Калькулятор корней

ⁿ√x ⁿ√(mⁿ · r) = m · ⁿ√r ⁿ√x = x^(1/n)

x

Подкоренное выражение — число, из которого извлекают корень. Здесь оно целое и может быть отрицательным при нечётном показателе. Ограничение целыми числами касается точной формы, а не арифметики: квадратный корень из 2,5 — вполне обычное число, но его точная форма представляет собой дробь с корнем, а это другая форма ответа, чем та, которую печатает эта колонка

n

Показатель корня, от 2 до 12. Показатель 1 — это тождество, первый корень любого числа равен самому числу, а показатель 0 не определён, поэтому оба отклоняются, а не получают ответ. Верхняя граница 12 выбрана из практических соображений: точная форма ищет наибольшую полную n-ю степень, делящую подкоренное выражение, а такие степени быстро становятся редкими, и за пределами 12 колонка чаще всего содержала бы пустой корень рядом с огромным числом

ⁿ√x

Корень в виде десятичной дроби — основное прочтение, оно печатается с шестью знаками после запятой, когда корень не точен. Именно им и считают, и именно он теряет информацию: 8,485281 не говорит о том, что получен из √72, а не из √71,9999, и соседняя точная форма — то, что об этом говорит

m · ⁿ√r

Точная форма: любая полная n-я степень, делящая подкоренное выражение, выносится из-под корня и записывается множителем перед меньшим корнем. Для √72 это даёт 6√2, потому что 72 = 36 × 2, а 36 — полный квадрат. Когда подкоренное выражение само является полной степенью, лишнего не остаётся, знак корня исчезает совсем, и ответ записывается целым числом — так страница и сообщает, что корень извлёкся нацело

x^(1/n)

Тот же корень, записанный степенью, — именно так он и вычисляется. Эти две записи обозначают одну операцию, и об этом стоит знать: показатель 1/n и есть причина, по которой дробная степень оказывается корнем, а не чем-то незнакомым. Калькулятор степеней принимает такую запись напрямую, и идти к нему стоит тогда, когда подкоренное выражение не целое или показатель не целый

√

Знак корня без написанного показателя всегда означает квадратный корень, поэтому страница печатает обычный √ для показателя 2 и ∛ для показателя 3. После 12 запись исчерпывает одиночные символы, поэтому высшие показатели пишутся цифрами перед знаком, а между множителем и показателем 4 и выше страница ставит знак умножения — 2 × 4√2, — потому что 24√2 читалось бы как двадцать четыре умножить на квадратный корень из двух

К нему обращаются, когда корень нужно упростить, а не просто вычислить, — этим он и отличается от инструмента, дающего только десятичное значение: упростить √72 до 6√2, проверить, является ли число полным квадратом, решить задачу, где ответ ждут в точной форме. Это же страница для двух вопросов, которые вообще возникают вокруг корней: чему равен кубический корень из отрицательного числа (при нечётном показателе — действительному числу) и чему равен корень четвёртой степени из чего-либо. За дробным показателем идите к калькулятору степеней: дробная степень — та же операция, записанная как степень, и та страница принимает её напрямую. Калькулятор квадратного уравнения нужен, когда корень стоит внутри формулы, а не сам по себе: дискриминант — это квадратный корень, и та страница читает не только его значение, но и знак. И наконец, для каждого из двух показателей есть своя страница — калькулятор квадратного корня и калькулятор кубического корня: материал, относящийся именно к этому случаю, собран там.

1. Квадратный корень из 16

   1. Показатель 2, подкоренное выражение 16 — это квадратный корень
   2. 16 = 4 × 4, то есть полный квадрат, и всё извлекается нацело
   3. Корень равен 4, и он точный, а не округлённый
   4. Точная форма — само целое число 4, никакого корня не осталось

   Самый частый повод открыть эту страницу и лучший пример того, как колонка с точной формой сообщает об успехе: ни корня, ни десятичной дроби, только целое. Кому нужно было лишь узнать, полный ли квадрат 16, тот получил ответ во второй колонке, даже не читая первую.

2. Квадратный корень из 72

   1. 72 не полный квадрат, поэтому корень иррационален
   2. Наибольший полный квадрат, делящий 72, — это 36, так как 72 = 36 × 2
   3. Вынесение 36 из-под корня даёт 6 снаружи: √72 = 6√2
   4. Десятичное значение равно 8,485281 с точностью до шести знаков, а 6√2 — точное значение

   Пример, оправдывающий всю страницу. 8,485281 — приближение, и панель говорит об этом, печатая рядом точную форму; страница-конкурент, показывающая только десятичную дробь, оставляет читателя с числом, которое не является квадратным корнем из 72. Оставшаяся под корнем двойка — ещё и самый быстрый способ понять ситуацию: там что-то осталось, значит, нацело ничего не вышло.

3. Кубический корень из 54

   1. Показатель 3, подкоренное выражение 54 — это кубический корень
   2. 54 не полный куб, но 27 делит его: 54 = 27 × 2
   3. Вынесение 27 даёт 3 снаружи: ∛54 = 3∛2
   4. Десятичное значение равно 3,779763

   То же упрощение с другим показателем — и случай, показывающий, что страница одна, а не две. Шаг, который приходится делать вручную, — поиск наибольшего полного куба ниже 54: это 27, а не 8, и таблица на этой странице и есть тот список, по которому такой поиск занимает секунду: три в кубе — 27, четыре в кубе — 64, а 64 уже много.

4. Корень четвёртой степени из 32

   1. 32 = 16 × 2, а 16 — четвёртая степень, так как 16 = 2⁴
   2. Вынесение 16 из-под корня оставляет 2 снаружи: ⁴√32 = 2 × ⁴√2
   3. Знак умножения написан потому, что у показателя 4 нет одиночного символа корня
   4. Десятичное значение равно 2,378414

   Случай, где запись требует аккуратности. Запись 24√2 большинство прочитало бы как двадцать четыре умножить на квадратный корень из двух, поэтому при показателе 4 и выше страница вставляет знак умножения: множитель и показатель — оба числа, и их нужно чем-то разделить. Ни у √, ни у ∛ такой проблемы нет, поэтому знак появляется только начиная с показателя 4.

5. Кубический корень из −54

   1. Подкоренное выражение отрицательно, а показатель нечётен, значит корень — действительное число
   2. Модуль упрощается точно так же, как раньше: ∛54 = 3∛2
   3. Знак выносится наружу, и точная форма печатает его в самом начале: −3∛2
   4. Десятичное значение равно −3,779763

   Отрицательный случай, и единственное место, где у точной формы своё правило: минус ставится в начало всего выражения, а не внутрь корня. Это ещё и тот случай, на который ссылается калькулятор степеней: он отказывается возводить отрицательное основание в дробную степень, потому что арифметика там идёт через логарифм, а эта страница решает тот же вопрос извлечением корня.

Подкоренное выражение должно быть целым числом. Квадратный корень из 2,5 — действительное число, и эта страница его не примет: точная форма такого корня представляет собой дробь с корнем в числителе, а для такой формы в колонке точной формы нет места, и печатать только десятичную дробь означало бы скрыть, что точный ответ был отброшен. Любое дробное или десятичное подкоренное выражение — это дело калькулятора степеней, где его вводят как дробную степень. Отрицательные подкоренные выражения принимаются только при нечётных показателях: кубический корень из −8 равен −2, а квадратный корень из −4 не является действительным числом, и страница отклоняет его, а не печатает комплексное значение. Показатель корня — целое число от 2 до 12; показатель 1 — тождество, показатель 0 не определён, поэтому ни тот, ни другой не принимаются, а дробные показатели идут в калькулятор степеней как дробные степени. Корни, которые не извлекаются нацело, печатаются с шестью знаками после запятой — это предел отображения, а не точности: арифметика за ними идёт с полной точностью двойного числа. Точная форма упрощается настолько, насколько это возможно вынесением полных степеней, — это стандартный вид упрощённого корня, — и знаменатель здесь никуда не переносится: корень, оказавшийся под дробью, читатель разбирает сам. Подкоренное выражение ограничено миллиардом, то есть 1 000 000 000, и это ограничение связано со стоимостью вычисления, а не с математикой: упрощение работает перебором делителей, и при большем подкоренном выражении страница стала бы медленно откликаться на ввод, а не ошибаться.

Чем точная форма отличается от десятичной дроби?

Десятичная дробь — округлённое значение, а точная форма — само значение. Квадратный корень из 72 равен ровно 6√2; 8,485281 — это то же самое с шестью знаками, поэтому 8,485281, умноженное на себя, даёт 71,99999…, а не 72. Страница печатает и то и другое, потому что порознь каждое обманывает: десятичной дробью считают, а точная форма говорит, извлёкся ли корень нацело.

Как упростить квадратный корень?

Найдите наибольший полный квадрат, делящий число, вынесите из него корень вперёд, а остаток оставьте под корнем. Для 72 это 36, потому что 72 = 36 × 2, значит √72 = 6√2. Если ни один полный квадрат число не делит — так обстоит дело с 2, 3, 5, 7 и любым другим числом без повторяющегося простого множителя, — упростить нечего, и точная форма так и выглядит: √2.

Можно ли извлечь квадратный корень из отрицательного числа?

На этой странице — нет, и как действительного числа — нигде. Квадратный корень из −4 равен 2i, это комплексное число, а страница работает с действительными. С нечётными показателями дело иное: кубический корень из −8 равен −2, вполне обычному действительному числу, потому что произведение трёх отрицательных чисел отрицательно. Поэтому −8 с показателем 3 страница принимает, а −4 с показателем 2 отклоняет.

Почему нельзя ввести десятичную дробь как подкоренное выражение?

Потому что точной форме её некуда поместить. Квадратный корень из 2,5 равен √10 ÷ 2 — дробь с корнем в числителе, — а колонка точной формы печатает множитель перед корнем, а не дробь. Вместо того чтобы напечатать десятичную дробь и молча потерять точный ответ, страница ограничивает подкоренное выражение целыми числами и говорит об этом. Десятичное подкоренное выражение можно ввести как дробную степень в калькуляторе степеней.

Что означает показатель у знака корня?

Он говорит, сколько раз корень нужно умножить на себя, чтобы получить подкоренное выражение: показатель 3 означает кубический корень, поэтому ∛8 = 2, ведь 2 × 2 × 2 = 8. Отсутствие показателя означает 2 — поэтому страница печатает обычный √ для квадратных корней и ∛ для кубических. Показатель 1 вернул бы число без изменений, а показатель 0 не имеет смысла, поэтому страница начинает с 2.

Кубический корень — это то же самое, что возведение в степень одной трети?

Да, именно так страница и считает. Корень n-й степени из x — это x в степени 1/n, поэтому кубический корень из 54 — это 54 в степени 0,3333…, что даёт 3,779763. Две записи описывают одну операцию. Расходятся они на отрицательных основаниях: запись степенью идёт через логарифм и отказала бы для −54, тогда как извлечение нечётного корня из него трудностей не составляет, поэтому калькулятор степеней и отправляет такие случаи сюда.

• nth Root — the definition of an nth root, including the rule that an even root of a negative number has no real value and an odd one does — Wolfram MathWorld (United States)
• Square Root — the index-2 case, with the simplification of radicals and the table of perfect squares this page's reference table extends — Wolfram MathWorld (United States)
• Cube Root — the index-3 case, and the reason a negative radicand has a real cube root where it has no real square root — Wolfram MathWorld (United States)