十进制转二进制换算器

17 ÷ 2 = 8 余 1 → 8 ÷ 2 = 4 余 0 → 4 ÷ 2 = 2 余 0 → 2 ÷ 2 = 1 余 0 → 1 ÷ 2 = 0 余 1 ⇒ 17 = 10001 = 16 + 1

17

要换算的那个整数，用十进制写。它必须是整数：小数点与千分位分隔符都会被拒收，而不是被四舍五入掉——这一族的页面统一只处理整数

÷ 2

反复执行的那一步。二是你要换进去的那个底，所以每一轮问的都是「里面有几个二」，而剩下来的那部分正好就是这一位上该写的数字

商

带进下一轮的那部分。商变成零就是停止的信号，它表示再往左的位都不需要了

余数

这一轮产生的数字位。除以二只可能余下 0 或 1，这正是答案是一串二进制数字、而不是别的符号的原因

⇒ 10001

把数字位从下往上拼起来的结果。第一个求出的余数是最右边那一位，最后一个求出的才是最高位——这是这套方法里唯一容易搞反的一步

16 + 1

把答案按位值读回来：10001 只在十六和一这两位上是 1，所以加起来又是 17。这就是页面上印出来的那道核对，它成立是因为一个二进制数的位值之和就是这个数本身

53 位

答案最长可以有多少位：五十三个二进制位，换成十进制是 9007199254740991。超过这个宽度，机器已经分不开相邻的两个整数，所以更大的输入会被拒收，而不是换成一个只是看起来对的答案

凡是需要手写出机器自己的写法，就会用到十进制转二进制。把几个小值打包进一个整数时，要先算清每个值占哪几位，而这件事从二进制写法的值本身开始：一个颜色通道、一组权限标志、配置寄存器里的一个位域。看数据手册的人遇到的是同一件事的另一面，因为手册上印的范围与掩码是十六进制或二进制写的，而它们对应的那个数通常是十进制。课程作业里这个方向往往是直接问的——把十进制转成二进制并把过程写出来——而这张除法梯子就是那个过程，一步一行。同一个换算还回答一些看起来不是换算的问题：这个量级的数要几位才够、比它大的 2 的幂是哪一个、为什么一个 8 位字段的范围是 0 到 255 而不是到 256。习惯心算的人多半不列梯子，而是拿 2 的幂去减——减掉能减的最大的那个，再对剩下的重复——这一页的输出同样支持这种做法：每减成功一次，那一位上就留一个 1，而答案旁边印的位值和就是那些 1 加回来的结果。

1. 把 17 写成二进制

   1. 17 ÷ 2 = 8，余 1——把这个 1 写下来
   2. 8 ÷ 2 = 4，余 0
   3. 4 ÷ 2 = 2，余 0
   4. 2 ÷ 2 = 1，余 0
   5. 1 ÷ 2 = 0，余 1——商已经是零，到此为止
   6. 把余数从下往上读：1、0、0、0、1，也就是 10001

   默认值，也是展示方向的那一条：最先求出的余数是答案的最后一位。按求出的先后顺序读，得到的是反过来的答案——10001 反过来写还是 10001，纯属巧合，所以这条规则要看下一条例子才数得清。核对：16 + 1 = 17。

2. 把一个字节写满，255

   1. 255 ÷ 2 = 127，余 1
   2. 127 ÷ 2 = 63，余 1——从这里开始，每一轮余下的都是 1
   3. 63 → 31 → 15 → 7 → 3 → 1，每一轮都余 1
   4. 1 ÷ 2 = 0，余 1——一共八轮
   5. 八个余数都是 1，从下往上读：11111111

   255 是一个八位字段能装下的最大值，原因就在这里：八个二进制位给出 2⁸ 种组合，其中最大的一种是全 1。同一件事的另一头是 256 写成 100000000——九位——那才是装不进一个字节的数。位值和是把整把尺子加了一遍，值得完整看一次。

3. 一个 2 的幂，16

   1. 16 ÷ 2 = 8，余 0
   2. 8 ÷ 2 = 4，余 0
   3. 4 ÷ 2 = 2，余 0
   4. 2 ÷ 2 = 1，余 0
   5. 1 ÷ 2 = 0，余 1
   6. 从下往上读：一个 1 后面跟四个 0，也就是 10000

   2 的幂恰好只会产生一个 1，然后就停了，所以位值和塌成单独一项。这个形状值得记住：任何 2 的幂在二进制里都是一位 1 后面跟一串 0，这也是为什么字段宽度、页大小、缓冲区容量都以 2 的幂为单位。

4. 前导零不改变数值

   1. 输入里的前导零挂在十进制数的最前面，不贡献任何东西
   2. 换算针对的仍然是 17，与第一条例子完全相同
   3. 两个输出都与那一条逐字相同

   输入侧收下前导零，是因为十进制数常常是从某处粘过来的、带着补位；而它们不改变任何东西：零个一百仍然是零个一百。反过来也一样，有时候补位是故意的——八位字段里的 00010001 与 10001 是同一个数，两种写法这一页都收。

这一页只换算整数。小数点会被拒收而不是被四舍五入，所以 17.5 换算不了——要收下小数就得再定一条规则，说清保留几位、最后一位怎么舍入，而这一族里每一页都把这条界线画在同一个位置。千分位分隔符也不收，所以写 1500 而不是写 1,500；逗号在有些语言里是小数点，在两读之间猜一个比直接要求写清楚更糟。输入的上下界是 9007199254740991，也就是五十三个二进制位；更大的值机器存不精确，会带着一条说明被拒收，而不是换成一个看上去像答案的东西。前导零与前导负号都收。下面那张表印的是 17 的除法梯子，它是固定的，不跟着你输入的数变——结果面板回答你的数，参考表展示的是方法。反过来的方向，也就是把二进制数读回十进制，是另一页的事，这一页不对结果做任何运算。

怎么手算十进制转二进制？

用二除，写下余数，再用二除商，重复到商为零为止。17 得到的余数依次是 1、0、0、0、1——每一轮求出的是从右往左的下一位，所以要从下往上读，得到 10001。另一种很多人觉得更快的做法是拿 2 的幂去减：减掉能减的最大的那个，在那一位置 1，再对剩下的重复。两种做法得到的数字位一样，而这一页印出来的位值和就是第二种做法剩下的东西。

为什么余数要从下往上读？

因为第一次除法问的是最小那一位，不是最大那一位。用二除 17，问的是里面有几个二、剩下多少——而剩下的这部分就是个位，因为它是凑不出一个二的那部分。下一轮对二问同样的问题，余下的就是二位。所以轮次是从最右边那一位往左走的，按写下的先后顺序读，得到的是反过来的答案。

带小数的十进制数能换算吗？

这一页不行。它只收整数，所以 17.5 会被拒收而不是被四舍五入。二进制里的小数是完全定义好的——小数点右边那些位分别是一个二分之一、四分之一、八分之一——但收下它们就得再决定保留几位、最后一位怎么舍入，而这一族的每一页都只换算整数。这样界线在整个族里都在同一个位置，不会出现同一个值这一页收、那一页不收的情况。

这一页最大能换算多大的十进制数？

9007199254740991，它的二进制写法是五十三个 1。这个上限不是这一页自己定的：到这个宽度，机器已经分不开相邻的两个整数，再长的答案也不可信，所以会带着说明被拒收，而不是照换不误。同一个上界在读取页上表现为五十三位的长度限制，在十六进制那里是十四位——它们是同一个界的三种写法。

为什么除了二进制数还要印一个位值和？

为了让人能核对，而不是只能照单全收。二进制数是你要的东西，但光看 10001 分不出它对不对。把它占着的位值加起来——这里是 16 和 1——得到的正是你输入的那个数，也就是这个换算反着走了一遍。如果加回来不是你的数，那串二进制就是错的，而这一点不用第二个工具就能看出来。

有没有比反复除法更快的办法？

常见的数有：把 2 的幂背到 1024 左右，然后拿最大的那个去减。17 减掉 16 剩 1，所以一次除法都不用写，答案就是 10001。数不熟的时候梯子更好用，因为它不需要任何可能算错的算术——反复除以二是机械的。两种办法最后落到同一串数字位，谁也不比谁更正确。

• Binary number——二进制的位置记法、位值，以及二进制与十进制之间的换算 — Wolfram MathWorld（美国）
• Number base——一个数的值为什么取决于它所在的位置与所用的底，以及同一个量如何写成不同的进制 — Wolfram MathWorld（美国）
• Powers of two——1、2、4、8、16…这个序列，也就是除法梯子从下往上读出来的那串位值，OEIS 编号 A000079 — OEIS Foundation Inc.（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；十进制与二进制之间的换算是该课标数与代数领域的内容，原文与学段要求以该附件为准 — 中华人民共和国教育部