Калькулятор экспоненциального роста

N = N₀ × (1 + r)^t коэффициент роста = 1 + r общее изменение = ((1 + r)^t − 1) × 100 %

N₀

Начальное количество — то, что было до начала роста. Оно должно быть положительным, потому что на него делят процентные столбцы, и при нулевом начальном количестве общее изменение превратилось бы в деление нуля на ноль, а не в большое число. Единицы измерения оно не несёт: одна и та же арифметика покрывает людей, рубли, бактерии и пункты индекса

r

Темп прироста за период, в процентах. Вводится как 5 для пяти процентов, а не как 0,05, и может быть отрицательным: темп −20 процентов означает, что каждый период величина теряет пятую часть себя, и это спад, а не отдельный расчёт. Ниже −100 процентов он не опускается: ровно при −100 величина обращается в нуль, а за этой границей коэффициент за период становится отрицательным и знак переворачивается каждый период — это уже не описание количества

t

Число периодов. Что считать периодом — решаете вы: годы, месяцы, дни, поколения, — важно лишь, чтобы темп был задан за тот же самый период. Оно может быть дробным: половина периода — совершенно обычный ввод, и она умножает на квадратный корень из коэффициента за целый период, а не на половину. Отрицательные значения отклоняются: движение назад, к количеству до начала, — это другой вопрос, и панель на него не отвечает

(1 + r)^t

Полный коэффициент, на который величина умножилась к концу срока. Именно из-за него рост называется экспоненциальным, а не линейным: каждый период умножает всё, что уже есть, поэтому прирост на десятом периоде — не прирост первого периода, а куда больший. Это в точности операция калькулятора степеней: основание — единица плюс темп, показатель — число периодов

1 + r

Коэффициент роста за период, среднее показание. При темпе 5 процентов он равен 1,05, то есть величина каждый период умножается на чуть больше единицы. Он напечатан отдельно, потому что именно к нему тянутся, когда вопрос меняется: коэффициент 1,05 в четвёртой степени, тот же темп, удвоенный до 10 процентов, или другое начальное количество — всё это становится одним умножением, как только он виден

((1 + r)^t − 1) × 100 %

Общее изменение за весь срок, в процентах от начального значения. Темп 5 процентов за десять периодов даёт 62,889 процента, а не 50, потому что свои пять процентов каждый период берёт от величины большей, чем предыдущая. Вычитание единицы и превращает коэффициент в изменение: коэффициент 1,6289 — это изменение на 62,89 процента, а коэффициент меньше единицы даёт отрицательное изменение, и именно так сообщается о спаде

r = −100 %

Нижняя граница и единственный темп, обращающий величину ровно в нуль. Он принимается, потому что это предел убывающей величины: при −100 процентах коэффициент роста равен нулю, и каждый следующий период умножает нуль на нуль. Ниже него коэффициент отрицателен, величина меняет знак каждый период, и модель перестаёт описывать что-либо физическое — поэтому такой ввод отклоняется, а не вычисляется

Берите его всюду, где величина умножается на один и тот же коэффициент снова и снова, а узнать нужно, к чему она придёт или во что обошёлся весь срок: сложный рост на счёте, население, растущее фиксированным темпом, индекс цен, поднимающийся десятилетиями, культура, удваивающаяся за такт, рынок, сжимающийся на устойчивый процент в год. Столбец общего изменения — тот, который стоит цитировать в тексте: рост на 62,9 процента за десять периодов говорит большинству читателей больше, чем итоговая цифра, и это именно то число, которого один темп прироста не даёт. Эта же страница превращает темп в коэффициент — шаг, нужный любой задаче о сложном проценте, прежде чем её вообще можно считать. К калькулятору периода полураспада обращайтесь, когда величина убывает вдвое и темп выражен временем, а не процентом: та страница принимает период полураспада напрямую и сообщает ещё и их количество. К калькулятору степеней — когда основание уже дано числом, а не выведено из темпа: это та же операция, только без процентов перед ней. К калькулятору сложного процента — когда умножение идёт по расписанию и в вопросе есть вклады или частота начисления: это денежные измерения, которых здесь нет.

1. 100 растёт на 5 процентов за 10 периодов

   1. Коэффициент роста: 1 + 0,05 = 1,05
   2. Полный коэффициент: 1,05¹⁰ = 1,628894627…
   3. Конечное количество: 100 × 1,628894627… = 162,889463
   4. Общее изменение: (1,628894627… − 1) × 100 = 62,889463 процента

   Случай по умолчанию — и тот, который объясняет, зачем нужен столбец общего изменения. Десять периодов по пять процентов звучат как пятьдесят процентов, а панель говорит 62,89: лишнее берётся из того, что свои пять процентов каждый период отсчитывает от величины большей, чем предыдущая. Читатель, который приводит одну итоговую цифру, сообщает аудитории баланс, но не рассказ; процент — это та часть, которую пересказывают.

2. 100 убывает на 20 процентов за 3 периода

   1. Коэффициент роста: 1 + (−0,20) = 0,8
   2. Полный коэффициент: 0,8³ = 0,512
   3. Конечное количество: 100 × 0,512 = 51,2
   4. Общее изменение: (0,512 − 1) × 100 = −48,8 процента

   Та же страница считает спад — в этом и смысл отрицательного темпа вместо второго инструмента. Три периода по двадцать процентов — это потеря 48,8 процента, а не 60, и по той же причине, по которой случай роста перебирает: свою пятую часть каждый период берёт от того, что осталось. Коэффициент роста меньше единицы — ещё и самый ясный признак того, что правило знаков работает.

3. 100 удваивается каждый период, 5 периодов

   1. Темп 100 процентов означает, что величина прирастает на столько же, сколько составляет сама, поэтому коэффициент равен 2
   2. Полный коэффициент: 2⁵ = 32
   3. Конечное количество: 100 × 32 = 3 200
   4. Общее изменение: (32 − 1) × 100 = 3 100 процентов

   Удвоение — случай, в котором арифметика достаточно проста, чтобы проверить её в уме, а процентный столбец — нет. Величина умножилась на 32, и страница сообщает об этом как о росте на 3 100 процентов: число, которое рядом с выражением в 32 раза больше звучит абсурдно, будучи ровно тем же утверждением. Это самая наглядная иллюстрация того, зачем последний столбец вычитает единицу, прежде чем называться изменением.

4. 100 растёт на 5 процентов за половину периода

   1. Коэффициент роста по-прежнему 1,05: он определён за период
   2. Полный коэффициент: 1,05^0,5 = 1,024695076…, то есть квадратный корень из 1,05
   3. Конечное количество: 100 × 1,024695076… = 102,469508
   4. Общее изменение: 2,469508 процента

   Дробный период — случай, который яснее всего разводит два показания. Коэффициент роста остаётся 1,05, потому что он задан за период и половина периода его не меняет; полный коэффициент — его квадратный корень, поэтому половина периода пятипроцентного роста даёт 2,47 процента, а не 2,5. Взять половину темпа было бы ошибкой, и это та строка, которая её показывает.

5. 2,5 растёт на 12 процентов за 4 периода

   1. Коэффициент роста: 1 + 0,12 = 1,12
   2. Полный коэффициент: 1,12⁴ = 1,57351936
   3. Конечное количество: 2,5 × 1,57351936 = 3,933798
   4. Общее изменение: 57,351936 процента

   Начальное количество, не являющееся круглым числом, ничего не меняет: коэффициентные столбцы полностью независимы от того, с чего величина стартовала, и 2,5 вырастает ровно на те же 57,35 процента, что и 250. Два столбца, отвечающие на вопрос, на сколько именно, и нужно читать при сравнении двух сценариев: только они не двигаются, когда двигается начальное количество.

Темп и число периодов должны быть заданы на одном и том же основании, и проверить это страница не может: пять процентов в год за десять месяцев дадут неверный ответ, выглядящий совершенно обыкновенно. Период — это то, что вы сами назначили: год, месяц, день, поколение, — и страница об этом не спрашивает. Рост смоделирован как умножение на один и тот же коэффициент каждый период; в этом и состоит сложный рост, и это неверно не для всего, что растёт: население, упёршееся в предел, насыщающийся рынок или темп, который сам меняется, в эту модель не укладываются. Ниже −100 процентов темп не опускается: там величина обращается в нуль, а за этой границей знак переворачивается каждый период; верхняя граница в 1000 процентов и предел в 1000 периодов существуют для того, чтобы переполнение было редким, а не для того, чтобы выразить математический предел. Начальное количество должно быть положительным, поэтому величина, переходящая из отрицательной области в положительную, здесь не представима. Начисление происходит раз за период, а не непрерывно: пять процентов в год, начисляемые дважды в год по 2,5 процента, дают другой результат, и этот расчёт принадлежит странице сложного процента, где есть частота начисления. Никакие вклады, снятия и взносы здесь не моделируются: величину оставляют расти в покое. И наконец, результаты округляются до шести знаков после запятой, что важно для процентного столбца, когда числа становятся большими.

Почему общее изменение больше, чем темп, умноженный на число периодов?

Потому что свой процент каждый период берётся от величины большей, чем в предыдущем периоде. Десять периодов по пять процентов — это не пятьдесят процентов, а 62,89, так как пять процентов второго периода начисляются на величину, которая уже выросла. В этом начислении на начисленное и состоит вся разница между экспоненциальным и линейным ростом, и видно её именно в столбце общего изменения: по одному конечному количеству этого не заметить.

Можно ли ввести отрицательный темп прироста?

Да, отрицательный темп — это спад, и считает его та же страница. Темп −20 процентов означает, что каждый период величина теряет пятую часть себя, поэтому 100 через три периода превращается в 51,2. Ниже −100 процентов темп не опускается: ровно при −100 величина обращается в нуль и там остаётся, а за этой границей коэффициент за период становится отрицательным и величина меняет знак каждый период, что уже не описывает количество.

Что считается периодом?

То, что назначите вы, — важно лишь, чтобы темп был задан на том же основании. Пять процентов в год при числе периодов десять означают десять лет; тот же темп в месяц при том же числе означает десять месяцев, и это ответы на разные вопросы. Проверить согласованность страница не может, поэтому темп за год при числе периодов в месяцах даст неверный ответ, который выглядит совершенно нормально.

Чем коэффициент роста отличается от общего изменения?

Коэффициент роста показывает, на что умножает один период; общее изменение — во что сложился весь срок. Темп 5 процентов даёт коэффициент роста 1,05 — величину за период, одинаковую и для одного периода, и для сотни, — а десять периодов дают общее изменение 62,89 процента, то есть тот же коэффициент, возведённый в степень. Когда вопрос звучит как во сколько раз быстрее, сравнивать нужно коэффициенты роста.

Может ли число периодов быть дробным?

Да, и половина периода — частый ввод. Половина периода при темпе пять процентов — это не 2,5 процента, а квадратный корень из 1,05, то есть 2,47 процента. Именно поэтому дробные периоды осмысленны, а не являются округлением для удобства: величина растёт через период плавно, а не одним скачком в конце, и извлечение корня — способ это непрерывное движение выразить.

Чем это отличается от калькулятора сложного процента?

Формула та же, предмет другой. Здесь есть темп и число периодов, и работать можно с любой величиной; калькулятор сложного процента добавляет то, что есть у денег и чего нет у населения: частоту начисления, регулярные взносы и основной долг, который можно гасить. Если в вопросе есть платежи в счёт баланса или проценты, начисляемые ежемесячно, а не раз в год, эти дополнительные измерения есть на той странице, а здесь их нет.

• Exponential Growth — the law this page evaluates, with the growth rate and the number of periods as its two parameters — Wolfram MathWorld (United States)
• Compound Interest — the same formula applied to money, including the compounding-frequency distinction that separates that calculation from this one — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Decay — the negative-rate half of the same law, where the factor per period is below one and the quantity approaches zero — Wolfram MathWorld (United States)