Калькулятор темпа изменения

средняя скорость изменения = Δy ÷ Δx = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

x₁

Вход на первом конце отрезка — более раннее значение того, что функция принимает: время в случае скорости, положение в геометрическом случае. Ничто его не ограничивает, и оно не обязано быть меньше x₂: концы можно указывать в любом порядке.

x₂

Вход на втором конце. Он не может быть равен x₁. Если равенство выполнено, знаменатель отношения равен нулю, и усреднять не по чему: у функции просят изменения при неизменном входе, а это вертикальный отрезок, а не скорость.

y₁, y₂

Значения функции на этих двух входах. Формула это, таблица измерений или кривая на экране — странице нужны только два значения, и порядок важен для двух колонок изменения, хотя из отношения он сокращается.

Δy ÷ Δx

Сама средняя скорость: полное изменение выхода, делённое на длину отрезка, на котором оно произошло. В записи с дельтой греческая буква обозначает разность, поэтому Δy — изменение y, а Δx — изменение x. Читать выражение как «на единицу» — в этом весь смысл: ответ говорит, насколько сдвинулся y при сдвиге x на единицу.

(y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

Та же величина, выписанная целиком. Численно она совпадает с угловым коэффициентом прямой, соединяющей две точки, поэтому два калькулятора и дают одинаковый ответ на разные вопросы: страница про угловой коэффициент спрашивает, насколько крута прямая, а эта страница — насколько быстро функция прошла отрезок. В математический анализ переходит только вторая постановка, где отрезок берут всё уже и уже.

1. Средняя скорость изменения функции x² на отрезке от 1 до 3

   1. Отрезок имеет длину две единицы: Δx = 3 − 1 = 2
   2. Выход изменился на восемь: Δy = 9 − 1 = 8
   3. Делим: 8 ÷ 2 = 4
   4. Значит, функция прибавляла в среднем 4 единицы выхода на единицу входа

   Для функции возведения в квадрат ответ подчиняется правилу, которое стоит знать: на отрезке от a до b средняя скорость всегда равна a + b, здесь 1 + 3 = 4. Правило выполняется потому, что b² минус a² раскладывается как (b − a)(b + a), и b − a сокращается со знаменателем. Поэтому и таблица ниже построена по этой самой функции.

2. Средняя скорость за три секунды

   1. Вход — время в секундах, от 0 до 3
   2. Выход — положение, оно сместилось с 10 на 70
   3. Положение изменилось на 60 за 3 секунды: 60 ÷ 3 = 20
   4. Средняя скорость равна 20 единицам расстояния в секунду

   Прочтение, которое делает величину конкретной: если по вертикальной оси отложено положение, а по горизонтальной — время, средняя скорость изменения и есть средняя скорость движения. Это средняя в настоящем смысле слова: мгновенная скорость могла меняться по дороге, и отношение ничего не говорит о середине отрезка — только о двух его концах.

3. Перестановка двух концов

   1. Те же две точки, что и в первом примере, только в другом порядке
   2. Δx = 1 − 3 = −2 и Δy = 1 − 9 = −8
   3. Отношение равно −8 ÷ −2 = 4, то же значение, что и раньше
   4. Обе колонки изменения поменяли знак, а скорость — нет

   Если рядом с положительной скоростью видно отрицательное Δx, ошибки нет. Отношение не меняется, когда числитель и знаменатель меняют знак одновременно, поэтому средняя скорость не зависит от того, какой конец назван первым; а две колонки изменения зависят, потому что описывают направление движения между точками. Основной результат отвечает на вопрос «как быстро», а колонки изменения — на вопрос «откуда и куда».

Два входа должны различаться. Когда x₂ равно x₁, в знаменателе отношения стоит ноль, и страница отказывается считать, а не возвращает бесконечность: у вертикального отрезка нет скорости изменения на единицу x, потому что x вообще не меняется. Концы можно указывать в любом порядке, и средняя скорость в обоих случаях одинакова, но две колонки изменения знаковые и при перемене порядка меняют знак. Страница сообщает скорость на отрезке и никогда — скорость в точке: мгновенная скорость это предел, которого страница не берёт, и для неё нужно знать функцию, а не два её значения. Каждая координата ограничена по модулю одним триллионом, то есть 1 000 000 000 000, за этой границей вычитание потеряло бы точность, и шесть показанных знаков вводили бы в заблуждение. Результат округляется до шести знаков после запятой, тогда как арифметика идёт с полной точностью. Угол страница не печатает: угол — свойство прямой, а у функции на отрезке его нет, и это одно из отличий этой страницы от калькулятора углового коэффициента, на который она ссылается.

Что такое средняя скорость изменения?

Это полное изменение выхода функции на отрезке, делённое на длину этого отрезка. Если положение смещается с 10 на 70 за три секунды, средняя скорость равна 60 ÷ 3, то есть 20 единицам в секунду. Слово «средняя» здесь работает по-настоящему: величина описывает весь отрезок одним числом и ничего не говорит о том, как функция вела себя внутри него.

Чем это отличается от углового коэффициента?

Арифметика та же — и там и там изменение вертикальной величины делится на изменение горизонтальной, — но вопрос другой. Угловой коэффициент описывает, насколько крута прямая, то есть свойство самой прямой. Средняя скорость изменения описывает, насколько быстро функция прошла между двумя точками, и это та величина, которая сохраняет смысл, когда отрезок стягивается к нулю. В математический анализ переходит только вторая.

Почему при перестановке точек ответ не меняется?

Потому что отношение не меняется, когда числитель и знаменатель одновременно меняют знак, а перестановка концов меняет знак у обоих сразу. Две колонки изменения при этом знак меняют: они записывают направление движения от первой точки ко второй. Итого скорость отвечает на вопрос «как быстро», а колонки изменения — «откуда и куда», и оба ответа верны одновременно.

Может ли средняя скорость изменения быть отрицательной?

Да, и это означает, что на данном отрезке выход падал с ростом входа. На отрезке от −3 до −1 функция возведения в квадрат падает с 9 до 1, поэтому её средняя скорость равна −4. Отрицательное значение не признак того, что что-то введено не так, — это направление изменения, и именно поэтому две колонки изменения печатаются рядом с отношением.

Что будет, если два входа равны?

Страница откажется считать. При x₂, равном x₁, знаменатель равен нулю, и усреднять не по чему: у функции просят изменения при неизменном входе. Это вертикальный отрезок, и скорости на единицу x у него нет. Страница сообщает об отказе, а не возвращает бесконечность, которая скоростью не является.

Средняя скорость — это то же, что мгновенная?

Только когда функция — прямая: там скорость постоянна, и обе совпадают. В остальных случаях средняя описывает отрезок целиком, а мгновенная скорость — отдельное значение входа. Именно стягивание отрезка всё плотнее и превращает среднюю скорость в мгновенную, и этот предел и есть производная — шаг, которого страница не делает, потому что работает с двумя значениями, а не с формулой функции.

• Average Rate of Change — the definition over an interval, the secant line reading, and the passage to the instantaneous rate — Wolfram MathWorld (United States)
• Secant Line — the line through the two endpoints, whose slope is the number this page computes — Wolfram MathWorld (United States)
• Derivative — the limit of the average rate of change as the interval shrinks, which is where this quantity is heading — Wolfram MathWorld (United States)