Калькулятор квадратного уравнения

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a Δ = b² − 4ac x₁ + x₂ = −b ÷ a x₁ · x₂ = c ÷ a

a

Коэффициент при x². Он не может быть нулём: при a, равном нулю, уравнение превращается в замаскированную прямую, у него один корень вместо двух, а формулы суммы и произведения делят на a. Страница отклоняет такое значение и говорит, какого коэффициента не хватает, вместо того чтобы ответить на другой вопрос

b

Коэффициент при x. Его знак читает знак плюс-минус в формуле, и с ним же связан риск взаимного уничтожения разрядов: когда b велико, а корни далеко друг от друга, вычитание одного квадратного корня из другого отбрасывает цифры. Страница избегает этого вычитания, а не надеется, что оно не скажется

c

Свободный член. Это произведение двух корней, умноженное на a, — самая быстрая проверка без калькулятора: если ожидаемые корни не дают в произведении c ÷ a, ошибка где-то раньше. Когда c равно нулю, один корень равен нулю, а другой равен −b ÷ a, и это получается из формулы без отдельного случая

Δ = b² − 4ac

Дискриминант — единственное число, которое решает, какую форму примет ответ. Положительный означает два различных действительных корня, нулевой — один кратный действительный корень, отрицательный — что корни комплексные и приходят сопряжённой парой. Страница использует его дважды: один раз чтобы выбрать, какие корни считать, другой — чтобы выбрать значок над результатом, и оба прочтения берутся из одного и того же значения, поэтому разойтись не могут

x = (−b ± √Δ) ÷ 2a

Собственно формула корней. Знак плюс-минус даёт оба корня из одного выражения, а квадратный корень — единственный шаг, который может не получиться в действительных числах: у отрицательного Δ нет действительного квадратного корня, и это ровно тот случай, на который страница всё равно отвечает, в комплексных числах. Деление на 2a — причина, по которой a не может быть нулём

x₁ + x₂ = −b ÷ a

Сумма корней, одна из формул Виета. Её стоит печатать потому, что она без изменений переживает комплексный случай: корни уравнения x² − 2x + 5 равны 1 + 2i и 1 - 2i, и в сумме они по-прежнему дают 2. Тот, кто подозревает, что при отрицательном дискриминанте страница выдумывает ответы, может посмотреть на этот столбец и убедиться, что он согласуется с введённым уравнением

x₁ · x₂ = c ÷ a

Произведение корней, вторая из формул Виета, и проверка, которая ловит ошибку знака в свободном члене. Для приведённого уравнения это просто c: x² − 3x + 2 раскладывается как (x − 1)(x − 2), поэтому корни дают в произведении 2, а в сумме 3. Как и сумма, произведение не меняется, когда корни комплексные

b² − 4ac = 0

Граничный случай, в котором два корня сливаются в один и страница печатает в обеих строках одно и то же значение. Это не редкий край: именно это условие делает трёхчлен полным квадратом, поэтому он встречается в каждом упражнении на разложение. Значок над результатом меняется и сообщает об этом — единственное место на странице, где число корней названо словами

Обращайтесь к этой странице для любого уравнения с членом x², корни которого нужно найти; на практике это три ситуации: упражнение, в котором разложение на множители неочевидно, физическая модель, коэффициенты которой взяты из измерений и потому не дают разложения, и случай, когда заранее известно, что ответ комплексный, а подход «только действительные корни» не оставит ничего. Это ещё и инструмент для проверки уже выполненного разложения: сумма и произведение корней печатаются, поэтому (x − 1)(x − 2) подтверждается без обратного раскрытия скобок. Переходите к калькулятору углового коэффициента, когда a окажется равным нулю: это прямая, и отвечает на неё страница, которая работает с ax + by = c. Переходите к калькулятору корней, когда нужная операция — извлечение квадратного корня: дискриминант под знаком корня ничем не отличается от любого другого квадратного корня, а правила для более высоких степеней изложены там. Переходите к калькулятору степеней, когда x² вычисляют, а не решают относительно него, — в этом и разница между вычислением значения квадратичной функции и поиском её нулей.

1. x² − 3x + 2 = 0

   1. Дискриминант: Δ = (−3)² − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1
   2. Δ положителен, значит оба корня действительные и различные
   3. √Δ = 1, поэтому корни равны (3 + 1) ÷ 2 = 2 и (3 − 1) ÷ 2 = 1
   4. По убыванию 2 попадает в первую строку, и проверки сходятся: 2 + 1 = 3 и 2 × 1 = 2

   Уравнение, с которым приходит большинство читателей, и то самое, что чисто раскладывается на (x − 1)(x − 2), — поэтому каждое число на панели можно подтвердить обратным раскрытием скобок. Это ещё и случай, где ответ выглядит слишком простым для калькулятора, и в этом весь смысл: панель показывает ход решения на задаче, ответ которой уже известен, а те же пять строк возвращаются на задаче, где он неизвестен.

2. x² − x − 1 = 0

   1. Дискриминант: Δ = (−1)² − 4 × 1 × (−1) = 1 + 4 = 5
   2. Δ положителен, но не является полным квадратом, значит корни иррациональные
   3. √5 = 2,2360679…, поэтому корни равны (1 + 2,2360679…) ÷ 2 и (1 − 2,2360679…) ÷ 2
   4. Напечатаны с шестью знаками после запятой: 1,618034 и −0,618034

   Золотое сечение и случай, который показывает, почему страница печатает дробью только точные значения. Дроби, равной (1 + √5) ÷ 2, не существует, поэтому ответ записывается десятичным числом — и читатель, увидев 1,618034, понимает, что значение округлено, тогда как то же число, записанное дробью, выглядело бы точным. Корни к тому же дают в произведении ровно −1, а такие совпадения подтверждают арифметику, а не ввод.

3. 2x² + 3x − 2 = 0

   1. Дискриминант: Δ = 3² − 4 × 2 × (−2) = 9 + 16 = 25
   2. √Δ = 5, поэтому корни равны (−3 + 5) ÷ 4 = 1/2 и (−3 − 5) ÷ 4 = −2
   3. Первый корень точно выражается дробью, поэтому печатается 1/2, а не 0,5
   4. Проверки: 1/2 + (−2) = −1,5 и 1/2 × (−2) = −1

   Случай, который решает, как страница печатает корни. Оба корня представимы точно, причём меньший — целое число, а больший — дробь, поэтому читатель, решивший, что корни всегда печатаются десятичными дробями, ошибётся в первой строке и окажется прав во второй. Читаемой дробь делают как раз сумма и произведение: −1,5 не выглядит суммой 1/2 и −2, пока её не вычислишь, а на это уходит одна строка.

4. x² − 2x + 5 = 0

   1. Дискриминант: Δ = (−2)² − 4 × 1 × 5 = 4 − 20 = −16
   2. Δ отрицателен, значит корни комплексные и образуют сопряжённую пару
   3. Действительная часть равна −b ÷ 2a = 1, а мнимая равна √16 ÷ 2 = 2
   4. Печатаются оба корня, и формулы Виета по-прежнему выполняются: в сумме они дают 2, а в произведении 5

   Здесь эта страница расходится с теми, что печатают «действительных корней нет» и на этом останавливаются. Оба корня — совершенно определённые числа, и два проверочных столбца это доказывают: 2 и 5 — та сумма и то произведение, которых требует уравнение, и те же значения получились бы, будь корни действительными. Читателю, которому сказали, что решения нет, стоит прочитать последние две строки этого примера, прежде чем в это поверить.

5. x² − 4x + 4 = 0

   1. Дискриминант: Δ = (−4)² − 4 × 1 × 4 = 16 − 16 = 0
   2. Δ равен ровно нулю, значит оба корня совпадают
   3. Кратный корень равен −b ÷ 2a = 4 ÷ 2 = 2
   4. Страница печатает 2 в обеих строках, а сумма равна 4, потому что корень посчитан дважды

   Граница, ради которой существует значок над результатом. Уравнение представляет собой (x − 2)², поэтому обе строки говорят 2 и в этой паре ничто не выглядит ошибкой, — но читатель, считающий строки, заключит, что корней два, тогда как он один. Значок над результатом сообщает об одном кратном действительном корне, а сумма 4 вместо 2 — это арифметика, подтверждающая вердикт.

Эта страница решает квадратные уравнения и на них останавливается. У кубических и четвёртой степени уравнений, а также у уравнений с членом x⁴ свои методы и свои страницы в другом месте; ничто здесь на них не распространяется. Старший коэффициент, равный нулю, отклоняется, а не трактуется молча как линейное уравнение, поэтому bx + c = 0 приходится отправлять на калькулятор углового коэффициента, который работает с такой формой записи. При отрицательном дискриминанте корни печатаются как комплексные числа вида a ± bi, чего достаточно, чтобы их прочитать и проверить, но это не полноценный инструмент действий с комплексными числами: перемножать два таких числа вручную придётся самому. Иррациональные корни печатаются с шестью знаками после запятой, и это ограничение вывода, а не точности: за ними стоит вычисление в полной двойной точности, а округление происходит только на выходе. Порядок двух корней задан соглашением, а не формулой, поэтому страница или учебник, перечисляющие их в обратном порядке, не противоречат этой странице, а просто упорядочивают их иначе. Коэффициенты ограничены миллионом по абсолютной величине, и это диапазон вывода, а не математическое ограничение. Наконец, сумма и произведение корней печатаются с теми же шестью знаками после запятой, что и всё остальное, поэтому точная сумма, равная одной третьей, вернулась бы как 0,333333, а не дробью: столбцы корней получают дробную запись, а эти два — нет.

Что делать, если дискриминант отрицательный?

Прочитать оба корня, которые страница всё равно печатает. Отрицательный дискриминант означает, что решения — сопряжённая пара комплексных чисел, а не два действительных, и они вполне определены: у уравнения x² − 2x + 5 комплексные корни равны 1 + 2i и 1 - 2i. Многие учебники останавливаются на фразе «действительных корней нет», и это правда, но неполная — у уравнения по-прежнему два решения, и столбцы суммы и произведения на этой странице их подтверждают.

Какой из корней считается первым?

Больший из двух. Знак плюс-минус в формуле не упорядочивает корни, поэтому порядок приходится выбирать странице, и она выбирает убывание: корень 1 никогда не меньше корня 2. Это важнее, чем кажется: без фиксированного порядка смена знака b поменяла бы строки местами, и читатель, сравнивающий два расчёта, решил бы, что ответы изменились.

Почему корень иногда печатается дробью, а иногда десятичным числом?

Дроби печатаются тогда, когда они точные, а знаменатель невелик; в остальных случаях печатается десятичное число. У уравнения 2x² + 3x − 2 = 0 корни равны 1/2 и −2, а 1/2 и точна, и коротка, поэтому записывается дробью: запись 0,5 намекала бы на округлённое значение. Золотое сечение равно (1 + √5) ÷ 2, что дробью не является вовсе, поэтому оно записывается как 1,618034, и знак после запятой сам говорит о приближённости.

Что произойдёт, если a равно нулю?

Страница отклонит ввод, а не решит его. При a, равном нулю, уравнение превращается в bx + c = 0 — прямую с единственным корнем −c ÷ b, а формулы суммы и произведения корней обе делят на a и теряют смысл. Уравнения такой формы решает калькулятор углового коэффициента, поэтому в отказе он и назван как место, куда идти.

Зачем нужен дискриминант?

Это единственное число, которое сообщает, в каком из трёх случаев вы находитесь, ещё до всех остальных вычислений: Δ = b² − 4ac. Положительное значение означает два различных действительных корня, нулевое — один кратный действительный корень, отрицательное — сопряжённую пару комплексных корней. Он стоит под знаком квадратного корня в формуле, поэтому его знак и есть в точности вопрос о том, найдётся ли действительный квадратный корень.

Можно ли проверить здесь разложение на множители?

Да, для этого и нужны столбцы суммы и произведения. Если вы считаете, что x² − 3x + 2 раскладывается как (x − 1)(x − 2), то корни должны быть равны 1 и 2, их сумма — 3, а произведение — 2, что панель и печатает. Ошибка знака в свободном члене сразу видна как произведение с неправильным знаком, а это быстрее, чем раскрывать скобки обратно.

• Quadratic Equation — the formula, the discriminant and the three cases it distinguishes, including the complex roots this page prints — Wolfram MathWorld (United States)
• Discriminant — how a single combination of the coefficients determines the number and nature of the roots — Wolfram MathWorld (United States)
• Vieta's Formulas — the relations between the coefficients of a polynomial and the sums and products of its roots, which this page prints as a check — Wolfram MathWorld (United States)