展开式计算器
结果
展开式
- 展开式（10 的幂）
- 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰
展开式把一个数写成各位之和，每一项是这一位上的数字乘以这位的位值。3456 就是 3000 + 400 + 50 + 6——不是另一个数，也不是更短的写法，而是把它的结构摆出来。把那个和读回去就是全部练习：3 值 3000 是因为它在千位，4 值 400 是因为它在百位，一路到个位上的 6。指数形式把同一个和写成十的幂：3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰。两行说的是同一件事，页面两行都印，因为它们回答的问题不同：第一行是数位表给出的东西，第二行是同一张表在列头换成幂之后给出的东西。零位从展开式里省略。205.04 是 200 + 5 + 0.04：十位上的零和十分位上的零对和没有贡献，而在有贡献的项旁边写一句 0 × 10，只会让这一行更难读。这恰恰是本页与数位页有意不一致的地方。那一页保留零位，因为它的对象是数位——每一个数位都有位值，包括那些值等于零的；本页的对象是和，而一项的值为零时，把它从和里去掉不会改变和。小于 1 的数照同样的方式展开，指数为负：0.004560 是 0.004 + 0.0005 + 0.00006，也就是 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵。注意末尾发生了什么：0.004560 最后那个零没有出现，理由与 205.04 里的零一样——本页不是在保存这个数写出来的样子，而是在把它拆开。负数把负号写在外面加一个括号：−550 是 −(500 + 50)，不是 −500 + −50。后一种写法算术上并不错，但在一页通篇是「和」的地方，它读起来像两个负数在相加，而且它还在暗示那个负号属于某几位数字，而不属于这个数。零是唯一一个没有任何项的输入，它印成 0 而不是空行。输入可以写成普通数字，也可以写成 e 记法；收 e 记法的理由与站上别处印它的理由相同：那是程序会接受的写法。左右各有一件相邻的事。数位页把同一个数拆开但每一位都留着，所以当问题变成「某一位上的数字值多少」而不是「各位之和是多少」时，该看那一页。标准形式那一页朝反方向走，把一个数收成系数与指数，那是概括，而这里是解剖。
四个数的展开式，以及同样四项用十的幂写成的形式
| 数 | 展开式 | 十的幂形式 |
|---|---|---|
| 3456 | 3000 + 400 + 50 + 6 | 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰ |
| 205.04 | 200 + 5 + 0.04 | 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻² |
| 1200 | 1000 + 200 | 1 × 10³ + 2 × 10² |
| 0.004560 | 0.004 + 0.0005 + 0.00006 | 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵ |
四行覆盖了这条规则会遇到的几种情形：四位且没有零位的整数、小数点两侧各有一个零的数、末尾带两个零的整数，以及一个末尾带零的小于 1 的数。第二行和第四行值得读两遍。205.04 里十位上的零和十分位上的零都从展开式里消失了，0.004560 末尾那个零也一样；每一行剩下的项加起来都等于左边那个数。也留意第三列指数的走法：每往右一位就减一，在个位处跨过零，小数点以下继续变成负数。这里的每一格都由回答上面那个输入的同一个内核算出来，所以某一行不可能和面板脱节。
公式
3456 = 3000 + 400 + 50 + 6 = 3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰；205.04 = 200 + 5 + 0.04 = 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻²；−550 = −(500 + 50)
- 3456
- 要被拆开的数，写成普通数字或 e 记法。它的数字一个不改、也不舍入，只是换个说法；所以一个加起来不等于原数的展开式是缺陷，不是舍入决定
- 3000 + 400 + 50 + 6
- 展开式——每一个非零数字对应一项，每项是这个数字乘以它所在数位的位值。数字按原来的顺序从左到右出现，所以这一行读起来和那个数读起来是一个方向
- 3 × 10³
- 把位值写成十的幂之后的同一项。指数是这一位离个位的距离，向左为正、向右为负，所以个位自己的位值是 10⁰ 而不是 10¹
- 200 + 5 + 0.04
- 零位的去处。205.04 的十位和十分位都是零，这两项都被省略，因为往和里加零不改变和。数位页把它们留着，本页不留——这组对照正是两页各自存在的理由
- 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴
- 小数点以下那部分展开式，指数为负。0.004560 给出 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵——输入末尾那个零不产生项，因为本页读的是值，不是保存写法
- −(500 + 50)
- 负数的写法。负号管的是整个和，写在括号外面，而不是分散到每一项写成 −500 + −50——后者会被读成两个负数相加
展开式是位值教学的方式，也是从数数走向竖式之间的那一步。能把 3456 写成 3000 + 400 + 50 + 6 的孩子，看得出 3 和 4 为什么不能直接相加，而这正是竖式加法所依赖的想法；同一个展开式放在减法底下解释了退位，放在乘法底下说明了 3000 × 4 与 3 × 4 为什么不是一回事。离开学校之后，它继续作为一种「把数的结构读出来」的形式出现。工程师比对同一个量的两个读数时，展开式是看清差异出在哪一位的最快方式；核对表格软件结果的人，可以把合计数展开，逐位对着输入确认，而不必一次性相信整个数字。指数形式是通往科学记数法与计算机的桥：3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰ 离 3.456 × 10³ 只差一步，而把同样的表达式里的十换成二，就是二进制数的展开方式——每一位乘以它所在位置的位值。反方向的工作——把一个数收成系数与十的幂，丢开各位数字而不是把它们列出来——是标准形式那一页做的。而当问题只关乎某一位、不是所有位都要一起看时，数位页把每一位都留在原位、零位也在，而不是把值为零的项省略掉。
算例
四位数：3456
- 从左读出各位数字：3、4、5、6
- 说出每一位的数位：千位、百位、十位、个位
- 用数字乘以它的位值：3 × 1000、4 × 100、5 × 10、6 × 1
- 把各项加起来：3000 + 400 + 50 + 6
- 把同样的四项写成十的幂：3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰
默认值，而且是有意挑的简单情形：没有零位、没有小数点、没有符号，所以答案的形状在任何规则出场之前就已经看得见。把各项加起来得 3456，这是任何展开式都值得做的验算——各项之和必须等于原来那个数，而且每个数字恰好出现一次。
带零位与小数的数：205.04
- 各位数字是 2、0、5、0、4，数位从百位一路到百分位
- 2 值 200、5 值 5；十位与十分位上的零值零，不产生项
- 4 在小数点右边第二位，位值是 0.01，所以它的项是 0.04
- 展开式是 200 + 5 + 0.04，加起来正好 205.04
- 换成十的幂，同样的项是 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻²，指数 2、0、−2 就是各位离个位的距离
这一页的核心算例：两个零，一个小数点左边、一个右边，都不产生项。把它和数位页对同一个输入的答案放在一起看——那一页给的是 2 × 100、0 × 10、5 × 1、0 × 0.1、4 × 0.01，五项对三项，两个答案都是对的，只是回答的问题不同。那个 5 × 10⁰ 的零指数也值得留意：个位与其他位一样是一个数位，它的指数是零，因为这一位离它自己有零步。
负数：−550
- 先取数字、暂时不管符号：5 和 5，分别在百位与十位
- 对应的项是 500 和 50；个位上的零不加任何东西
- 这两项的和是 550，而原来的数是这个和的相反数
- 负号只写一次，放在括号外，括号里是整个和：-(500 + 50)
负号是这个数的属性，不属于任何单独一位数字，括号就是把这层意思写出来的办法。把它分配进去会得到 -500 + -50：算术上一模一样，读起来更差——在一页输出就是和的地方，两个负号读起来像两个数在相加，核对这一行的人还得先想想那些项到底是负的数字还是一个负的总和。
带尾随零的小于 1 的数：0.004560
- 找出有效的那几个数字：4、5、6；前面的零只是用来定位小数点
- 4 在千分位上，所以它的项是 0.004
- 5 在万分位上，项是 0.0005；6 在十万分位上，项是 0.00006
- 输入最后一位是百万分位上的零，它不贡献任何东西，不产生项
- 各项之和是 0.00456，正是输入的值
尾随的那个零才是值得看的重点，也是本页与有效数字页分道扬镳的地方。在这里它根本不是一个项，因为和不需要它；在那一页它是一个量出来的数字，算在 0.004560 的四位有效数字里。两种读法来自同一个输入，谁都不是错——一个说的是这个数的值，一个说的是这次测量的精度。
局限
零位不产生项。205.04 展开成 200 + 5 + 0.04，而不是 200 + 0 + 5 + 0 + 0.04，所以展开式不是输入的逐位抄写；它是输入写成的和，值为零的项被去掉。要保留零位请去数位页。书写形态不能当输入：4.5 × 10⁴ 会被拒，千分位分隔符也一样，3,456 是错的而不是 3456。输入限制在十五位有效数字以内，指数在 ±99 之间。像 007 这样写出来的前导零同样不保留——它没有任何位值，那个输入的展开式是 7。零是两头的特例：输入 0 展开成 0、没有任何项；任何一个数的展开式都停在最后一个非零数字上，而不是停在写出来的末尾。这里不做舍入也不做换算，所以 9.99 的展开式是 9 + 0.9 + 0.09，永远不会是 10。最后，本页只把各位数字列出来：它不替你求和，不判断其中有几位是有效数字，也不把一个数写成系数与十的幂——那是三件不同的事，分别归数位页、有效数字页和标准形式页。
常见问题
- 什么是展开式？
- 把一个数写成各位数字乘以它所在数位的位值、再把这些项加起来：3456 就是 3000 + 400 + 50 + 6。它不是另一个数，也不是更短的写法，而是把数位结构摆出来的写法——这正是位值最初通过它来教、以及竖式为什么成立的原因。
- 为什么展开式里不写零位？
- 因为值为零的项从和里去掉不会改变和，写上去只会让这一行更难读：205.04 是 200 + 5 + 0.04，不是 200 + 0 + 5 + 0 + 0.04。数位页持相反的做法，每一位都留着，因为它讲的是数位而不是和。两页说的是同一个数，都对。
- 展开式与展开式记法有什么区别？
- 后一种把位值写成十的幂：3 × 10³ + 4 × 10² + 5 × 10¹ + 6 × 10⁰，而不是 3000 + 400 + 50 + 6。本页两行都印，一行在另一行下面，因为第一行是数位表直接给出的样子，第二行是同一张表的列头换成幂之后的样子。
- 小数怎么展开？
- 方式相同，只是小数点右边的数位取负指数：205.04 是 2 × 10² + 5 × 10⁰ + 4 × 10⁻²，因为那个 4 在个位右边两位。0.004560 展开成 4 × 10⁻³ + 5 × 10⁻⁴ + 6 × 10⁻⁵，末尾那个零不产生任何项。
- 为什么 −550 写成 −(500 + 50)？
- 因为负号属于整个数，不属于任何单独一位数字。把它分配进去会得到 −500 + −50，值一样，但读起来像两个负数在相加——在一页输出就是和式的地方尤其容易看错。只写一次、写在括号外面，说的就是「有一个负数，它的组成部分是这些」。
- 展开式能告诉我这个数有几位有效数字吗？
- 不能。本页只把各位数字和它们的位值列出来，到此为止；0.004560 末尾那个零在这里根本不是一项。那个零是不是量出来的，是另一个问题，由有效数字那一页回答——在那一页它算数，这个数有四位有效数字。
参考资料
- Expanded form — what the form is, how a number is written as the sum of its place values, and the exponential version of the same expansion — SplashLearn (United States)
- Expanded notation — the same expansion written with powers of ten, under the name used in the United States — Wolfram MathWorld (United States)
- Place value — the chart the expansion is read off, with each digit's value determined by its position — SplashLearn (United States)
- 教育部关于印发义务教育课程方案和课程标准（2022 年版）的通知——该通知的附件清单第 5 项是《义务教育数学课程标准（2022 年版）》；万以内数的位值与数的组成、小数的数位与位值，都是该课标数与代数领域第一学段与第二学段的内容，原文与学段要求以该附件为准 — 中华人民共和国教育部