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有效数字计算器

范围：1 – 15

结果

4

有效数字位数

舍入结果
0.00456
舍入结果（科学计数法）
4.56 × 10⁻³

有效数字是一个数里携带测量信息的那些数字。数它们就是一套作用在「写法」上的规则，数完之后再按指定的位数把它舍成一个近似数。英文页面名里的 sig fig 是缩写，全称是 significant figures；中文统一叫有效数字。规则如下。非零数字都算，所以 123 有三位。夹在两个非零数字之间的零算，因为它在占位：1002 有四位。前导零不算——它们只负责把小数点摆到位——所以 0.005 只有一位有效数字，不是三位。小数点之后的零算，所以 0.004560 有四位。而一个不带小数点的整数末尾的零不算，因为它可能只是在说这个数有多大：1200 有两位有效数字，1200. 有四位。最后这一对就是整套口径的缩影。两个输入是同一个量，差别在于它们各自声明了知道多少——1.2 × 10³ 说测量停在百位，1.200 × 10³ 说一直量到了个位。把小数点写出来就是在做这个声明，所以这条规则不看写出来的形态就没法执行。这个有效数字计算器读一个数、数出它的有效数字位数，再按你选的位数把它舍掉。有两条约定管着舍入，都在这里说明白，而不是让人在结果里自己发现。它是四舍五入并且远离零：1.25 舍到两位是 1.3，−0.004560 舍到两位是 −0.0046，符号不参与判断。以及它不补零：0.004560 要舍到六位，原样返回 0.004560，因为这个数没有六位可给，补上的零等于凭空造精度。舍入会产生进位，进位会改变数的大小：9.99 舍到两位是 10，999 舍到两位是 1000——动的是指数，不是位数。有一条推论值得直说。当舍入产生尾随零时，普通的小数写法显示不出还剩几位：1002.0 舍到两位是 1000，那几个撑住量级的零与「被量出来的零」在写法上分不开。所以页面把舍入结果再按科学记数法印一遍，系数显示位数、指数显示量级：1.0 × 10³。两行并排，歧义就没有了。零在这里算一位。它是一个写出来的数字，而且与前导零不同，它是关于这个量已知的全部，所以算一位而不是不算。左右各有一件要分清的事。按小数位而不是按有效数字舍入是另一件事，归四舍五入那一页：0.004560 舍到两位小数是 0.00，舍到两位有效数字是 0.0046，两个答案差得很远。而把一个数写成系数与指数的形式、却不对它的精度做任何判断，是标准形式那一页。

八个数各自携带的有效数字位数

数有效数字位数
1233
10024
1002.05
0.0051
0.0045604
12002
1200.4
01

八个数，让五条规则每一条都至少用上一次，而决定位数的几种写法也都在里面。中间几行要读仔细：0.005 只有一位，因为它的前导零只定位小数点；而 1002.0 有五位，因为夹在数字之间的零算，小数点之后的零也算。靠下那一对是这条规则最纯粹的样子——1200 有两位有效数字，1200. 有四位，同一个量两种写法，两种关于它知道多少的声明。最后一行是零，它算一位而不是不算，因为它是一个写出来的数字，而且是已知的全部。这一列里每一个数都由回答上面那个输入的同一个内核算出来，所以没有哪一行会与面板矛盾。

公式

123 → 3 位有效数字；1002 → 4 位；0.005 → 1 位；0.004560 → 4 位；1200 → 2 位而 1200. → 4 位；0.004560 舍到 2 位 = 0.0046 = 4.6 × 10⁻³；9.99 舍到 2 位 = 10 = 1.0 × 10¹

0.004560
要被数位的数，写成普通数字或 e 记法。它可以是任何量级的测量值，正负都可以；符号既不参与计数也不参与舍入，读的只是数字本身
0.005 → 1
前导零为什么不算。0.005 里 5 前面那三个零唯一做的事，就是把小数点撑在它该在的位置上；携带信息的只有 5，所以记成 0.005 的一次读数有一位有效数字，把它改写成 5 × 10⁻³ 也改变不了这一点
1002 → 4
中间的零为什么算。1002 里那两个零夹在 1 和 2 之间，占住百位和十位，而这是信息：没有它们，这个数就成了 12 或 102。所以 1002 的每一位都是有效数字
1200 → 2、1200. → 4
这条规则看的是写法而不是值。在一个不带小数点的整数里，末尾的零可能只是占位，所以不算：1200 有两位有效数字。把小数点写上，等于说这几个零是特意写的，于是 1200. 有四位
0.004560 → 4
小数点之后的尾随零为什么算。0.004560 末尾那个零在小数点之后，说明它是特意写的，也说明这次测量到了百万分位。它就是第四位有效数字——这也是 0.004560 与 0.00456 值相同、声明不同的原因
0.004560 → 0.0046 = 4.6 × 10⁻³
按指定位数舍入。四舍五入意味着后面跟 5 时向远离零的方向进，不补零意味着要的位数比现有的多时原样返回。科学记数法那一行同时显示留下来的位数和没有变的量级

有效数字是测量值声明自己精度的方式，它的用途大多在「把结果写下来」这件事上。读到四位小数的天平、刻度到毫米的尺、能分辨百分之一秒的计时器，给出的数里最后一位就是仪器真正看得见的最后一位；把读数记成 0.004560 而不是 0.00456，保住的正是这一点，而有效数字的位数就是它的简写。测量值参与运算时，答案的精度不会超过最弱的那个输入，所以物理、化学与工程里的常规做法是：先算出结果该有几位有效数字，再按这个位数舍入。常用的工作规则是乘除取各因子中位数最少的那一个、加减取各加数中小数位最少的那一个——这也是为什么「按位数舍」与「按小数位舍」是两个不同的操作，而本页只做前一个。化学与物理还把它当作一种检查习惯：答案的有效数字比它的输入还多，说明这个数不是量出来的而是算出来的，也是发现「从显示屏上照抄没动脑子」最快的方式。在课堂上，这本身就是一道要考的题：1200 与 1200. 各是几位，是标准问法，答案取决于写法而不是值。反过来，按小数位舍入是四舍五入那一页的事；而把一个值写成系数与十的幂、完全不对精度做判断，是标准形式那一页。

算例

  1. 数出 0.004560 的有效数字位数

    1. 前导的 0.00 只负责把小数点摆到位，不算
    2. 4、5、6 三个数字都算；它们后面那个零也算，因为它在小数点之后、是特意写下来的
    3. 一共四位有效数字
    4. 舍到四位，正好是这个数已有的位数，所以值原样返回
    5. 写成科学记数法，系数是同样的四位，指数承载量级：4.560 × 10⁻³

    默认值，也是说明「一个数的值」与「它做的声明」不同在哪里的算例。0.00456 与 0.004560 作为值相等，作为测量不同，而末尾那个零就是全部的差别。答案的科学记数法形式说的是同一件事，只是写在了一个零不会被误读成排版的地方：系数 4.560 有四位，它自己说得清清楚楚。

  2. 把 0.004560 舍到一位

    1. 这个数有四位有效数字，而这次只要一位
    2. 留下第一位，也就是千分位上的 4，再看它后面那一位
    3. 后面那一位是 6，所以 4 进成 5
    4. 它右边的一切都丢掉，前导零留在原处：0.005
    5. 写成科学记数法就是 5 × 10⁻³，系数只有一位

    舍到一位是最粗的情形，也是最容易丢掉量级的情形，因为答案 0.005 里保留下来的那个数字只以一个 5 的形式出现。科学记数法那一行把这笔交易摆明了：答案里活下来一位，指数记着它作用于多大的量级。

  3. 会改变指数的进位：9.99 舍到两位

    1. 这个数有三位有效数字，而且全非零
    2. 留下前两位得到 9.9，再看下一位
    3. 下一位是 9，于是 9.9 进位——而进位一路推到底，把 9.9 变成了 10
    4. 舍入后的值大了一个数量级，所以抬上去的是指数，不是位数
    5. 写成科学记数法就是 1.0 × 10¹，它显示的两位正是普通写法里读成一位的 10

    科学记数法那一行为什么值得存在的理由。一个从数末尾冲出去的进位会改变这个数的大小，而普通写法说不清发生了什么：10 可以是十这个数，也可以是一个两位的结果、两位分别是 1 和 0。科学记数法把它定下来——系数 1.0 有两位，指数 1 记着量级。再往上一档同样的事也会发生：999 舍到两位是 1000。

  4. 要的位数比这个数还多：123 要五位

    1. 这个数有三位有效数字，一位都去不掉
    2. 这次要五位，比它携带的还多
    3. 舍入从不补零，所以值原样返回，与进来时一模一样
    4. 计数那一行仍然报三位，因为这个数没有因为被要求而多出两位

    计算器拒绝帮忙的那种情形。把 123 补成 123.00 会把三位量出来的数字变成五位，而多出来的两个零，任何当真的人都会把它们读成精度——那正是这一整套规则要防的错误。科学记数法那一行也说明了这个要求为什么做不到：1.23 × 10² 里只有三位，另外两位没有来处。

局限

计数按学校那五条规则走，而其中一条取决于这个数是怎么写的。1200 有两位有效数字、1200. 有四位，没有第三种答案，因为计算器只有写法可依据，并不知道那几个零是不是量出来的。因此，末尾的零本来有效、却省掉了小数点的整数会被少数——如果那几个零有意义，请写 1200.。舍入是四舍五入并远离零，所以后面跟 5 时一定进；银行家舍入（五入双）在这里没有。舍入不补零，所以要求的位数比现有的多时原样返回，计数那一行报的是这个数真正携带的位数。任何输入里的前导零都不保留，007 读成 7。普通的舍入结果那一行显示不出有效的尾随零，所以才用第二行按科学记数法给出同一个值；对 1002.0 舍到两位，普通那一行读作 1000，只有科学记数法那一行 1.0 × 10³ 才透露出位数是二。输入限制在十五位有效数字以内、指数在 ±99 之间，位数必须是 1 到 15 的整数。书写形态如 4.5 × 10⁴、以及千分位分隔符，都像站上别处一样被拒。零算一位有效数字。最后，本页只按有效数字舍入；按小数位舍入是四舍五入那一页的事，两者一般并不一致——0.004560 舍到两位小数是 0.00，舍到两位有效数字是 0.0046。

常见问题

有效数字怎么数？
非零数字都算，夹在两个非零数字之间的零也算，比如 1002 有四位。前导零一律不算，因为它们只把小数点摆到位，所以 0.005 只有一位。小数点之后的零算，所以 0.004560 有四位。而一个不带小数点的整数末尾的零不算，所以 1200 是两位，1200. 是四位。
为什么 1200 只有两位有效数字？
因为不带小数点的整数末尾那几个零，可能只是占位——它们可能是在说这个数在千位上，而不是说有人一直量到了个位。写出来的形式分不清这两种情况，所以取保守的读法，只有 1 和 2 算。如果那几个零确实有意义，请写 1200.。
有效数字和小数位有什么区别？
小数位从小数点往外数，有效数字从第一个非零数字数起。在 1 附近的数上两者差不多，离 1 远的数上就不同了：0.004560 舍到两位小数是 0.00，舍到两位有效数字是 0.0046。按小数位舍入归四舍五入那一页，本页数的是有效数字并按它舍入。
为什么要求的位数比这个数还多时不补零？
因为补上它们等于凭空造精度。123 有三位有效数字，印成 123.00 就成了五位，读到的人会把最后两位当成量出来的，而没有任何东西量过它们。所以计算器原样返回，计数那一行仍然报三位——这就是它在说这个要求没法满足。
为什么舍入结果还要再给一遍科学记数法？
因为普通写法显示不出有意义的尾随零。1002.0 舍到两位得到 1000，那几个撑住量级的零与「被量出来的零」看起来一模一样。科学记数法那一行写成 1.0 × 10³，系数装住两位、指数装住量级，歧义就没了。
零有几位有效数字？
一位。零是一个写下来的数字，而且与 0.005 里的前导零不同，它是关于这个量已知的全部，不是用来定位小数点的标记。把它舍到任何位数都还是 0，因为第一位之后没有东西可以留、也没有东西可以丢。

参考资料

相关计算器

四舍五入计算器按数位或有效数字位数对数值取整。科学记数法计算器在科学记数法与普通数字之间转换并运算。标准形式计算器在标准形式与普通数字之间互相转换。数位计算器给出一个数中每一位数字的位值。