Калькулятор прямой через точку
Результат
Форма по точке и наклону
- Форма с угловым коэффициентом
- y = 2x + 1
- Пересечение с осью y
- 1,000000
Калькулятор прямой через точку записывает уравнение прямой, когда известны одна точка на ней и её угловой коэффициент. Ответ возвращается в двух видах: форма по точке и наклону, где точка остаётся видна как числа, из которых её собрали, и форма с угловым коэффициентом, где всё перемножено и пересечение с осью y читается напрямую. По умолчанию берётся угловой коэффициент 2 и точка (1, 3), что даёт y − 3 = 2(x − 1), а после перестановки — y = 2x + 1. Всё, что делает прямая, уже видно в первом виде, и именно поэтому ему и отдают предпочтение: коэффициент — это число впереди, а координаты точки стоят там, где их ввели. Дробный угловой коэффициент — законный вход, и его записывают дробью, а не округляют: уравнение есть точный объект, а десятичная запись была бы лишь одним из написаний одного из его чисел.
Десять коэффициентов и точек и уравнения, которые из них получаются
| Угловой коэффициент | x₁ | y₁ | Форма по точке и наклону |
|---|---|---|---|
| 2 | 1 | 3 | y - 3 = 2(x - 1) |
| 1 | 0 | 0 | y = x |
| 1 | 5 | 0 | y = (x - 5) |
| -1 | 2 | 5 | y - 5 = -(x - 2) |
| -1 | 0 | 4 | y - 4 = -x |
| 0 | 1 | 3 | y - 3 = 0 |
| 0.5 | 4 | 1 | y - 1 = (1/2)(x - 4) |
| 3 | 0 | -2 | y + 2 = 3x |
| -2 | -1 | -3 | y + 3 = -2(x + 1) |
| 4 | 2 | 2 | y - 2 = 4(x - 2) |
Каждая строка берёт коэффициент и точку и показывает уравнение, которое получается. Строки подобраны так, чтобы покрыть договорённости записи, а не произвольно: именно их читатель и сверяет. Во второй строке обе координаты нулевые, и скобка исчезает целиком; в третьей высота нулевая, и левая часть остаётся голым y. В шестой строке коэффициент нулевой, и справа печатается просто 0. В седьмой коэффициент дробный, и он взят в скобки, а в девятой координаты отрицательные, и оба знака переворачиваются разом. Всё это те случаи, в которых письменный ответ и ошибаются, а знаковые координаты — то, ради чего вторую и девятую строки стоит поставить рядом. Каждая ячейка — число или обозначение, поэтому таблица одинакова во всех десяти языках сайта. Числа внутри ячеек при этом печатаются без локализации, так что десятичный разделитель в них остаётся точкой и в русской версии: это то же самое число, записанное иначе, а не ошибка.
Формула
y − y₁ = m(x − x₁) форма с угловым коэффициентом: y = mx + (y₁ − m·x₁)
- m
- Угловой коэффициент: насколько круто прямая поднимается или опускается, как число со знаком. Это множитель перед скобкой в правой части и коэффициент при x после приведения уравнения к виду с угловым коэффициентом. При коэффициенте 0 прямая горизонтальна — и калькулятор пишет в этом случае просто 0 вместо скобки, умноженной на ничто.
- x₁, y₁
- Одна известная точка. Здесь нужна только одна: коэффициент задаёт направление, точка задаёт положение, а вместе они определяют прямую. Нижние индексы — те же, что в формуле, а не номер в списке: второй точки на этой странице нет.
- пересечение с осью y
- Место, где прямая пересекает ось y, — это константа, оставшаяся после приведения уравнения к виду с угловым коэффициентом. Оно получается из тех же трёх входных чисел: прямая проходит через заданную точку, поэтому её высота при x, равном нулю, — это высота той точки минус подъём, который дал бы коэффициент по дороге туда.
- x, y
- Две переменные, которые уравнение связывает. Ни одной из них не приписано значение: ответ — это правило, действующее сразу для каждой точки прямой, поэтому главная величина здесь текст, а не одно число.
Пользуйтесь этим, чтобы записать прямую, когда известны её крутизна и одна точка на ней: по скорости и начальному значению, по коэффициенту касательной в известном месте или по двум точкам, после того как коэффициент между ними посчитан. Обратный путь, от двух точек к коэффициенту, — это страница про угловой коэффициент; предсказать по готовому уравнению значение дальше по прямой — страница линейной интерполяции.
Разобранные примеры
Угловой коэффициент 2 через точку (1, 3)
- Подставьте коэффициент и точку в шаблон: y − y₁ = m(x − x₁)
- Левая часть становится y − 3, а скобка — (x − 1)
- Форма по точке и наклону: y − 3 = 2(x − 1)
- Раскройте скобку: 2(x − 1) = 2x − 2
- Перенесите −3: y = 2x − 2 + 3 = 2x + 1
- Форма с угловым коэффициентом: y = 2x + 1, значит пересечение с осью y равно 1
Случай по умолчанию, и его стоит читать вместе с входными данными: два числа в скобках — это введённые координаты, у которых знак перевёрнут вычитанием. Ровно для этого форма по точке и наклону и нужна — она оставляет заданную точку читаемой, а не сворачивает её в константу.
Угловой коэффициент −1, где скобка обязана остаться
- Шаблон даёт y − 5 = m(x − 2)
- Угловой коэффициент −1 записывается просто знаком минус, а не как −1, — так же, как опускают коэффициент 1
- Скобка остаётся: запись −x − 2 была бы другой прямой
- Форма по точке и наклону: y − 5 = −(x − 2)
- Раскройте: −(x − 2) = −x + 2, затем y = −x + 2 + 5
- Форма с угловым коэффициентом: y = −x + 7, и пересечение с осью y равно 7
Строка, в которой ошибаются чаще всего. Угловой коэффициент 1 и угловой коэффициент −1 оба записываются без видимого числа, но минус обязан остаться снаружи скобки: если скобку убрать, −(x − 2) превратится в −x − 2 — ошибка в знаке посреди уравнения, которое выглядит совершенно нормально.
Дробный угловой коэффициент
- Угловой коэффициент 0,5 сохраняется как точная дробь 1/2, а не записывается десятичной
- Шаблон даёт y − 1 = (1/2)(x − 4)
- Дробь берётся в скобки, потому что 1/2(x − 4) читалось бы как единица, делённая на удвоенную скобку
- То же взятие в скобки повторяется и в форме с угловым коэффициентом: y = (1/2)x − 1
- Пересечение с осью y равно −1
Случай, который разом решает две договорённости. Дроби сохраняются точными, чтобы уравнение оставалось уравнением, а не приближением, а дробный коэффициент берётся в скобки, чтобы он оставался привязан к скобке, а не к переменной. Обе договорённости совпадают с теми, которых на других страницах по алгебре придерживаются для таких же чисел.
Ограничения
Угловой коэффициент и обе координаты ограничены по модулю миллионом. Дробные входные значения печатаются дробями, когда знаменатель делится нацело и не больше тысячи, и шестью знаками после запятой во всех остальных случаях — поэтому 0,5 выходит как 1/2, а десятичная дробь с длинным периодом переходит на округление. Коэффициент и координаты принимаются только в виде десятичных: страница не берёт дробь, набранную текстом, поэтому 1/3 придётся вводить тем десятичным значением, до которого она округляется. Вертикальная прямая в таком виде не записывается вообще: её угловой коэффициент не определён, и ни одно значение m её не даёт, так что вертикальная прямая через заданную точку просто не входит в число прямых, которые эта страница умеет описать. Чего страница не делает — не ищет коэффициент за вас по двум точкам и не говорит, где прямая пересекает ось x.
Частые вопросы
- Что такое форма по точке и наклону?
- Это способ записать линейное уравнение так, чтобы одна известная точка на прямой оставалась видна: y минус высота точки равно угловому коэффициенту, умноженному на x минус положение точки. Так можно записать любую точку и любой коэффициент, а читая уравнение обратно, вы видите, какая точка и какой коэффициент его породили.
- Зачем она нужна, если форма с угловым коэффициентом проще?
- Потому что она строится прямо из того, что известно. Форма с угловым коэффициентом удобнее для построения графика, но чтобы её получить, нужно раскрыть скобки и привести подобные, и любая арифметическая описка спрячется внутри константы. Форма по точке и наклону держит заданные числа там, где их ввели, поэтому её можно проверить одним взглядом.
- Что показывает пересечение с осью y?
- Место, где прямая встречает ось y, то есть её высоту при x, равном нулю. Оно следует из тех же трёх входных чисел: начните от известной точки и отмените подъём, который дал бы коэффициент по дороге туда от оси. Если известная точка уже лежит на оси, пересечение равно просто её высоте.
- Почему угловой коэффициент 1 записывается без числа?
- По той же причине, по которой коэффициент 1 вообще опускают: запись 1(x − 2) добавляет знак, который ничего не сообщает. Угловой коэффициент −1 сохраняет минус, но тоже теряет цифру, и именно здесь скобка обязана остаться: минус принадлежит ей снаружи, а если скобку убрать, прямая станет другой.
- Почему дробные коэффициенты берут в скобки?
- Чтобы дробь осталась привязана к скобке, а не к x. Записанная без скобок, 1/2(x − 4) читается как единица, делённая на удвоенную скобку, а это другое выражение. В скобках получается (1/2)(x − 4), и порядок умножения становится однозначным.
- Можно ли так записать вертикальную прямую?
- Нет. Вертикальная прямая не имеет углового коэффициента — подъём у неё настоящий, а смещение нулевое, — поэтому нет такого значения m, которое её даст, и форма по точке и наклону её не описывает. Такую прямую записывают как x, равный константе, а этот вид выходит за рамки страницы.
Источники
- Point-Slope Form — the arrangement this page starts from, and the reason a slope and a single point are enough — Wolfram MathWorld (United States)
- Linear Equation — the general form the two outputs are both special cases of, and the standard form the answer can be rearranged into — Wolfram MathWorld (United States)
- Slope — the number that fixes the line's direction, and the quantity that has no value at all for a vertical line — Wolfram MathWorld (United States)