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CalcMax

数位计算器

结果

2 × 100, 0 × 10, 5 × 1, 0 × 0.1, 4 × 0.01

各位的值

最高位位值
100
最低位位值
0.01

位值这条规则说的是：一个数字值多少，取决于它写在哪儿，而不取决于它长什么样。同一个 5，写成 5、写成 25、写成 205.04，分别值 5、50 和 0.05。在 205.04 里，五个数字各有各的值：2 值 200，十位上的 0 值零，5 值 5，十分位上的 0 值零，4 值 0.04。这个计算器把五个都列出来，从左到右，写成「数字 × 位值」：2 × 100、0 × 10、5 × 1、0 × 0.1、4 × 0.01。小数点两侧的数位互为镜像。左边是 1、10、100、1000，每一位是右边一位的十倍；右边是 0.1、0.01、0.001，每一位是左边一位的十分之一。个位夹在中间，是那个轴：它的位值是 1，而每一个位值写成十的幂之后，指数数的是这一位离个位有多远——向左为正，向右为负。下面那张表就是这件事的全部，而那张表是固定的：它是读这些数字用的尺子，不是对某一次输入。零位保留。位值是位置的属性，一个位置上写着零，这位依然有这个位值——这也是 205 和 25 是两个数的唯一原因：那个零把十位占住了。把它从清单里去掉（展开式页把这个数变成和的时候就是这么做的），等于把那个正在占位的数字藏起来。这也是两页对同一个输入印出不同结果、却谁都不错的原因——一个是把各位数字连同它们的值列出来，另一个是把算得上的项加起来的和。有两个关于「输入怎么读」的细节值得说明，因为两者都很容易被当成缺陷。列出来的数字就是写出来的那些数字，所以 1200 保留末尾两个零、0.004560 保留它的前导零；计算器不会替你决定其中哪几个不值得提。而在 e 记法里，只读系数：4.5e4 是 45000 的一种写法，它点出了两个数字，所以这一页列出 4 × 10000 和 5 × 1000，最大位值给的是 10000 而不是 100000。两种输入说的是同一个数，不同的是写下来了几个数字，而这一页只能报告它拿到的那些。负号不属于任何一位数字的位值，所以不出现在清单里。结果最后两行回答的是清单本身在数字很长时不容易一眼看出的问题：这个数用到的最大位值和最小位值，都用数值印出来。而这一页不做的，是告诉你某一位叫什么名字。它会说 205.04 里的 2 值 200，不会说它在百位上，因为名字会用完——过了十万位还得有十万分位、百万分位，一张半路停下的表，比一张从不开始用名字的表更糟。想把各项加起来而不是列出来，去展开式页；想把一个数收成系数与十的幂，去标准形式页。

从百万位到千分位，每一个数位的位值

位值数值
1 × 10⁶1000000
1 × 10⁵100000
1 × 10⁴10000
1 × 10³1000
1 × 10²100
1 × 10¹10
1 × 10⁰1
1 × 10⁻¹0.1
1 × 10⁻²0.01
1 × 10⁻³0.001

十行，左边是百万位、十万位、千位这些位置，中间是个位，右边是十分位、百分位、千分位；每一行都按它被命名的方式和它被估值的方式各写一遍。把它当作上面那个答案的尺子来读——205.04 里的 2 对着 100 那一行、4 对着 0.01 那一行。中间上下两行最容易看错：1 × 10⁰ 是 1，也就是个位，所以指数不是从 1 开始；而 1 × 10⁻¹ 是 0.1，十分位，那个负号在做的事就是把数字移到小数点另一边。表在右边停在千分位、左边停在百万位，这不是计算器的限制——更长的数只是得到更长的清单，指数往两个方向继续延伸。表里每一个数值都由产生答案的同一个内核算出来，所以某一行不可能与答案矛盾。

公式

205.04 = 2 × 100 + 0 × 10 + 5 × 1 + 0 × 0.1 + 4 × 0.01；位值按 10ⁿ 走，n = 2、1、0、−1、−2；4.5e4 列出 4 × 10000 与 5 × 1000，最大位值 10000，最小位值 1000

205.04
要读的数，写成普通数字或 e 记法。它的每一位都按写出来的顺序列出，所以答案里每一项的位置与输入里那一位的位置一一对应
0 × 10
零位那一项，它被保留而不是去掉。205.04 的十位上写着零，而正是这个零让这个数是 205 而不是 25，所以它的位值照样列出来——尽管这个数字对总数没有贡献
10ⁿ
任何一个位置的位值，指数数的是它离个位有多少步：十位、百位、千位为正，个位本身为零，十分位、百分位、千分位为负。指数就是这一位的地址
× 10
每一项里的乘号。整行一路读下来是「数字乘位值」，这正是它能说清 205.04 里的那个 5 值 5 而不是 500 的原因——尽管在答案里两者写在一起
10000 与 1000
这个数用到的最大位值与最小位值，按数值印出来。4.5e4 给的是 10000 和 1000，而不是 10000 和 1，因为 e 记法只点出系数的数字，写开时那一串零不在其中
0.1 与 0.01
小数点右边两个位值，按小数的样子印，因为人们就是这样读它们的。0.1 是十分位、0.01 是百分位，每一位是它左边一位的十分之一

位值是算术里的第一个概念，也是它之后所有东西依赖的那一个。孩子在数位表上摆小棒时学的是它，多年后在竖式加、竖式减、多位数乘法与长除法的每一行里用到的还是它：那些方法之所以成立，只是因为同一列上的数字值一样多；不信这件事的人，那些方法就用不起来。同一个想法也是十进制的紧凑之处——十个数字够写任意大的数，因为剩下的信息由位置承担——而当换一个进制时，它又是第一个需要重新学、而不只是往外推的东西：二进制数用完全一样的方式工作，只不过位值是 1、2、4、8 而不是 1、10、100、1000，这也是二进制换算那几页与这一页讲的是同一套机制的原因。在测量和钱上，这张表是每天的用具。两位小数的读数意味着什么，靠的正是十分位与百分位；而知道小数点右边的数字一位比一位小，是「把 0.04 读成四个百分之一」和「读成四」之间的差别。清单下面那两行——最大位值与最小位值——是对「这个数有多大、有多精」最快的回答：记到千分位的测量与记到个位的测量，声明的精度不同，而这个声明是由它最后一位坐在哪儿做出的。当各位数字需要被加起来而不是仅被列出时，那件事归展开式页；需要被收成系数与指数时，归标准形式页。

算例

  1. 小数点两侧都有非零数字的数：205.04

    1. 从左到右读各位数字：2、0、5、0、4
    2. 2 在个位左边第三位：2 × 100
    3. 十位上的 0 保留它那一项：0 × 10
    4. 5 在个位，个位的位值是 1，所以它的项是 5 × 1
    5. 十分位上的 0 保留它那一项：0 × 0.1
    6. 4 在个位右边第二位，也就是百分位：4 × 0.01
    7. 用到的最大位值是 100，最小位值是 0.01，所以这个数从百位跨到百分位

    默认值，也是小数点两侧各有一个零的情形，所以镜像的两个方向同时看得见。把它和展开式页对同一个输入的答案放在一起看——那一页给的是 200 + 5 + 0.04，三项对五项。不同的正是那两个零所在的项，原因在于一页列的是位置，另一页加的是金额。

  2. 末尾带零的整数：1200

    1. 各位数字是 1、2、0、0，数位依次是千位、百位、十位、个位
    2. 1 值 1000，2 值 200
    3. 两个零都保留为项，因为它们占的位置依然存在：0 × 10 与 0 × 1
    4. 用到的最大位值是千位，最小位值是个位，值为 1

    这里的重点就是那两个零。去掉它们会得到 1 × 1000 和 2 × 100，那正是展开式页的做法，在那一页是很好的答案，因为和不需要值为零的项。这里保留它们，是因为十位和个位在 1200 里是真实存在的位置，而核对竖式减法的人需要知道这两位被占着。也注意最小位值是 1 而不是 0.01：这个数没有小数点，最后一位落在个位上，最细也就到这里。

  3. 用 e 记法写出来的数：4.5e4

    1. 4.5e4 是 45000 的一种写法，但它只点出了数字 4 和 5
    2. 4 是系数里的第一位，落在万位：4 × 10000
    3. 5 是第二位，落在千位：5 × 1000
    4. 构成 45000 其余部分的那三个零没有写在这个输入里，所以不列出来
    5. 最大位值是 10000、最小位值是 1000——不是 1

    看起来像缺陷、其实不是的算例。输入 45000，清单会一路列到个位；输入 4.5e4，它停在千位，因为 e 记法把大小装在指数里而不是写在零上，而这一页读的是它拿到的数字。两种输入描述的是同一个数，只是第二种点出的数字更少。记法里的那个指数也不会被展开成位值项——列一项 0 × 100 等于这一页在替一个从未写过这些数字的输入凭空补位。

局限

清单的长度等于写出来的数字个数，而不是这个数完整的宽度。4.5e4 给的是两项而不是五项，它的最小位值是 1000 而不是 1，因为输入只点出了两个数字；要看每一位都列到个位，请把数写成 45000。位名不印。答案会说 205.04 的第一位值 200，永远不说它在百位上，因为数位名的清单总得停下：过了十万位之后还得有十万分位、百万分位，一张半路就没词的表，比一张一直用指数、从不缺词的表更糟。书写形态不收，2 × 10² 不能当输入，请用 200 或 2e2；千分位分隔符同样不收，1,200 是错的而不是 1200。输入限制在十五位有效数字以内，指数在 ±99 之间；写成整数的前导零不保留——007 读成 7，它唯一的位值就是个位。负号不出现在清单里，因为它是这个数的属性而不是某一位的属性：−205.04 得到的五项与 205.04 完全相同。这里既不做加法也不做舍入，所以答案从不告诉你各位加起来是多少，那是展开式页的事。最后，下面那张表是一组固定的十的幂，不是对上面那次输入的描述。

常见问题

什么是位值？
一个数字值多少，取决于它写在哪儿，而不取决于它长什么样。数字 5 写在 5、25、205.04 里分别值 5、50 和 0.05，因为它每次坐的位置不同。每一位的值是它右边一位的十倍，这就是十个数字够写任意大的数的原因。
这一页为什么保留零位？
因为位值属于位置，而写着零的位置依然占着这个位——205 里的那个零是它成为 205 而不是 25 的原因。这一页列的是数位与数字，所以保留。展开式页把同一个数变成和，值为零的项对和无贡献，于是去掉；两个答案不一样，也都对。
为什么 4.5e4 不列出千位以下的位值？
因为 e 记法把数的大小装在指数里，而不是写在零上，而这一页读的是它拿到的数字。4.5e4 点出了两个数字，所以清单只有两项：4 × 10000 和 5 × 1000，最小位值是 1000。改写 45000，同一个数会把每一位都列到个位。两种写法是同一个量，变的只是写下来了几个数字。
十分位、百分位、千分位是什么？
小数点右边紧接着的三个位置，分别值 0.1、0.01、0.001。每一位是它左边一位的十分之一，而名字说的和值说的是同一件事：十分位就是数字在那里值十分之一，百分位就是在那里值百分之一。所以 0.04 是四个百分之一而不是四个十分之一，那个 4 在个位右边两位。
为什么答案印 2 × 100，而不印「2 个百」？
因为数位名总得在某个地方停下。过了十万位与千分位，表就得用上多数读者没见过的名字，而一张半路没词的表，比一张把每个位置都按十的幂估值、从不缺词的表更糟。两种说法是同一件事：2 × 100 与两个百是同一个位置，只是描述方式不同。
这一页会告诉我各位数字加起来是多少吗？
不会。它把每一位数字和它所在数位的位值列出来就停住；各项加起来确实等于输入，但页面不做这个加法。想把一个数写成各位位值之和，那是展开式计算器，它用的是同一批位置，只是把值为零的项去掉了。

参考资料

相关计算器

展开式计算器把一个数按数位逐位写成展开式。有效数字计算器统计有效数字的位数，并按位数取整。标准形式计算器在标准形式与普通数字之间互相转换。二进制转十进制换算器把二进制换算成十进制，并列出各位位值。