Калькулятор полного квадрата

ax² + bx + c = a(x − h)² + k h = −b ÷ 2a k = c − b² ÷ 4a

a

Старший коэффициент, то есть множитель при x². Он же решает, куда смотрят ветви параболы: при положительном a они идут вверх, при отрицательном — вниз, и это единственное, что a сообщает о форме графика. Ноль здесь не допускается: при a, равном нулю, выражение перестаёт быть квадратным, а выделять полный квадрат становится не из чего, поэтому страница отклоняет такой ввод, а не делит на ноль по дороге к h.

b

Коэффициент при x. Из него берётся половина, и она становится числом внутри скобки, поэтому знак b переносится в скобку с обратным знаком: положительное b даёт (x + b/2), отрицательное — (x − b/2). Это то место, где путаница со знаком обходится дороже всего, потому что неверный знак внутри скобки сдвигает вершину в другую сторону от оси y, а величина при этом остаётся правдоподобной.

c

Свободный член, то есть значение выражения при x, равном нулю. Сам по себе он в скобку не попадает: после её раскрытия появляется добавка b²/4a, и именно её приходится вычитать, чтобы выражение не изменилось. Отсюда и берётся хвост k: он равен c минус эта добавка, и он может выйти отрицательным даже при положительном c — так и бывает чаще всего.

h

Координата x вершины параболы, равная −b ÷ 2a и печатаемая шестью знаками после запятой. У готовой формы она читается прямо из скобки со сменой знака: (x + 3)² означает h, равное −3. Полезно помнить, что h — это ось симметрии параболы, то есть вертикальная прямая, относительно которой её левая и правая ветви совпадают.

k

Координата y вершины, то есть самое низкое или самое высокое значение выражения. При положительном a это минимум, при отрицательном — максимум, и другого способа узнать его из записи нет: раскрывать скобки обратно ради этого не нужно. k = 0 означает, что вершина лежит на оси x, а выражение сводится к одному полному квадрату без хвоста.

1. Полный квадрат для x² + 6x + 5

   1. Половина коэффициента при x: 6 ÷ 2 = 3, поэтому скобка — (x + 3)
   2. Возведём её в квадрат: (x + 3)² = x² + 6x + 9, а это на 4 больше исходного выражения
   3. Вычтем лишнее: (x + 3)² − 4
   4. Вершина в точке (−3, −4), а старший коэффициент положителен, значит, ветви параболы направлены вверх

   Стандартный разобранный пример, и тот, где арифметику можно проверить раскрытием скобок. Скобка выбрана так, что её квадрат в точности воспроизводит первые два члена; всё, на что этот квадрат перебрал, вычитается обратно, и получается то же выражение в другом виде. Из этой формы вершина читается вообще без вычислений — в этом весь смысл переписывания.

2. Форма, которая выходит дробями

   1. Половина от 1 даёт скобку: (x + 1/2)
   2. В квадрате получается x² + x + 1/4, на четверть больше, чем x² + x
   3. Вычтем эту четверть: (x + 1/2)² − 1/4
   4. Вершина в точке (−1/2, −1/4), а два числовых столбца сообщают её как −0,5 и −0,25

   Здесь печать дробями и оправдывает себя. Половина нечётного коэффициента — дробь, и она остаётся дробью на протяжении всего расчёта, поэтому напечатанная форма точна, тогда как 0,5 и 0,25 — лишь два её десятичных написания. Числовые столбцы вынужденно пользуются десятичными, потому что в них числа, а не запись, — и именно поэтому каждый столбец стоит читать ради другого.

3. Точный квадрат: x² + 6x + 9

   1. Половина от 6 даёт скобку: (x + 3)
   2. В квадрате получается x² + 6x + 9, то есть в точности исходное выражение
   3. Вычитать нечего, поэтому хвост в напечатанной форме не появляется
   4. Вершина лежит на оси x, в точке (−3, 0)

   Случай, показывающий, почему хвост опускается, а не печатается как плюс ноль. Когда выражение уже является полным квадратом, вершина касается оси x, и в готовой форме два члена вместо трёх. То, что хвост исчез, само по себе информация: он говорит, что у квадратного трёхчлена кратный корень, — факт, который страница корней выдала бы одним ответом.

Старший коэффициент не может быть нулём. При a, равном нулю, выражение линейно, его график — прямая, и сама мысль о выделении полного квадрата неприменима: страница отклоняет ввод, а не делит на ноль по дороге к h. Все три коэффициента по абсолютной величине не превышают 1 000 000, поскольку координаты вершины растут как квадрат b, и за этим пределом столбец k ушёл бы в сотни миллиардов и перестал быть числом, которым читатель может воспользоваться. Значения в напечатанной форме показываются дробями, когда знаменатель делится нацело и не превышает 1 000, и шестью знаками после запятой во всех остальных случаях; два числовых столбца всегда пользуются десятичными, потому что содержат числа, а не запись. Это страница не решает квадратное уравнение. Она сообщает выражение в форме вершины и координаты вершины, а корни — точки, где парабола пересекает ось x, — считаются на странице квадратного уравнения, на которую эта ссылается. И она не печатает, куда направлены ветви параболы: это решает знак старшего коэффициента, а знак виден в первом же набранном поле, а не в каком-либо из результатов.

Что такое выделение полного квадрата?

Это переписывание выражения ax² + bx + c в вид a(x − h)² + k. Выделение полного квадрата не меняет значение выражения ни при одном x: скобка подбирается так, чтобы её квадрат воспроизвёл первые два члена, а всё лишнее, что при этом добавилось, тут же вычитается обратно. Смысл операции в том, что в новом виде вершина параболы читается прямо из записи, тогда как в исходном её пришлось бы искать вычислением.

Как из этого получить координаты вершины?

Они уже стоят в готовой форме: вершина находится в точке (h, k). Знак h берётся из скобки с обратной сменой знака, потому что в записи стоит (x − h): форма (x + 3)² означает h, равное −3, а не 3. Величина k — это хвост, то есть число, оставшееся после вычитания лишнего, и оно может быть отрицательным. Оба числа печатаются отдельными столбцами, так что читать их из формы не обязательно.

Почему ответ иногда выходит дробями, а не десятичными?

Потому что половина нечётного коэффициента — дробь, и она остаётся дробью до конца. Для x² + x половина от 1 равна 1/2, поэтому форма выходит (x + 1/2)² − 1/4, и это точная запись того же выражения. Десятичное написание 0,25 тоже конечно, но 1/3 или 1/6 в десятичном виде оборвались бы на шестом знаке, а страница предпочитает не округлять там, где можно не округлять.

Эта страница решает квадратное уравнение?

Нет, и это разделение намеренное. Здесь выражение меняет вид, но не приравнивается к нулю, поэтому корней у неё не спрашивают. Уравнение ax² + bx + c = 0 решается на странице квадратного уравнения, и форма вершины, которую выдаёт эта страница, — как раз один из шагов вывода его формулы. Зато попутно она сообщает то, чего страница корней не показывает: где именно находится вершина параболы.

Что происходит при отрицательном старшем коэффициенте?

Ничего особенного: вычисления идут ровно так же, а меняется только смысл вершины. При положительном a парабола уходит ветвями вверх, и вершина оказывается самым низким значением выражения, при отрицательном — вниз, и тогда это самое высокое значение. Знак старшего коэффициента виден в первом же набранном поле, а среди результатов он не повторяется: страница не печатает, куда направлены ветви.

Почему ноль в поле старшего коэффициента отклоняется?

Потому что при a, равном нулю, выражение перестаёт быть квадратным. Остаётся bx + c, то есть прямая, у которой нет ни вершины, ни квадрата, который можно было бы выделить. Деление на 2a в формуле для h превратилось бы в деление на ноль, поэтому страница отклоняет такой ввод сразу, а не пытается вернуть что-то похожее на ответ.

• Completing the Square — the algebraic procedure, its use in deriving the quadratic formula, and the vertex form it produces — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadratic Equation — the equation this page's expression belongs to, and where the roots that this page does not compute come from — Wolfram MathWorld (United States)
• Parabola — the curve the expression draws, with the vertex at the point this page reports — Wolfram MathWorld (United States)