Калькулятор квадратного корня

√x = √(m² · r) = m · √r √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d

x

Подкоренное выражение, число под знаком радикала. Отрицательным оно быть не может: у отрицательного подкоренного выражения нет действительного квадратного корня, а возведение в квадрат любого действительного числа даёт неотрицательный результат, поэтому страница его отклоняет и указывает на корни нечётной степени в калькуляторе корней. Ноль допустим — квадратный корень из нуля равен нулю.

m²

Наибольший полный квадрат, который делит подкоренное выражение: 4, 9, 16, 25, 36 и так далее. Его поиск и есть всё упрощение, а страница ищет сверху вниз, чтобы первый найденный множитель оказался наибольшим. Для 72 это 36, и под радикалом остаётся 2.

m

Квадратный корень из этого полного квадрата, который и выходит вперёд знака радикала: 6 в случае 72. Когда коэффициент — другое целое число, он печатается как есть, и точная форма читается 6√2. Когда он равен 1, коэффициент опускается, а не печатается, потому что 1√2 — не та запись, которой записывают число.

r

То, что осталось под радикалом после выноса всех квадратных множителей. Оно свободно от квадратов, то есть никакой полный квадрат его не делит, и именно это делает форму окончательной. Если не осталось ничего — если подкоренное выражение с самого начала было полным квадратом, — знак радикала исчезает совсем, и точная форма становится просто числом, как у квадратного корня из 144.

√x

Десятичное значение, сообщаемое до шести знаков. Это то же число, что и вычисленная точная форма, — 6√2 это 8,485281, — и оно печатается рядом с ней, а не вместо неё, потому что эти двое отвечают на разные вопросы. Десятичная дробь — то, чем читатель измеряет; точная форма — то, чем читатель доказывает.

1. Упрощаем квадратный корень из 72

   1. Ищем наибольший полный квадрат, который делит 72
   2. 36 делит его: 72 ÷ 36 = 2, значит 72 = 36 × 2
   3. Квадратный корень из 36 равен 6, и он выходит вперёд: √72 = 6√2
   4. Вычисление точной формы даёт 8,485281

   Тот случай, ради которого стоит держать два столбца. Как десятичная дробь √72 — это 8,485281, и сказать о ней больше нечего; как точная форма это 6√2, и сразу видно, что возведение в квадрат даёт обратно ровно 72. Проверка в одну строку: 6√2 в квадрате — это 36 × 2, то есть 72.

2. Подкоренное выражение с одним знаком после запятой

   1. Десятичная дробь под корнем сначала превращается обратно в обыкновенную: 1,5 = 3/2
   2. Разложим корень на числитель и знаменатель по правилу √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d
   3. Выходит √(3 × 2) ÷ 2 = √6 ÷ 2
   4. Десятичное значение — 1,224745

   В точной форме знак деления стоит намеренно вместо косой черты. Записанная как √6/2, строка двусмысленна — её с равным успехом можно прочитать и как квадратный корень из шести, делённый на два, и как квадратный корень из шести половин, а это разные числа: второе равно √3. Страница печатает √6 ÷ 2, и чтение остаётся одно. Это тот случай, который калькулятор корней намеренно не берёт: ему нужны целые подкоренные выражения.

3. Дробь, которая оказалась полным квадратом

   1. 2,25 как обыкновенная дробь — это 9/4
   2. Обе части — полные квадраты: √9 = 3 и √4 = 2
   3. Под радикалом не осталось ничего, поэтому точная форма — дробь 3/2
   4. Как десятичная дробь это 1,5

   Когда радикал пустеет, точная форма перестаёт быть радикалом вообще — это обыкновенная дробь, и это и есть признак того, что подкоренное выражение было полным квадратом. Точную форму 3/2 стоит предпочесть записи 1,5 в любой дальнейшей арифметике: умножение на 3 и деление на 2 держат всё точным там, где десятичная дробь этого не может.

Подкоренное выражение не может быть отрицательным: квадратного корня из отрицательного числа среди действительных чисел нет, а возведение действительного числа в квадрат отрицательного не даёт. Ноль принимается и даёт ноль. Подкоренное выражение ограничено двумя знаками после запятой, и третий знак отклоняется, а не округляется: упрощение работает через превращение десятичной дроби в обыкновенную и последующий перебор делителей, а каждый лишний знак увеличивает работу в десять раз, поэтому страница называет предел, а не печатает тихо упрощённую форму, которая принадлежит слегка другому числу. Точная форма — это обозначение, а не число: она записывается одинаково во всех языках, потому что знак радикала и знак деления слов не содержат. Десятичное значение, напротив, округлено до шести знаков, и это ограничение показа, а не точности. Показатель у страницы фиксированный и равен двум — она упрощает только квадратные корни. Кубические корни, корни четвёртой степени и любой другой показатель, включая корни нечётной степени из отрицательных чисел, — это калькулятор корней, на который эта страница ссылается.

Что вообще делает упрощение квадратного корня?

Выносит наибольший полный квадрат из-под знака радикала. Квадратный корень из 72 — то же самое число, что и 6√2, ничего не приближено и не округлено, но 6√2 — более опрятная запись, и именно она остаётся точной в дальнейшей арифметике. Упрощение никогда не меняет значение, только написание.

Как понять, что корень упрощён до конца?

Когда под радикалом не осталось ничего, что делил бы полный квадрат. В 6√2 двойка свободна от квадратов: 4 её не делит, 9 не делит, и никакой больший квадрат тоже, поэтому форма окончательна. По этому же признаку останавливается и страница: она ищет наибольший квадратный множитель сверху вниз и прекращает поиск на первом найденном.

Почему в точной форме стоит знак деления?

Потому что косая черта была бы двусмысленной. √6/2 читается и как квадратный корень из шести, делённый на два, и как квадратный корень из шести половин, а это разные числа: второе равно √3. Запись √6 ÷ 2 оставляет одно чтение. По той же причине коэффициент опускается, когда он равен 1: обозначение выбирается так, чтобы его нельзя было прочитать неверно, а не так, чтобы оно было короче.

Можно ли ввести дробное подкоренное выражение?

Да, до двух знаков после запятой. Страница превращает десятичную дробь обратно в обыкновенную, а затем берёт корень из числителя и знаменателя по отдельности по правилу √(n ÷ d) = √(n · d) ÷ d. Квадратный корень из 1,5 — это √6 ÷ 2, а квадратный корень из 2,25 — ровно 3/2. Третий знак после запятой отклоняется, потому что каждый лишний знак увеличивает перебор делителей в десять раз.

Почему квадратный корень из дроби иногда выходит обыкновенной дробью?

Когда подкоренное выражение само является полным квадратом дроби, под радикалом не остаётся ничего, и точная форма сворачивается в обыкновенную дробь — квадратный корень из 2,25 равен 3/2. Это то же правило, что и у целого подкоренного выражения, которое является полным квадратом: там точная форма сворачивается в целое число, потому что если радикал опустел, то писать его вокруг уже нечего.

Почему отрицательное подкоренное выражение здесь отклоняется?

Нет такого действительного числа, квадрат которого был бы отрицательным, поэтому квадратного корня из отрицательного подкоренного выражения среди действительных чисел не существует. У каждого корня на этой странице показатель фиксирован и равен двум, так что нечётной половины, где отрицательные были бы разрешены, здесь нет. Кубические корни из отрицательных чисел берёт калькулятор корней — нечётная степень отрицательного числа остаётся отрицательной, — и эта страница указывает туда.

• Square Root — the definition, the principal root, and the rule for pulling square factors out of a radicand — Wolfram MathWorld (United States)
• Radical — the radical sign, the radicand, and the convention that the principal square root is the non-negative one — Wolfram MathWorld (United States)
• Square Number — the perfect squares the simplification searches for, from 4 up to whatever the radicand allows — Wolfram MathWorld (United States)