Калькулятор уравнения прямой

точки (x1, y1) и (x2, y2) → m = (y2 - y1) / (x2 - x1) → b = y1 - m * x1 → y = m * x + b

m

Угловой коэффициент: насколько прямая поднимается на каждый шаг вправо. Это подъём, делённый на пробег, и его знак задаёт направление: положительный ведёт вверх, отрицательный вниз, нулевой даёт горизонтальную прямую. Коэффициент 4 означает, что y прибавляет 4 на каждую единицу, которую прибавляет x.

b

Пересечение с осью y: значение y в точке, где прямая пересекает вертикальную ось, то же самое, что значение y при x = 0. Это то, что остаётся от точки, когда из неё вычли вклад углового коэффициента, и единственное число на этой странице, которое читается прямо из уравнения.

(x1, y1), (x2, y2)

Две точки. Любую из них можно назвать первой: перестановка меняет знак и у числителя, и у знаменателя углового коэффициента, а два изменения знака взаимно уничтожаются. Совпадать по x они не должны, иначе это деление на ноль.

x, y

Две переменные готового уравнения. Любая пара, которая ему удовлетворяет, лежит на прямой, и в этом польза уравнения: подставьте любой x, и оно вернёт y точки над ним, не нуждаясь ни в одной из исходных двух точек.

Обращайтесь к нему, когда прямая задана двумя своими точками и нужна сама прямая — уравнение, угловой коэффициент и место пересечения с осью, — а не одно число о ней. Пара показаний из таблицы, две позиции на графике, начальное значение и одно более позднее измерение: по ним угловой коэффициент скажет, как быстро это меняется, а свободный член — с чего всё началось. Линейное уравнение получается здесь целиком, вместе с обоими коэффициентами; если нужен только угловой коэффициент, его даёт калькулятор углового коэффициента, а если известны одна точка и скорость, ту же прямую запишет калькулятор прямой через точку.

1. (1, 2) и (3, 10) — обычный случай

   1. Подъём: 10 − 2 = 8. Пробег: 3 − 1 = 2
   2. Угловой коэффициент: m = 8 / 2 = 4
   3. Свободный член: b = 2 − 4 × 1 = −2
   4. Уравнение: y = 4x - 2

   Проверьте по обеим точкам — привычка, которую стоит завести: при x = 1 выходит 4 × 1 − 2 = 2 ✓, а при x = 3 выходит 4 × 3 − 2 = 10 ✓. Отрицательный свободный член при двух точках выше оси — не ошибка: прямая достаточно крутая, чтобы пересечь ось далеко слева от первой точки, при x = 0,5.

2. (0, 1) и (2, 2) — угловой коэффициент, не являющийся целым

   1. Подъём: 2 − 1 = 1. Пробег: 2 − 0 = 2
   2. Угловой коэффициент: m = 1 / 2 = 0,5
   3. Первая точка уже лежит на оси, поэтому b = 1 получается прямо из неё: b = 1 − 0,5 × 0 = 1
   4. Уравнение: y = (1/2)x + 1

   Коэффициент заключён в скобки, потому что 1/2x читалось бы как единица, делённая на 2x. Обратите внимание, что два напечатанных числа точно согласуются с уравнением: строка углового коэффициента говорит 0,5, а уравнение говорит (1/2) — это одно и то же число, записанное дробью; конечную десятичную дробь страница печатает как обыкновенную, когда знаменатель достаточно мал, чтобы его стоило читать.

3. (1, 3) и (5, 3) — горизонтальная прямая

   1. Подъём: 3 − 3 = 0. Пробег: 5 − 1 = 4
   2. Угловой коэффициент: m = 0 / 4 = 0
   3. Свободный член: b = 3 − 0 × 1 = 3
   4. Уравнение: y = 3, потому что член с угловым коэффициентом не даёт ничего

   Нулевой угловой коэффициент схлопывает уравнение: икса в нём не остаётся, а запись y = 0x + 3 добавила бы только член, который всегда равен нулю. Это единственное место, где напечатанное уравнение перестаёт выглядеть как y = mx + b, и это правильно, а не упрощение: у каждой точки прямой y = 3, каким бы ни был x.

Только прямые и только через две различные точки. Если у обеих точек одинаковый x, прямая вертикальна: углового коэффициента у неё нет, ось y она не пересекает, поэтому формы с угловым коэффициентом не существует, и страница сообщает о неудачном вычислении вместо того, чтобы её напечатать, — честный ответ там x = 3, а это не то уравнение, которое страница умеет выдать. Совпадающие точки — тот же случай, поскольку через одну точку проходит бесконечно много прямых. Угловой коэффициент округляется до шести знаков после запятой ещё до того, как по нему вычислен свободный член, поэтому два напечатанных числа всегда согласуются с напечатанным уравнением — ценой того, что за шестым знаком напечатанная прямая отличается от точной, когда коэффициент периодический: 1/3 становится 0,333333, и уравнение строится уже из этого. Уравнение печатается, а не решается: страница не скажет, где прямая встречает ось x, параллельны ли две прямые и чему равен y при каком-нибудь другом x. Координаты ограничены 1 000 000 в обе стороны, и никаких единиц измерения здесь нет, потому что координата — это число, а не измерение.

Какую точку вводить первой?

Любую — ответ не изменится. Перестановка двух точек меняет знак и у числителя, и у знаменателя в (y2 - y1) / (x2 - x1), а два изменения знака взаимно уничтожаются. То же верно и для свободного члена, потому что он вычисляется из точки и углового коэффициента. Важно только одно: обе координаты одной точки должны быть введены в одной строке формы.

Что, если у обеих точек одинаковый x?

Тогда прямая вертикальна, и страница сообщает о неудачном вычислении. У вертикальной прямой углового коэффициента нет вовсе — пробег равен нулю, поэтому у деления нет ответа, — и ось y она не пересекает, так что уравнение y = mx + b не опишет её ни при каких m и b. Уравнение вертикальной прямой — x = 3, в нём нет ни углового коэффициента, ни пересечения с осью y, и поэтому оно выходит за рамки того, что эта страница выдаёт.

Почему угловой коэффициент округляется и что происходит с периодической дробью?

Он округляется до шести знаков после запятой, и свободный член затем вычисляется по округлённому значению, а не по точному. Это сделано намеренно: так два числа на панели результатов точно согласуются с уравнением, напечатанным под ними, и ответ можно проверить вручную. Плата за это — то, что при периодическом коэффициенте, например 1/3, который дают точки (1, 1) и (4, 2), напечатанная прямая есть округлённая прямая: 0,333333 вместо одной третьей.

Чем это отличается от калькулятора прямой через точку?

Входными данными. Эта страница принимает две точки, то есть то, что обычно и есть на руках; страница прямой через точку принимает одну точку и уже известный угловой коэффициент и печатает уравнение в форме, где эта точка видна. Они описывают одну и ту же прямую, поэтому страницы можно использовать одну за другой: возьмите угловой коэффициент, который сообщила эта страница, и первую из двух точек — и калькулятор прямой через точку запишет ту же прямую с другой стороны.

Почему уравнение иногда показывает дробь, а иногда десятичную запись?

Десятичная дробь, которая заканчивается на нескольких цифрах, печатается как обыкновенная, когда знаменатель мал: 0,5 выходит как (1/2), а 0,25 как (1/4), потому что именно так угловой коэффициент обычно пишут от руки. Всё более длинное остаётся десятичной дробью, округлённой до шести знаков, поэтому одна треть выглядит как 0,333333. Число в обоих случаях одно и то же, и строка углового коэффициента над уравнением всегда с ним согласуется.

Как проверить ответ вручную?

Подставьте любое из своих значений x в напечатанное уравнение и посмотрите, получится ли y этой точки. Для (1, 2) и (3, 10) уравнение имеет вид y = 4x - 2, и при x = 1 получается 2, а при x = 3 — 10, то есть обе точки лежат на прямой. Если одна из них не сходится, сравните свои выкладки с угловым коэффициентом и свободным членом, напечатанными над уравнением.

• Slope — rise over run, and the sign conventions this page's first output follows — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the object all of this is about, and the several forms its equation can take — Wolfram MathWorld (United States)
• Linear equation — y = mx + b as the two-variable equation it is, with a slope and an intercept — Wolfram MathWorld (United States)