二进制计算器

1011 + 110 = 10001 （11 + 6 = 17）

1011

第一个数，用二进制写。把它按二进制读才是十一；同样这几个数字按十进制读是一千零一十一，这正是本页要防的那个错

+ − × ÷

运算符。逐位进行，与十进制笔算一样，只是每一位上那条够不够进位的线从十挪到了二

1 + 1 = 10

二进制算术里唯一一条不眼熟的事实：两个 1 写 0 并向高位进 1，因为这一位只有 0 和 1 两个数字，写不下二。三个 1 得 11——本位写 1、再进 1

各位数字 × 2ⁿ

十进制读数是怎么来的：每一位乘上它的位值再全部相加。10001 就是这样得出一十七的，这也是二进制与十进制之间唯一的通道

余数

除不尽时剩下的部分。1011 除以 10 得 101 余 1，因为十一是五个二再加一。余数恒占一行，加减乘三种运算不会有余数，那一行读作 0

53 位

本页接受的输入上限：最大 9007199254740991，写成二进制是一后面跟五十三个数字。再宽的话机器就没法把相邻的整数区分开，算术会悄悄地不再精确

凡是需要读写二进制的地方，这一页的作用与十进制计算器一样：规则不难，难的是笔算又慢又看不出错在哪。日常的用法集中在读硬件寄存器与位掩码——某个状态字节里哪几位被置上了、某个开关量在什么条件下翻转、子网掩码怎么划——以及核对编译器、调试器或网络工具打印出来的二进制值。文件权限位、CPU 状态寄存器的标志列、单片机的引脚状态，都是人们真的要在上面做四则运算的二进制数，而答案旁边的十六进制读数正是这些值被写进文档时的样子。另一种用法是学：进位规则是每个人在纸上都会错一次的那一步，输 1011 加 110 看见 10001 出来，比在书上看一遍例题更快。课上做进制练习的学生，以及要把一段机器码的清单换算回可核对数值的人，都会发现十进制与十六进制两个读数替他们干了大部分活。

1. 1011 加 110

   1. 两个数右端对齐：1011 与 0110
   2. 最右一位：1 + 0 = 1
   3. 下一位：1 + 1 = 10，本位写 0、进 1
   4. 再下一位：0 + 1 再加进上来的 1 得 10，本位写 0、再进 1
   5. 最高一位：1 加进上来的 1 得 10，本位写 0、向新的一位进 1
   6. 结果读作 10001，也就是十进制的一十七

   本页的开场算例，也是看进位规则最快的一次：和比两个加数都长，因为最后一次进位需要新的一位来放。十进制的 17 就是复核——十一加六确实是一十七；十六进制的 11 是同样这些位按四位一组切出来的，它碰巧长得像十进制的十一，数一大这个巧合就没了。

2. 1011 除以 10

   1. 这是十一除以二，所以答案是五余一
   2. 五写成二进制是 101，一就是 1
   3. 页面把商报成 101、余数报成 1，而不是印一个 101.1

   这一条说明余数那一行为什么必须存在。只给商的话，101 会让人读成十一除以二等于五，而下面那一行才让这句话成立。不化成小数还有第二个理由：结果一旦有小数部分，运算就可能除不尽——二进制里的三分之一是无限循环的——而本页从输入到输出都是整数。

3. 110 减 1011

   1. 这是六减十一，结果是负的
   2. 差是五，符号写在结果前面
   3. 五写成 101，所以答案是 -101

   这里没有用到补码——那是处理器在定宽存储负数时用的表示法。负号被保留成数前面的一个符号，这既是人在纸上写的写法，也是这个值印在十进制与十六进制读数旁边时仍然读得通的写法。同样一个值在机器里会是一段固定宽度的 0 和 1，而宽度这件事本页没有。

本页只处理整数。没有二进制小数点，也不收小数形式的二进制，所以 1.01 会被拒绝——这也意味着除不尽时给出的是商加余数，而不是小数展开，并且商是向零截断而不是四舍五入。输入上限是 9007199254740991，也就是一后面五十三个二进制位；超过这个宽度，运算无法再保证精确，超长的输入会被拒绝而不是给你一个近似答案。结果同样受这个上限约束，乘出来越界的会报错而不会印一个错的数。负数写成前面带负号，不用补码，也不提供也不假定任何固定位宽：本页的 1011 就是四位，不是某个寄存器的低四位。除以零会被拒绝。

为什么 1 加 1 等于 10，而不是 2？

因为二进制里没有表示二的数字。数位只有 0 和 1，写到 1 这一位就到头了，正好像十进制里个位写到 9 就到头一样。所以两个 1 在这一位写 0，并向高位进 1，写作 10——这跟十进制的 9 + 1 = 10 是同一句话，只是底从十换成了二。三个 1 得 11：本位一个 1、再往上进一个 1。

做加法或乘法时，为什么结果里还有一行余数？

因为结果面板是一组固定的行，而不是会随运算增减的列表，而一个时有时无的行比一个位置固定的行更难读。整数范围内加减乘都不会有余数，所以那几行读作 0——那个 0 是「这次运算没有剩下东西」这句实话，不是没算出来。真正会有余数的是除法，那一行存在的意义是不让一个截断过的商看起来像一个精确答案。

最多能输入多大的数？

9007199254740991，也就是五十三个 1，写成十六进制是 1FFFFFFFFFFFFF。这个上限来自机器能精确表示的位数：再宽下去，相邻的两个整数就没法区分了，运算会悄悄地不再精确——结果看起来像个数，其实不是。超长的输入会带着说明被拒绝，而不是被截断或四舍五入；乘出来越过同一条线的结果也是如此。

能不能做减法，得到负的结果？

可以。把较大的数放在第二个框里，答案就会带着负号回来，三种读法都带。这用的不是补码——处理器把负数存成定宽的一串位时用的是补码——而是数前面加符号的写法，也就是你在纸上会写的那种，并且在十进制与十六进制读数旁边仍然读得通。本页不假定任何位宽，所以负的结果不会被绕成一串 1。

为什么除法不精确？

因为本页只处理整数，除不尽时给的是向零截断的商加上余数。十一除以二等于五余一，页面报的是 101 和 1，而不是 101.1。这是有意的取舍而不是缺口：结果一旦带小数部分，运算就可能除不尽——二进制里的三分之一是无限循环的——而一个悄悄四舍五入的页面会印出一个并不是答案的数。

旁边的十六进制读数有什么用？

它是同一个值按每四位一组重新写出来的样子，也就是写机器码的人读二进制的方式。一个字节是八位，因此正好是两个十六进制位，所以文档、调试器和数据手册里出现的是 FF、2A、B2 这样的写法。二进制与十六进制之间的换算其实不叫计算，只是重新分组，所以这个读数是白送的。

• Binary number — 二进制、位值记数法、进位规则与四则运算 — Wolfram MathWorld（美国）
• Number base — 一个数的值为什么取决于数字的位置与进制，以及同一个量在不同进制下的写法 — Wolfram MathWorld（美国）
• IEEE 754 — 本页计算所用的双精度格式，以及决定输入上限的 53 位有效数字 — IEEE Standards Association（美国）
• 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；二进制与数制是信息科技与数学课程交叉的内容，课标的原文与学段划分以该附件为准 — 中华人民共和国教育部