长除法计算器
结果
商
- 余数
- 10
- 逐步过程
- 1 / 12 = 0 r 1; 12 / 12 = 1 r 0; 3 / 12 = 0 r 3; 34 / 12 = 2 r 10
- 验算
- 12 * 102 + 10 = 1234
长除法是把一个整数除以另一个整数、除不尽时用的笔算方法，这一页把它的每一步都印出来。1234 ÷ 12 的过程是四行。1 除以 12 不够除，所以商的这一位是 0，余下 1。把下一位 2 落下来凑成 12，12 ÷ 12 得 1，余 0。把 3 落下来凑成 3，3 ÷ 12 得 0，余 3。把 4 落下来凑成 34，34 ÷ 12 得 2，余 10。商的各位依次是 1、0、2，所以 1234 ÷ 12 ＝ 102 余 10，而最后剩下的那个 10 才是整个除法的余数。竖式里的每一行都是同一个形状：拿已经凑出来的数，看除数能整个放进去几次，把次数记成答案的一位，剩下的留着和下一位合并。这就是为什么商的位数恒等于被除数的位数，也是为什么 0 可以是一位正当的商——102 中间那个 0 是有用的。这里的余数一律是非负的那一种口径，也就是最小值取到 0 的那一套。被除数或除数是负数时两套口径给出的答案不同，那种情况归余数口径那一页管。最后一条输出是验算：除数 × 商 ＋ 余数 ＝ 被除数。它不是另一项计算，而是商与余数这两个词的定义。12 × 102 ＋ 10 就是 1234，所以这三个数彼此自洽。有两种特殊情况会遇到。被除数小于除数时商是 0、余数就是被除数本身，因为除数一次都放不进去。除数是 1 时商等于被除数、余数为 0，被除数有几位就有几行。商的各位也正是小数的来路：余数开始重复的地方，小数就开始循环，1 ÷ 7 就是最标准的例子。
5432 ÷ 17 展开写，一步的每个部分占一列
| 步骤 | 这一步要除的数 | 除数 | 商的这一位 | 余数 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 17 | 0 | 5 |
| 2 | 54 | 17 | 3 | 3 |
| 3 | 33 | 17 | 1 | 16 |
| 4 | 162 | 17 | 9 | 9 |
横着读一行就是竖式里的一行：拿去除的数、与它比较的除数、得到的商的这一位、以及剩下多少。第一行是 5 对 17，得 0 次、余 5，所以商位是 0。下一行把 4 落下来凑成 54，54 ÷ 17 得 3、余 3。要留意的规律在「这一步要除的数」那一列：每一格都是上一格的余数再添上被除数的一位，那就是「落下来」的意思，也是唯一从一行带到下一行的东西。商位那一列收集起来就是答案，0 3 1 9 也就是 319，而余数那一列的最后一格 9 才是整个除法的余数。拿它验算：17 × 319 ＋ 9 = 5432。注意商位里开头那个 0 被丢掉了，而中间那个 0 不能丢——某一位是 0 说明除数在那一步的数里一次都放不下，那是信息，而开头的 0 只是不写而已。表固定在 5432 ÷ 17 上，不跟着你填的数走；上面的面板对你自己填的数做同样的四列，被除数有几位就有几行。
公式
1234 ÷ 12 → 1/12 = 0 余 1；12/12 = 1 余 0；3/12 = 0 余 3；34/12 = 2 余 10 ⇒ 商 102、余 10，且 12 × 102 + 10 = 1234
- 1234
- 被除数，也就是被除的那个数，取 0 到 1000000000 之间的整数。0 是允许的，商与余数都是 0。负数与小数被拒绝，因为下面那套算法是建立在「位」上的，而这一页没有声明符号约定
- 12
- 除数，也就是用来除的那个数，取 1 到 1000000000 之间的整数。它不能是 0：没有任何东西能分成 0 份，也没有商能满足验算式。它可以比被除数大，这时商是 0、余数就是被除数本身
- 1、2、3、4
- 被除数的各位数字，从左边一位一位取。每一步都把它加到上一步的余数后面，这就是「落下来」的意思。步数等于被除数的位数，所以 1234 走四步，1000000000 走十步
- 0、1、0、2
- 每一步得到的商的这一位：除数在那个数里能整个放进去几次。某一步的数比除数小时，那一位就是 0，而这些 0 是答案的一部分——102 中间那个 0 丢了就变成 12
- 1、0、3、10
- 每一步剩下的余数，恒为非负。最后那个才是整个除法的余数，前面几个都是中间量，下一位落下来之后它们就并入下一步了。这里任何一步都不会是负数，这也是负的被除数归余数口径那一页管的原因
- 被除数 = 除数 × 商 ＋ 余数
- 验算那条输出，它其实是整个运算的定义而不是附加结果：1234 ÷ 12 写出来是 12 × 102 ＋ 10 = 1234。这一行成立，商与余数按定义就是对的；这一行不成立，这一页上别的东西也都不用信了
这就是笔算方法本身，所以需要它的人是正在学它的人。步骤那一串就是本该写在纸上的过程，自己的竖式与它逐行对一遍，分歧出现在哪一行，错就在哪里——这比直接被告知正确答案有用。验算那一行是另一半：除数乘商加余数等于被除数，读者手里只要有商和余数就能核对，连长除法都不必重做。课堂之外，整数的分配问题用的就是同一套拆法：1234 件东西按 12 件一组分，得到 102 个整组还剩 10 件，余数就是分不下去的那部分。余数为 0 表示正好分完。这套算法也是小数的来路：把过程跨过小数点继续做下去、每次补一个 0，得到的就是商的小数；而余数一重复，小数就跟着循环——1 ÷ 7 会永远走同样六个余数，这就是 1/7 的循环节有六位的原因。编程语言处理负的被除数有两套常见做法，截断与向下取整，它们给出的答案不同；这一页印的非负余数是向下取整那套，而两套并排的对照在余数那一页。
算例
1234 ÷ 12，默认值
- 把 1 落下来：1 ÷ 12 得 0，商的这一位是 0，余下 1
- 把 2 落下来：凑成 12，12 ÷ 12 得 1，正好除尽
- 把 3 落下来：凑成 3，3 ÷ 12 得 0，余 3
- 把 4 落下来：凑成 34，34 ÷ 12 得 2，余 10
- 商的各位依次是 0、1、0、2，去掉前面那个 0 就是 102
- 最后余 10，验算核对：12 × 102 ＋ 10 = 1234
默认值，也是说明「商里的 0 不能省」的那一格。第三步之所以贡献一个 0，是因为 3 比 12 小，而那一位不是摆设——答案是 102 而不是 12。第一步那个开头的 0 被省掉，因为 102 与 0102 是同一个数的两种写法。验算那一行值得当句子读：除数乘以答案，加上剩下的，就回到你一开始填的那个数。
5432 ÷ 17，参考表用的那一格
- 把 5 落下来：5 ÷ 17 得 0，余 5
- 把 4 落下来：凑成 54，54 ÷ 17 得 3（3 × 17 = 51），余 3
- 把 3 落下来：凑成 33，33 ÷ 17 得 1（17），余 16
- 把 2 落下来：凑成 162，162 ÷ 17 得 9（9 × 17 = 153），余 9
- 商的各位是 0、3、1、9，也就是 319，余 9
这就是下面那张表一行一行摊开的那四步，两边都读一遍是有价值的：每一步都把除数乘回去找一个还放得下的最大乘积——3 × 17 = 51 对 54，1 × 17 = 17 对 33，9 × 17 = 153 对 162——余数就是那个差额。这里的差额是 3、16、9，每一个都比除数 17 小，正是这条不变量使每一步的商位都是能取到的最大那一位。
余数会循环的一格：1000000000 ÷ 7
- 把 1 落下来：1 ÷ 7 得 0，余 1
- 把后面每一个 0 依次落下来，凑成 10、30、20、60、40、50，然后又回到 10
- 商的各位是 1、4、2、8、5、7，接着又是 1、4、2、8
- 走到第七步余数回到 1，整个循环从头开始
- 商是 142857142，最后余 6
这里的余数依次是 1、3、2、6、4、5，然后回到 1——那就是 1/7 的循环，也是商的各位重复成 142857 的原因。重复不是这一格的特殊现象：只要余数重复一次，后面的一切就跟着重复，因为下一步只取决于落下来的那个数。这也是为什么一个分数化成小数，要么有限要么循环，以及 1/7 的循环节为什么有六位。
除数比被除数还大：7 ÷ 999999999
- 只有一位要落下来，就是那个 7
- 7 ÷ 999999999 得 0，因为 999999999 比 7 大得多
- 商的这一位是 0，整个被除数都剩了下来
- 商是 0，余数是 7
商是 0 是一个真答案，不是算失败了。除数一次都放不进去时，什么都没有被拿走，所以余数就是整个被除数，验算式写出来是 999999999 × 0 ＋ 7 = 7。步骤只有一行，因为被除数只有一位——步数永远等于被除数的位数，与除数有多大没有关系。
局限
两个数都必须是整数。被除数取 0 到 1000000000 闭区间，除数取 1 到 1000000000 闭区间。除数为 0 被拒绝：没有任何数乘以 0 能得到一个非零的被除数，也就没有哪对商与余数能满足验算式。负数被拒绝，而不是带着一套符号规则硬处理，因为这一页展示的算法是建立在「位」上的，而负数相除的两套口径彼此不一致——这一页印的是非负余数，需要区分口径的场合归余数那一页管，那里两套并排。小数被拒绝：把过程跨过小数点继续做下去是补 0 的另一套做法，这一页不做，尽管上面那些重复的余数正是那些小数的来路。被除数为 0 是收的，商与余数都是 0。步骤列表的被除数有几位就有几行，所以十位的被除数是十行、面板会长，那是过程本身而不是它的摘要。下面那张参考表固定在 5432 ÷ 17 上，不跟着你填的数走；面板回答你填的数，表格用来说明每一步的每一列是什么。所有值都精确，没有任何四舍五入。
常见问题
- 长除法一步步怎么做？
- 从被除数的左边开始一位一位来。拿已经凑出来的数除以除数，把能整个放进去的次数写成答案的下一位，剩下的留着；然后把下一位落下来——接在余数后面——继续，直到被除数的位用完。1234 ÷ 12 得到的各位是 0、1、0、2，最后余 10，所以答案是 102 余 10。
- 商和余数有什么区别？
- 商是除数能整个放进被除数的次数，余数是放不下之后剩下的部分。两者由定义绑在一起：被除数等于除数乘商加余数。1234 ÷ 12 的商是 102、余数是 10，而 12 × 102 ＋ 10 正好回到 1234。余数永远小于除数，正是这条性质使商成为能取到的最大整数。
- 为什么这里的余数不会是负数？
- 因为这一页用的是余数非负的那套口径——减掉的是不超过被除数的最大倍数，剩下的一定在 0 与除数之间。编程语言常用的是截断，那会留下负余数：−1 除以 2 按截断得余 −1，按这套口径得 1。余数那一页把两套并排放着。这一页的负的被除数是拒绝的，而不是默默挑一套。
- 答案里可以有 0 吗？
- 可以，而且那个 0 是答案的一部分。某一步的数比除数小时，商的这一位就是 0，所以 1234 ÷ 12 得到的各位是 0、1、0、2——中间那个 0 不能省，因为 102 与 12 是不同的数。只有开头的 0 会被省略，因为 0102 与 102 本来就是同一个数。
- 被除数比除数小会怎样？
- 商是 0，余数是整个被除数。7 ÷ 999999999 得 0 次，什么都没有被拿走，所以 7 全都剩了下来，验算式是 999999999 × 0 ＋ 7 = 7。步骤只有一行，因为步数永远等于被除数的位数，与除数有多大没有关系。
- 余数为什么会开始重复？
- 因为每一步只取决于落进来的那个数，所以某个余数一回来，它后面的一整串就跟着重来。1000000000 除以 7 得到的余数依次是 1、3、2、6、4、5，然后又是 1，于是商的各位重复成 142857。这正是循环小数的来路：把同样的过程跨过小数点、每次补一个 0，那段循环就变成 1/7 的循环节。
参考资料
- Long division — the written algorithm, including the notation and the digit-by-digit procedure this page prints one line at a time — Wolfram MathWorld (United States)
- Division — the dividend, divisor, quotient and remainder, and the identity that relates them — Wolfram MathWorld (United States)
- Quotient — what a quotient is, and the distinction between the exact quotient and the whole-number part that long division produces — Wolfram MathWorld (United States)
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；除数是两位数的除法与有余数除法是该课标数与代数领域的内容，原文与学段要求以该附件为准 — 中华人民共和国教育部