余数计算器

47 = 5 × 9 + 2 ⇒ 商 9、余 2；而 −47 = 5 × −10 + 3（向下取整）与 −47 = 5 × −9 + −2（截断）

47

被除数，被除的那个数，取 −1000000000 到 1000000000 之间的整数。负数是允许的，而它正是下面那个口径字段存在的理由。小数一律拒绝而不是四舍五入，因为余数是关于整数整除整数的陈述

5

除数，取 −1000000000 到 1000000000 之间的整数。它不能是 0，因为没有任何商能满足验算式。它也可以是负数，而负的除数在两套口径下都会让商变号——验算式是唯一能帮你理清这件事的东西

截断

把精确商的分数部分直接丢掉的这套口径，商朝零的方向走：−47 ÷ 5 得到 −9，因为 −9.4 截断成 −9。余数这时跟着被除数的符号，可以是负数。多数编程语言给的就是这个结果，也是本页的默认口径

欧几里得

把商往下推到下一个整数的那套口径，于是余数永远不会是负数：−47 ÷ 5 得到 −10、余 3。数论与模运算需要这一套，因为余数代表的是循环里的位置，负的位置没有意义。两个数都为正时，两套口径给出同一个答案

商 9

除数能整个放进去的次数。按截断，它是精确商丢掉分数部分；按向下取整，它是精确商向下去整。符号使得余数为负时两者正好差 1，其余情况从不不同

余数 2

剩下的那部分，也是这一页真正在讲的那个数。它的绝对值永远小于除数，能整除时它是 0。它的符号就是两套口径的全部差别：按截断它跟着被除数，按向下取整它不会低于 0

把东西分组是最日常的场合，也是口径永远不会起作用的场合：47 件按 5 件一组分，得到 9 个整组还剩 2 件，没有人会说答案是 −9 组、剩 −2 件。数字一旦可能为负，口径立刻变得要紧，而这件事比看上去常见得多。编程里的整数除法就是最常见的场合——多数语言是截断，所以 −47 / 5 得 −9、余 −2，而假设余数非负的代码遇到负数输入就会出错。模运算是同一条界的另一侧：时间、日期、在一个列表里循环、以及定长整数的机器运算，用的都是向下取整那一套，因为「从当前位置往回退三格」必须落在一个真实的循环位置上。课堂上的余数通常与长除法一起教，负数要么不出现，要么按「符号跟着被除数」那套规则处理。验算式在这些场合里都值得用一下，因为两套口径给出的商差 1、余数差一个除数，而两对都满足定义——真正说明有 bug 的，是对不上定义的那一对，与想用哪套口径无关。

1. 47 ÷ 5，两套口径一致的一格

   1. 5 放进 47 能放 9 次：5 × 9 = 45
   2. 47 − 45 = 2，所以剩下 2
   3. 精确商是 9.4，截断之后是 9
   4. 9.4 向下取整也是 9，所以两套口径在这里一致
   5. 验算：5 × 9 ＋ 2 = 47

   默认值，也是口径字段完全不起作用的那一格。被除数与除数同号时两套口径总是一致，两个正数当然包括在内——只有其中一个为负时这个选择才显出来。把验算当句子读是值得养成的习惯：除数乘商再加上余数，必须精确回到被除数。

2. −47 ÷ 5 按截断：余数变成负数

   1. 精确商是 −47 ÷ 5 = −9.4
   2. 截断丢掉分数部分，把商朝零的方向推：−9
   3. 5 × −9 = −45，比 −47 多了 2，所以得往回退 2：余数是 −2
   4. 余数跟着被除数的符号，这就是它在这里为负的原因
   5. 验算：5 × −9 ＋ −2 = −47

   商是 −9 而不是 −10，余数是 −2 而不是 3。这一对与下一对满足的是同一句定义，而这正是本页的要点：−9 余 −2 与 −10 余 3 都是 −47 的正确拆法，口径才是决定拿到哪一对的东西。多数编程语言落在这里，所以假设余数永不为负的代码会被这一行绊倒。

3. −47 ÷ 5 按向下取整：余数保持非负

   1. 精确商仍然是 −47 ÷ 5 = −9.4
   2. 向下取整把它推到下一个整数而不是朝零推：−10
   3. 5 × −10 = −50，比 −47 少 3，所以剩下 3：余数是 3
   4. 余数不会为负，这是这套口径保证的事
   5. 验算：5 × −10 ＋ 3 = −47

   同一个被除数、同一个除数，答案不同——而这一格不是对上一格的更正。向下取整是模运算要的那一套，因为余数代表循环里的位置时不能为负；在那个场景里 −47 对 5 取模是 3，而取模的结果都被期望落在 0 与除数之间。商比截断那套低 1，余数则正好大一个除数，这就是两套口径之间固定的关系。

4. 贴着上限、除数为负的一格：1000000000 ÷ −999999999

   1. 除数是负数，所以精确商也是负的：约 −1.000000001
   2. 截断朝零推，得到 −1
   3. −999999999 × −1 = 999999999，比 1000000000 少 1
   4. 余数是 1，它跟着被除数的符号，而这里被除数是正的
   5. 验算：−999999999 × −1 ＋ 1 = 1000000000

   两个数都贴在页面能接受的上限上，而商是 −1，因为除数取绝对值之后刚好比被除数大一点点。值得读的是验算那一行：两个负数乘出正数，再加上余数 1，正好落在被除数上。负的除数在两套口径下都会让商变号，而余数仍然跟着被除数。

被除数与除数都必须是 −1000000000 到 1000000000 之间的整数，而且除数在两套口径下都不能是 0——没有任何数乘以 0 能得到非零的被除数，也就没有哪对商与余数能满足验算式。小数一律拒绝而不是四舍五入：余数是关于整数整除整数的陈述。口径字段只有两个取值，截断与向下取整，两者永远都可选；没有第三种，页面也不会替你猜你想用的是哪一种。两个数都为正时这个选择没有任何影响，而两套口径除了余数的符号与「商差 1」以外从不分歧。按截断时余数可以是负数，那是这套口径的行为而不是错误。下面那张参考表固定在 ±47 与 ±5 上，不跟着你填的数走：它把四种符号组合摊开，好让两套口径并排比较，而上面的面板回答你填的那一对。所有值都精确——四个数都是整数，都远在机器能精确表示的范围内——所以这里没有任何四舍五入。

为什么同一个除法会有两个答案？

因为定义只说商乘除数加余数要等于被除数，而被除数为负时，「商小一点配一个负余数」与「商大一点配一个正余数」都满足它。−47 ÷ 5 按截断是 −9 余 −2，按向下取整是 −10 余 3。两个都对，是口径决定你拿到哪一个。

该用哪套口径？

默认给截断，因为多数编程语言给的是它，多数人说「整数除法」指的也是它——商朝零走，余数跟着被除数的符号。要余数非负时就用向下取整：数学意义上的取模、循环里的位置、日期推算、以及任何拿余数当下标去访问重复列表的场合。两个数都为正时，这个选择完全没有影响。

除数是负数时余数是多少？

规则不变，只是商的符号翻了过来。47 ÷ −5 按截断得 −9、余 2，因为余数跟着被除数而不是除数。除数为负改变的是商的符号，而余数的符号规则一点没动，表里第二行写的就是这件事。

这和取模运算是一回事吗？

相关但不相同。取模只返回余数，而且通常定义成结果非负，也就是这里的向下取整那套。差别在负数输入上显出来：−47 对 5 取模是 3，而按截断的整数除法返回 −2。想要结果非负就选向下取整；想让商朝零取整就选截断。

整除时余数是多少？

两套口径下都是 0。除数整个放进去若干次、什么都不剩的时候，验算式就变成「除数乘商等于被除数」，没有第三项要操心。余数为 0 是正常答案，说明除尽了，不是输出出了问题。

为什么除数不能是 0？

因为没有哪对商与余数能满足验算式。除数为 0 时，0 乘以任何商都是 0，于是验算式要求余数等于被除数，同时又要求余数的绝对值小于除数——被除数非零时不可能，而被除数为 0 时答案是所有数而不是某一个。页面宁可拒绝，也不返回一个随便的数。

• Remainder — the definition, the identity linking dividend, divisor, quotient and remainder, and the different conventions in use when signs are involved — Wolfram MathWorld (United States)
• Modular arithmetic — where the non-negative remainder convention comes from, and why a negative remainder is not usable as a position in a cycle — Wolfram MathWorld (United States)
• Division — the dividend, divisor and quotient, and the identity restated as the check the page prints — Wolfram MathWorld (United States)
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；有余数的除法是该课标数与代数领域的内容，原文与学段要求以该附件为准 — 中华人民共和国教育部