Калькулятор углового коэффициента

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) b = y₁ − m·x₁ ax + by = c ⇒ m = −a ÷ b, b = c ÷ b

x₁, y₁, x₂, y₂

Две точки, читаемые, когда переключатель стоит на двух точках. Первая точка и вторая взаимозаменяемы: если их поменять, знак меняется и у числителя, и у знаменателя, поэтому угловой коэффициент получается тот же. А вот что менять местами нельзя — это подставлять x в поле для y: этого никто не проверяет, и ответом будет число совершенно обычного вида.

a, b, c

Три коэффициента уравнения прямой ax + by = c, читаемые, когда переключатель стоит на уравнении. Они учитываются только в этом режиме, а в другом игнорируются безо всякого указания на экране. Обратите внимание: b здесь — коэффициент при y, а не точка пересечения с осью y; пересечение выводится отдельной строкой, и путать эти две вещи — самая частая ошибка с такой записью.

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

Угловой коэффициент по двум точкам, то есть подъём, делённый на смещение по горизонтали. Это одно и то же число, как бы далеко ни стояли точки, и именно это делает прямую прямой: возьмите две точки в километре друг от друга или две точки в миллиметре друг от друга — отношение не изменится. Единственный случай, который это ломает, — x₁, равный x₂: тогда знаменатель равен нулю, а прямая вертикальна.

m = −a ÷ b

Угловой коэффициент из уравнения: ax + by = c переписывается в y = mx + b. Минус здесь легко потерять, а потерянный минус даёт коэффициент верной величины с неверным знаком — и это ровно та ошибка, из-за которой падающая прямая выглядит растущей. Когда b равно нулю, переписывание делит на ноль, а прямая вертикальна, поэтому такой случай отклоняется, а не приближается.

b = y₁ − m·x₁

Пересечение с осью y — то место, где прямая пересекает вертикальную ось. Оно вычисляется из углового коэффициента и одной из точек, а не считывается с графика, и печатается при любых входных данных, включая те, где равно нулю. У прямой, проходящей через начало координат, пересечение равно ровно 0, и это стоит увидеть явно: это случай, когда в уравнении вообще нет свободного члена.

угол = arctan(m)

Угол уклона — арктангенс углового коэффициента в градусах, лежащий между −90 и 90. Коэффициент 1 даёт 45 градусов, коэффициент −1 даёт −45, а горизонтальная прямая даёт 0. Это не угол наклона из аналитической геометрии, который меняется от 0 до 180 и назвал бы ту же прямую с коэффициентом −45 значением 135; арктангенс взят здесь потому, что он прямо и взаимно однозначно следует из углового коэффициента.

Пригодится, когда угловой коэффициент нужно получить из прямой, заданной в любой из двух стандартных форм, а также когда уравнение прямой требуется прочитать на коэффициент и пересечение, не переписывая его вручную: 2x + 3y = 6 — это коэффициент −2/3 и пересечение 2 за один шаг. Это страница для проверки уже начерченной прямой: коэффициент, вышедший с неверным знаком, или пересечение, не совпадающее с тем местом, где прямая пересекает ось, означают, что уравнение где-то прочитано неправильно. Угол полезен, когда коэффициент надо сравнить с физическим подъёмом, но это арктангенс, а не угол наклона, так что читайте эту колонку с поправкой на разницу. За уклоном по двум точкам обращайтесь, когда речь о дороге, а не о прямой: арифметика та же, а слова другие, и та страница говорит процентами превышения. За калькулятором квадратного уравнения обращайтесь, когда в уравнении есть x²: у кривой нет единственного углового коэффициента. А когда коэффициент известен и нужна как раз запись уравнения, это страница прямой через точку — вопрос этой страницы, прочитанный наоборот.

1. Прямая через (1, 2) и (4, 8)

   1. Изменение y: 8 − 2 = 6
   2. Изменение x: 4 − 1 = 3
   3. Угловой коэффициент: 6 ÷ 3 = 2
   4. Пересечение: 2 − 2 × 1 = 0, значит, прямая проходит через начало координат
   5. Угол: arctan(2) = 63,4349 градуса

   Случай двух точек, где все ответы круглые, кроме угла, — а это обычное положение дел: арктангенс рационального коэффициента почти никогда не бывает целым числом градусов. На пересечении, равном ровно 0, стоит задержаться: оно говорит, что уравнение этой прямой — y = 2x безо всякой добавки, и тот, кто ждал увидеть пересечение где-то на видимом расстоянии от начала координат, смотрит на прямую, пересекающую ось ровно в нём.

2. Прямая через (0, 3) и (4, 0)

   1. Изменение y: 0 − 3 = −3
   2. Изменение x: 4 − 0 = 4
   3. Угловой коэффициент: −3 ÷ 4 = −0,75, отрицательный, потому что прямая опускается вправо
   4. Пересечение: 3 − (−0,75 × 0) = 3, и на графике это видно как точка (0, 3)
   5. Угол: arctan(−0,75) = −36,8699 градуса

   Отрицательный коэффициент и случай, где важна договорённость об угле. Эта прямая опускается вправо, поэтому угол отрицательный: учебник геометрии назвал бы угол наклона той же прямой равным 143,13 градуса, и оба числа описывают одну прямую. Пересечение здесь проверить проще всего: у первой точки x равно 0, и она лежит ровно на вертикальной оси.

3. Прямая 2x + 3y = 6

   1. Перепишем в виде y = mx + b: 3y = 6 − 2x, то есть y = 2 − (2 ÷ 3)x
   2. Угловой коэффициент равен −a ÷ b = −2 ÷ 3 = −0,666667
   3. Пересечение равно c ÷ b = 6 ÷ 3 = 2
   4. Угол: arctan(−0,666667) = −33,6901 градуса
   5. Проверка: при x = 0 уравнение читается как 3y = 6, то есть y = 2, а это и есть пересечение

   Режим уравнения и случай, показывающий, откуда в формуле берётся минус. Если минус выбросить, получится 0,666667 вместо −0,666667: та же крутизна, но в гору вместо под гору, — и это как раз тот род ошибки, который ловит проверка по исходному уравнению и не ловит взгляд на число. Пересечение можно подтвердить, подставив в уравнение x = 0, вместо того чтобы доверять формуле.

4. Прямая x − y = 4

   1. Перепишем: −y = 4 − x, то есть y = x − 4
   2. Угловой коэффициент равен −a ÷ b = −1 ÷ (−1) = 1
   3. Пересечение равно c ÷ b = 4 ÷ (−1) = −4
   4. Угол: arctan(1) = 45 градусов ровно

   Отрицательное b — случай, где два минуса в формулах сокращаются и ответы выходят положительными. Это ещё и одна из немногих прямых с углом в целое число градусов: коэффициент 1 даёт 45 градусов, а −1 даёт −45, и именно поэтому эти две строки есть в справочной таблице. Пересечение −4 говорит, что прямая пересекает ось ниже начала координат, — и тот, кто решил, что отрицательный коэффициент b означает отрицательный угловой коэффициент, прочитает это ровно наоборот.

5. Горизонтальная прямая через (2, 5) и (6, 5)

   1. Изменение y: 5 − 5 = 0
   2. Изменение x: 6 − 2 = 4
   3. Угловой коэффициент: 0 ÷ 4 = 0 — прямая горизонтальна, и её коэффициент равен нулю, а не не определён
   4. Пересечение: 5 − 0 × 2 = 5, та высота, на которой прямая стоит
   5. Угол: arctan(0) = 0 градусов

   Нулевой коэффициент — случай, который чаще всего путают с вертикальной прямой, отклоняемой этой страницей. У горизонтальной прямой коэффициент равен ровно нулю: она ни поднимается, ни опускается, — а у вертикальной коэффициента нет вовсе, и разница в том, попадает ноль в числитель или в знаменатель. Все результаты здесь — чистые числа, поэтому эту строку проще всего сверить с наброском.

Обе группы полей находятся на экране одновременно, и читает из них ту или другую переключатель. Неиспользуемая группа не затемняется — страница этого не умеет, — поэтому числа, набранные не в ту группу, молча игнорируются, и результат не сдвинется, когда их изменишь. Это единственное поведение на странице, которое нельзя обнаружить, глядя на экран, и единственное лекарство — проверить переключатель: поля двух точек читаются, когда он говорит «Две точки», а поля a, b и c — когда он говорит «Уравнение прямой (ax + by = c)». Вертикальные прямые отклоняются в обоих режимах, а не выдаются как бесконечный коэффициент, потому что бесконечность — не годное к употреблению число, а у вертикальной прямой коэффициента действительно нет; горизонтальная прямая — совсем другой случай, и она возвращается с коэффициентом ровно ноль. Угол — это арктангенс коэффициента, и он меняется от −90 до 90 градусов, а не от 0 до 180, как угол наклона в аналитической геометрии: одна и та же падающая прямая здесь −45, а там 135, и путаница между этими двумя соглашениями вносит ошибку знака во всё, что считается от угла. Угловой коэффициент — чистое число без единицы измерения, и смысл оно имеет, только когда обе оси измерены в одном и том же: коэффициент 5 между расстоянием в метрах и временем в секундах — это 5 метров в секунду, и страница об этом не скажет. Координаты ограничены значением 1 000 000 по абсолютной величине, а это диапазон отображения. Оценок здесь нет: у крутизны прямой нет авторитетного порога, а знак коэффициента уже говорит, поднимается прямая или опускается. И наконец, страница имеет дело только с прямыми: у кривой в каждой точке свой коэффициент, и производная здесь не считается.

Почему изменение поля иногда не меняет ответ?

Потому что переключатель стоит на другой группе. Обе группы полей всегда на экране, и читается за раз только одна: когда переключатель на двух точках, поля a, b и c игнорируются полностью, а когда на уравнении — четыре координаты. Неиспользуемая группа не затемняется, поэтому единственное указание на то, какие числа идут в счёт, — это переключатель; проверяйте его первым делом всякий раз, когда результат кажется застывшим.

Чему равен угловой коэффициент вертикальной прямой?

Ничему — и эта страница отклоняет такой ввод, а не печатает бесконечность. Угловой коэффициент — это изменение y, делённое на изменение x, а у вертикальной прямой изменение x равно нулю, поэтому арифметика требует деления на ноль. Бесконечность нельзя понести в следующий шаг, а если назвать коэффициент бесконечным, это прозвучит как очень большое число, а не как отсутствие числа. Горизонтальная прямая — противоположный случай: её коэффициент равен ровно нулю.

Как найти угловой коэффициент из уравнения?

Перепишите ax + by = c в y = mx + b. Тогда коэффициент равен −a ÷ b, а пересечение — c ÷ b, и именно это считает страница, когда переключатель стоит на уравнении. Знак значит больше, чем кажется: для 2x + 3y = 6 коэффициент равен −2/3, а выброшенный минус даёт прямую той же крутизны, идущую в другую сторону.

Чем угол уклона отличается от угла наклона?

Угол уклона — это арктангенс коэффициента, и лежит он между −90 и 90 градусами; угол наклона из аналитической геометрии лежит между 0 и 180. Для прямой, опускающейся вправо, они расходятся на 180 градусов: эта страница выдаёт −45 для коэффициента −1, тогда как угол наклона той же прямой равен 135. Здесь взят арктангенс, потому что он следует из коэффициента напрямую и взаимно однозначно, без дополнительного правила «к отрицательным коэффициентам прибавить 180».

Есть ли у углового коэффициента единица измерения?

Сам по себе — нет. Угловой коэффициент — это отношение двух изменений, то есть чистое число, и смысл «столько-то на единицу» он несёт, только когда обе оси измерены в одном и том же: метры по обеим осям дают безразмерное число, а метры против секунд дают метры в секунду. Страница об этом не спрашивает, поэтому не может ни пересчитать, ни подписать результат; если оси в разных единицах, перед вами скорость, и единица измерения — единственное, чего страница дать не может.

Можно ли с её помощью найти уравнение прямой?

Нет, эта страница идёт в обратную сторону. Она берёт уже описанную прямую — двумя точками или уравнением — и сообщает её коэффициент и пересечение. Переход от коэффициента и точки к записи уравнения — другая задача, и для неё есть страница прямой через точку. Зато попутно эта страница даёт пересечение, а коэффициент вместе с пересечением — это уже уравнение прямой в виде y = mx + b, если вы захотите записать его сами.

• Slope — the definition of the slope of a line as rise over run, with the two-point and equation forms this page evaluates — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the general equation ax + by = c and its rearrangement into slope-intercept form, including the vertical case where b is zero — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Tangent — the arctangent used for the angle column, and the range from −90 to 90 degrees that distinguishes it from the inclination angle — Wolfram MathWorld (United States)