体？

两组数据是从更大的群体里抽出来的样本、而你想描述那个更大的群体时用样本口径（n − 1），这也是常见情形；两组数据就是你关心的全部时用总体口径（n）。这个选择会改变协方差与两个标准差，但永远不影响相关系数——在那个比值里 n − 1 与 n 约掉了。上面那五对数据，样本口径协方差是 1.5、总体口径是 1.2，而 r 两种都是 0.7746。

• GB/T 3358.1-2009《统计学词汇及符号 第1部分：一般统计术语与用于概率的术语》（推荐性国家标准，现行：2009-10-15 发布 / 2010-02-01 实施，采标；该站注明因涉及国际版权不提供在线阅读，全文需另寻） — 国家市场监督管理总局 国家标准全文公开系统
• Correlation, Variance and Covariance (Matrices) — R stats 包参考文档（cov 与 cor 两个函数；写明协方差所用除数为 n − 1，并把相关系数定义为协方差除以两个标准差） — R 项目（The R Project for Statistical Computing）
• scipy.stats.pearsonr — SciPy 参考文档（皮尔逊系数的取值范围，以及它作为线性关联强度的含义） — SciPy
• The Regression Equation — Introductory Statistics 2e, section 12.3（相关系数 r 的定义：皮尔逊提出，用来度量两个变量之间线性关联的强度与方向） — OpenStax（莱斯大学）