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CalcMax

进制计算器

范围：2 – 36

结果

10001

结果

十进制
17
余数
0

所谓进制，就是一套把一串数字变成数值的规则：把每一位乘以「进制」的「它从右数第几位」次方，再把结果加起来，最右那位的位次是零。二进制里只有 0 和 1 两个数字，往左走一步就翻一倍：1011 是 1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1，也就是 11。十六进制里数字从 0 排到 9，再往后是 A 到 F，往左走一步乘 16：FF 是 15×16 + 15，也就是 255。这一页让你在 2 到 36 之间任意选一个进制，然后在那个进制里做加、减、乘、除。进制不是另一种数，它是同一批数的另一种写法，所以这一页把答案的两种读法并排印出来。二进制里 1011 加 110 得 10001——而那是 11 加 6，等于 17，而 17 写成二进制就是 10001。两行说的是同一件事；十进制那一行是给不常待在别的进制里的读者看的。动手之前有三件事值得先知道。九以上的位需要符号，按沿用已久的约定，字母 A 到 Z 依次代表十到三十五，这也是为什么 36 是键盘上的字符写得出来的最大进制。一个位只有在它小于进制时才合法，所以 2 不是二进制里的数字，1012 也不是二进制数，尽管它看起来很像。还有，进制本身不进答案：10001 之所以是十七，只因为你说了进制是二，所以这一页只印数字，进制留在你选的那个字段里。运算本身是普通的运算，变的只是写法。加法在某一列满进制时进位，而不是满十进位，这就是为什么 FF 加 1 会翻成 100 而不是停在 FG——没有 G 这个数字，因为十六不是一位。除法是进制运算最见用处的地方：一个数除以另一个数，得到商与余数，两者都按你选的进制印出来。余数那一行永远在。做加、减、乘时它是 0，因为对整数来说「没有剩下」与「余数是零」本来就是同一句话。减法可以跨过零，这时答案前面带一个普通的负号——负号不属于数字集合。

255 在 2、8、10、16 四个进制里的写法，以及它的位值展开

进制该进制下的写法位值展开
211111111128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
83773×64 + 7×8 + 7
102552×100 + 5×10 + 5
16FF15×16 + 15

顺着中间那一列读下来，同一个值出现了四次：11111111、377、255 与 FF。行与行之间这个数没有发生任何变化——变的只是符号，以及每一步的大小。第三列是把每种写法换算回 255 的那道算术：二进制里有八个 1，所以 128 一路到 1 的幂全都出现；十六进制里只有两位数，但第一位乘的是 16 而不是 2。留意位数是怎么随进制变高而缩水的。要写出 255，二进制要八位，八进制要三位，十进制要三位，十六进制只要两位——进制越大，同一个值用越少的位就说得完，因为每一位更值钱。这个取舍正是进制存在的全部理由：十六进制被用来写字节，不是因为它数学上特别，而是因为它的两位恰好盖住一个字节；再往下一层用二进制，是因为一根只分通断的线只有两个状态。这张表不跟着你输入的数变——面板回答那些，这张表展示的是一个值的四种写法。

公式

1011（二进制）＋ 110（二进制）＝ 10001（二进制），而 11 ＋ 6 ＝ 17，10001（二进制）＝ 17

b
进制，2 到 36 之间的整数。它是一个普通的数字输入框，而不是一张三十五个选项的清单，所以上下界是在框上挡的：1 和 37 在开始计算之前就被拒绝。1 进制不可能，因为一位符号数不过零；37 进制则要发明第三十七个键盘上没有的符号
1011
十一的二进制写法：1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1。要从右往左读，因为位次是往这个方向涨的。同一个十一写成十进制是 11，写成八进制是 13，写成十六进制是 B
10001
1011 ＋ 110 的答案，仍在二进制里：1×16 + 0×8 + 0×4 + 0×2 + 1×1，也就是 17。路上进了两次位——个位那列到了 2，四那列也到了 2——每次进位都往左挪一位，和十进制里某列满十时进位是同一件事
FF
十五乘十六再加十五，也就是 255。十六进制是刚好装得下一个字节的进制：两位十六进制数覆盖 0 到 255 的全部取值，这就是它出现在一切与字节有关的地方的原因。A 到 F 是九之后的六个数字
17 ÷ 5 = 3 余 2
把除法写开。同样的除法在二进制里是 10001 ÷ 101 = 11 余 10，这一页把商印成结果，把余数单独印一行。余数永远小于除数——正是这一点让它叫余数而不是分数
A 到 Z
把十进制一路撑到三十六进制的那二十六个额外的位。A 是十，B 是十一，Z 是三十五。大小写都收，印出来是大写

从说另一种进制的系统里读数是日常用法。内存转储把每个字节印成两位十六进制，文件权限显示成 755 是因为三个数字各装了三位，子网掩码是四组八位，IPv6 地址整个是十六进制。这些场合你要的都不是十进制那个值，而是机器看到的那套写法。往同一批系统里写是镜像的那一面：设寄存器的位模式、由红绿蓝三个字节拼出一个颜色、或者想弄清楚一个左移过的值为什么变成了负数，都意味着在一个不是十的进制里做运算。课业里讲进制运算，讲的是「位值制是一种选择而不是事实」，而练习恰好就是这一页在做的事——二进制里进位、八进制里借位，然后看到只要两边按同一个进制读，同一次运算在每个进制里给的都是同一个答案。第四种用法是验算：如果 1011 加 110 在二进制里给出的十进制不是 17，那两种读法里有一种错了，而两种读法同时在这一页上，才让这个检查做得成。进制具体是 2 或 16 时，专门的页面走得更深——binary-calculator 与 hex-calculator 是同一套运算、进制已经填好，两个换算页则处理不经过运算、直接把一个值从一种进制改写成另一种。

算例

  1. 二进制里做加法：1011 + 110

    1. 先把两个操作数读成十进制，才知道自己在加什么：1011 是 11，110 是 6
    2. 11 + 6 = 17
    3. 把 17 写成二进制：17 = 16 + 1，所以各位是 1 0 0 0 1
    4. 二进制的答案是 10001，而十进制那一行确认它就是 17

    这一页的默认输入，也是下面那张表换一个进制走一遍的那个数。把两个串按列相加得到同样的答案：1 + 0 是 1，1 + 1 是 0 进 1，接着 0 + 1 再加进位是 0 进 1，最后一次进位落在左边新开的一列上。某列满 2 就进位，这就是二进制加法的全部；也正是这几次进位让答案有五位宽，而两个操作数分别只有四位和三位。

  2. 一路进过最后一位：十六进制里的 FF + 1

    1. FF 是 15×16 + 15 = 240 + 15 = 255
    2. 加 1 得 256
    3. 把 256 写成十六进制：256 = 1×256 + 0×16 + 0，所以各位是 1 0 0
    4. 十六进制里的答案是 100——它是 256，不是一百

    这个算例存在的理由就是那个坑：100 在十进制里是个小数，在十六进制里大得多。按列读一遍就能看出它为什么这么宽——F 加 1 是十六，而十六在十六进制里不是一位，于是进一留零，进上去的那个 1 又落在一个满的 F 上，再进一次。一次加法把答案往上顶了两位。这和十进制里 99 + 1 得 100 是同一件事，也是一个字节从 255 翻到 256 时需要第二个字节的原因。

  3. 带余数的除法：二进制里的 1011 ÷ 10

    1. 1011 是 11，10 是 2
    2. 11 ÷ 2 = 5 余 1
    3. 把 5 写成二进制：5 = 4 + 1，所以各位是 1 0 1
    4. 商是 101，余数那一行是 1——而 101 就是 5，十进制那一行确认了它

    四种运算里唯一一个余数不为零的，也是余数那一行之所以在页面上的原因。注意商只是整数部分：11 除以 2 是 5.5，而这一页印的是 101 配一个余数 1，而不是 10.1 或 101.1，因为余数把答案留在整数里——那半个正躺在这个 1 里。验算是 5 × 2 + 1 = 11，它在每个进制里都成立。

局限

进制必须是 2 到 36 之间的整数。1 进制不可能，因为一位数字表达不了零以外的任何值；37 进制则要发明第三十七个符号；这两个值在开始计算之前就被输入框拒绝。小数与分数是拒绝而不是四舍五入，操作数前面的负号也一样：这一页解析的是数字，而符号和小数点都不是数字。位上超出了你选的那个进制，是另外一类情形，它怎么处理值得说清楚。把进制设成 2 再输入 1012，你得到的是一句通用的计算错误，而不是指名哪一个位不合法的说明。这是有意的取舍而不是疏漏：输入框上那条校验只拿到字符串本身，读不到它旁边的进制字段，而诚实的选项只有两个——接受「任何进制里都可能合法」的数字串，或者什么都接受。这一页选了前者。实际效果是输入框保持干净，错误出现在结果面板里——答案从来不会算错，只是说明得薄了一点。两个操作数都限长六十个字符，且不得超过双精度能精确表示的最大整数 9007199254740991，它写成十进制是十六位，写成二进制约五十位。答案受同一个上限约束：先精确算出结果再检查，所以结果越界的运算会被拒绝，而不是印一个四舍五入过的值。字母大小写都能输入，印出来是大写，所以 ff 与 FF 是同一个输入。前导零接受并忽略，也就是说 00001011 与 1011 是同一个数，两者都印成 1011。下面那张参考表固定是 255 在 2、8、10、16 四个进制里的写法，不跟着你的输入变——面板回答你的数，表把同一个值的四种拼法摆在一起。

常见问题

不在十进制里，两个数怎么加？
和十进制一样从右往左按列相加，只是某列满的是进制而不是满十。二进制里唯一的进位线是 2：1 + 1 得 0 进 1。所以 1011 + 110 得 10001，因为 2 那一列和 4 那一列各自溢出，各往左推了一个 1。如果你不想一路盯着进位，把两个操作数都换成十进制，在那儿算完，再换回来——这一页上十进制那一行展示的就是这个做法，而且每次都给同一个答案。
进制是 2 的时候，1012 为什么会失败？
因为 2 不是二进制里的数字——二进制的数字只有 0 和 1。规则是每一位都必须小于进制：二进制收 0 和 1，八进制收 0 到 7，十进制收 0 到 9，十六进制收 0 到 9 加 A 到 F。你会看到一句通用的计算错误，而不是指名哪一位不合法的说明，这是一个已知的粗糙边缘：输入框上那条校验只能看见你敲进去的字符串，看不见你选的进制，于是它接受「任何进制里都可能合法」的数字串，把与进制有关的检查留给计算本身。答案从来不会错，只是说明得比应该的薄。
能用哪些进制，为什么到 36 就停了？
2 到 36 之间的任何整数。上限来自键盘而不是数学：九以上的位需要符号，沿用的符号是字母 A 到 Z，一共二十六个——十加二十六等于三十六。1 进制不可能是另一个原因：只有一位数字的话，你写不出任何大于零的值，因为每一位都值 1，永远到不了 2。
十六进制里的 100 等于一百吗？
不等于，这正是本页第二个算例要拦住的错误。在十六进制里，100 表示 1×256 + 0×16 + 0，也就是 256。字符是一样的，但每一步的位值涨的是十六倍而不是十倍，所以同样的三个符号代表的值不同。这一页上十进制那一行存在，就是为了让你不必猜读的是哪一种。
为什么连做加法都把余数印出来？
因为对整数来说，「没有剩下」和「余数是零」是同一句话，而一行时有时无比一行永远在更难读。做加、减、乘时这一行是 0。只有除法会产生非零余数，那里它装着没有整除干净的那一部分——二进制里 1011 ÷ 10 余 1，也就是 11 ÷ 2 里商丢掉的那半个。
能在这一页上做十进制的运算吗？
能，而且这是检验这一页与普通计算器是否一致的方便办法：把进制设成 10，一切表现都和你预期的一样，因为数字、进位和答案的格式都没有变。你多拿到的是余数那一行和一句明写的进制，损失的没有。邻近几页走的是另一个方向——binary-calculator 与 hex-calculator 是同一套运算、进制已经设成 2 与 16，两个换算页则处理不经过运算、直接把一个值从一种进制改写成另一种。

参考资料

相关计算器

二进制计算器二进制数的加减乘除，附十进制结果。十六进制计算器十六进制数的四则运算，并给出十进制结果。十进制转二进制换算器用反复除以二的办法把十进制整数写成二进制，每一步除法都列出。十六进制转十进制换算器把十六进制数按十六的幂逐位相加，算出十进制值。展开式计算器把一个数按数位逐位写成展开式。