Калькулятор степеней

bⁿ = b × b × … × b (n множителей) b⁻ⁿ = 1 ÷ (b × b × … × b)

b

Основание — число, которое умножается само на себя. Это обычное число без единиц измерения, и оно может быть отрицательным, дробным или нулевым, — у каждого случая своё правило дальше. Отрицательное основание допустимо только с целым показателем, потому что чётный корень из отрицательного числа не является действительным.

n

Показатель степени, то есть сколько раз основание входит в произведение. На этой странице он настоящее число, а не только целое: дробь означает корень (показатель 0,5 — это квадратный корень, 0,3333 — почти кубический), а минус означает величину, обратную положительной степени.

bⁿ

Сама степень, главное показание. Она уходит в научную форму, как только выходит из диапазона от 0,001 до миллиона, поэтому 2 в степени 64 показывается мантиссой и показателем десяти, а не двадцатизначным целым. Ничего здесь не ограничено сверху — потолок только тот, который выдерживает число двойной точности.

b × b × … × b

Развёрнутая запись — то же выражение, выписанное повторным умножением. Произведения длиннее шести множителей сокращаются многоточием; более короткие выписываются полностью, поэтому 3 в степени 4 показывает четыре множителя, а 2 в степени 10 — не десять.

b⁻ⁿ = 1 ÷ (b × b × … × b)

Что делает отрицательный показатель: он берёт величину, обратную положительной степени, то есть единицу, делённую на произведение. 2 в степени −3 — это 1 ÷ 8, а не −8. Это самое частое неверное чтение записи, и именно ради него стоит печатать развёрнутую форму: обратная величина видна в ней и больше нигде на странице.

b⁰ = 1

Любое ненулевое основание в нулевой степени равно 1, и развёрнутая запись говорит это, печатая просто 1, а не пустое произведение. Так требует правило шага вниз: каждое деление на основание должно продолжать работать, пока показатель уменьшается на единицу, а b ÷ b равно 1, — поэтому 7 в степени 0 равно 1 не по условности, выбранной страницей. Ноль в степени ноль — единственный случай, который этим правилом не решается, и его страница отклоняет.

0,5 в показателе

Дробный показатель — это корень: возвести число в степень 0,5 значит извлечь квадратный корень, в степень одна треть — кубический. Именно поэтому страница отклоняет отрицательное основание с дробным показателем: кубический корень из отрицательного числа вполне действителен, но вычисление через степень таковым не является, а различает эти случаи калькулятор корней.

Берите её всякий раз, когда число умножается само на себя заданное число раз и нужен именно ответ: сложный рост, записанный одним множителем вместо цепочки умножений, удвоение, повторённое заданное число раз, масштабный коэффициент, применённый снова и снова, вероятность одного и того же события подряд, размер единицы хранения как степень двойки. Это же и та страница, где разбираются две записи, которые чаще всего путают, — произведение, выписанное целиком, и степень, записанная коротко, — потому что здесь печатаются обе сразу: развёрнутая запись — это определение, а степень — значение, и именно рядом друг с другом они делают отрицательный показатель читаемым. Обращайтесь к калькулятору корней, когда неизвестен показатель и ищется корень: у отрицательных и дробных случаев там свои правила. Обращайтесь к калькулятору экспоненциального роста, когда основание задано ставкой и выводится из неё, — так устроен любой вопрос о процентах и о населении. А когда известна степень и нужен показатель, идите к калькулятору логарифмов: это то же соотношение, прочитанное в обратную сторону.

1. 2 в степени 10

   1. Основание равно 2, показатель равен 10, значит перемножаются десять множителей по 2
   2. Попарно: 2 × 2 = 4, затем 4 × 4 = 16 и 16 × 16 = 256 — это восемь множителей
   3. Остаются два множителя: 256 × 2 × 2 = 1024
   4. Множителей больше шести, поэтому развёрнутая запись сокращается до 2 × 2 × … × 2

   Строка, на которой заканчивается справочная таблица, и единственное число из этой подборки, которое стоит знать наизусть: именно из-за него в килобайте 1024 байта. Сокращение во второй записи — не нехватка места: десять множителей с многоточием несут ровно ту же информацию, что десять множителей, выписанных подряд, а количество уже стоит в показателе, который вы ввели.

2. 2 в степени −3

   1. Показатель отрицательный, поэтому ответ — это величина, обратная положительной степени
   2. Сначала положительная степень: 2 × 2 × 2 = 8
   3. Величина, обратная 8, — это 1 ÷ 8 = 0,125
   4. Развёрнутая запись показывает само деление, поэтому оно видно: 1 ÷ (2 × 2 × 2)

   Случай, ради которого развёрнутая запись вообще нужна. Читатель, который принимает минус за знак ответа, ждёт −8, а получает 0,125; запись 1 ÷ (2 × 2 × 2) делает обратную величину очевидной, а не тем, что нужно помнить. Она же говорит, что ответ обязан быть меньше единицы: разделив единицу на число больше единицы, получить что-то другое невозможно.

3. 1,05 в степени 4

   1. Перемножаются четыре множителя по 1,05 — это четыре года роста на 5 %
   2. Два множителя: 1,05 × 1,05 = 1,1025
   3. Четыре множителя: 1,1025 × 1,1025 = 1,21550625
   4. Степень печатается с шестью знаками после запятой, поэтому читается как 1,215506

   Форма, в которой эта страница чаще всего нужна за пределами класса: десятичное основание чуть больше единицы и показатель, считающий периоды. Четыре множителя дают 1,2155 — то же самое, что сказать, что величина выросла на 21,55 % за четыре периода. Саму ставку выводит из основания калькулятор экспоненциального роста — он и печатает процент напрямую, вместо того чтобы оставлять вычитание единицы вам.

4. 7 в степени 0

   1. Нулевой показатель означает, что произведение пустое — ни один множитель 7 не перемножается
   2. Пустое произведение равно 1, а 1 — это нейтральный элемент умножения: умножение на него ничего не меняет
   3. Правило шага вниз соглашается: 7¹ ÷ 7 = 1, а 7⁰ ÷ 7 = 7⁻¹, значит 7⁰ обязано быть равно 1, иначе закономерность порвётся
   4. Развёрнутая запись печатает просто 1, а не пустое умножение

   Запись, от которой чаще всего ждут нуля — и чаще всего его же и называют. Ничего не перемножается, поэтому и получиться из этого ничего не может, — но именно 1 оставляет соседние степени верными, и потому определение здесь дано через пустое произведение, а не через обращение к интуиции. По той же причине справочная таблица открывается строкой 2⁰ = 1.

5. −2 в степени 3

   1. Основание отрицательное, а показатель — целое число; это сочетание разрешено
   2. −2 × −2 = 4, потому что произведение двух отрицательных чисел положительно
   3. 4 × −2 = −8
   4. Отрицательных множителей нечётное число, поэтому знак ответа отрицательный

   Отрицательное основание не отклоняется — отклоняется только отрицательное основание с дробным показателем, потому что там ответ перестаёт быть действительным числом. Знак результата следует за чётностью показателя, и развёрнутая запись делает это считаемым: три множителя −2 образуют одну пару и оставляют один отрицательный множитель. Поменяйте показатель на 4 — и ответ станет +16.

Эта страница только возводит число в степень и ничего больше. Она не складывает степени, не перемножает их и не объединяет две — правила действий со степенями сформулированы в блоке формулы и применяются вручную, и это сделано намеренно, ведь второй основы, к которой их можно было бы применить, у страницы нет. Логарифмы она не берёт: если известны степень и основание, а ищется показатель, это обратная задача и ею занимается калькулятор логарифмов. Отрицательное основание принимается только с целым показателем, и отказ здесь не про невозможность вычисления — кубический корень из −8 действительно равен −2, — а про выбор страницы: арифметика, которая дала бы этот ответ, работает с корнем, а не со степенью, а правило про это живёт в калькуляторе корней. Результат считается в двойной точности и точен ровно настолько, насколько точен он: целые числа хранятся без потерь до 2⁵³, а дальше соседние целые становятся неотличимы друг от друга. Показатель ограничен ±64, а основание — миллионом; это границы показа, а не математики: настоящий потолок там, где результат перестаёт быть представимым числом, и достижение этой точки вызывает ошибку, а не печать бесконечности. Развёрнутая запись сокращается, когда множителей больше шести: шесть выписываются полностью, семь и больше — с многоточием, так что это чтение умножения, а не его полная запись.

Что означает отрицательный показатель?

Величину, обратную положительной степени, а не отрицательное число. 2 в степени −3 — это 1 ÷ (2 × 2 × 2), то есть 0,125: ответ меньше единицы, а не ниже нуля. Развёрнутая запись на этой странице печатает само деление, а не только результат, потому что минус в этой записи читают задом наперёд чаще всего.

Почему любое число в нулевой степени равно 1?

Потому что нулевой показатель означает пустое произведение, а пустое произведение — это нейтральный элемент умножения, то есть 1. Правило шага вниз говорит то же самое: каждый раз, когда показатель уменьшается на единицу, значение делится на основание, и шаг вниз от 7¹ = 7 даёт 7 ÷ 7 = 1. Нулём оно не бывает никогда: ничего не перемножалось, значит и получиться из этого ничего не может.

Чему равно 0 в степени 0?

У этого выражения нет определённого значения, и страница говорит об этом, а не печатает какое-то число. Здесь сталкиваются два правила: любое ненулевое основание в нулевой степени даёт 1, а ноль в любой положительной степени даёт 0. JavaScript возвращает для такого выражения 1, но это решение языка, принятое ради согласованности его собственных операций, а не математический результат, — поэтому страница отказывается его считать, вместо того чтобы молча согласиться.

Можно ли возводить в дробную степень, например в 0,5?

Да, если основание положительное: показатель 0,5 — это квадратный корень, поэтому 2 в степени 0,5 равно 1,414214. Отрицательное основание с дробным показателем отклоняется, потому что такой ответ не является действительным числом: за дробной степенью стоит логарифм, а логарифма отрицательного числа в действительных числах не существует. Нечётные корни из отрицательных чисел действительны, и различает эти случаи калькулятор корней.

Почему развёрнутая запись обрывается на шести множителях?

Потому что дальше многоточие несёт ровно столько же информации, сколько полное произведение. 2 в степени 64, выписанное целиком, — это больше сотни знаков одного и того же множителя, а количество уже стоит в показателе, который вы ввели, так что сокращение до 2 × 2 × … × 2 ничего не теряет. До шести множителей умножение выписывается полностью — поэтому 3 в степени 4 показывает все четыре.

Когда ответ переходит в научную форму?

Научная запись включается, когда число выходит из диапазона от 0,001 до миллиона. Внутри этого окна число печатается обычной десятичной дробью, потому что 9 375 читается с одного взгляда, а 9,375 × 10³ пришлось бы сначала переводить. За пределами окна показываются и мантисса, и показатель десяти, поэтому 2 в степени 64 читается как 1,844674 × 10¹⁹, а не как двадцатизначное целое без видимого порядка величины.

• Power — the definition of a power as repeated multiplication, together with the rules for negative and fractional exponents — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — the operation itself, including the reciprocal rule for negative exponents and the treatment of the indeterminate case 0⁰ — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — the arithmetic of powers across number systems, and the reason a negative base with a non-integer exponent has no real value — Wikipedia