Калькулятор вершины параболы

y = ax² + bx + c → h = -b / (2a) → k = c - b² / (4a) → y = a(x - h)² + k

a

Растяжение и направление. Это то же самое число, что и в стандартном виде, — форма с вершиной его не меняет, — и теперь оно стоит перед скобкой. Положительное раскрывает ветви вверх, отрицательное вниз, а его величина задаёт ширину параболы: |a| больше 1 — уже, чем обычная x², меньше 1 — шире.

h

Координата x вершины, вокруг которой и построена скобка. При переходе в скобку её знак меняется на противоположный: вершина при x = -3 записывается как (x + 3). Это же и ось симметрии: высшая или низшая точка кривой лежит на вертикальной прямой x = h.

k

Координата y вершины: значение, которое кривая принимает в этой точке, а значит наименьшее значение при ветвях вверх и наибольшее при ветвях вниз. Это то, что остаётся после того, как квадрат забрал себе остальное, и k = 0 — особый случай, когда вершина лежит ровно на оси x.

x, y

Две переменные готового уравнения. Любая пара, которая ему удовлетворяет, лежит на кривой, поэтому форма с вершиной — полное описание параболы: то же описание, что и стандартный вид, только устроенное так, что интересная точка читается сразу.

К ней обращаются, когда квадратичная функция дана в стандартном виде, а узнать нужно, где кривая поворачивает: максимум прибыли, минимум затрат, верхняя точка брошенного мяча. Или когда её нужно нарисовать, ведь вершина плюс направление ветвей — это уже почти вся форма. Это же та запись, к которой идут, когда дана как раз вершина, а нужен стандартный вид, — просто в обратную сторону. Она есть у любой квадратичной функции, и трёх коэффициентов достаточно, чтобы её найти.

1. y = 2x² - 4x + 1 — старший коэффициент не равен 1

   1. Вершина по x: h = -b / (2a) = 4 / 4 = 1
   2. Вершина по y: k = c - b² / (4a) = 1 - 16 / 8 = 1 - 2 = -1
   3. Скобка строится вокруг h = 1, поэтому читается (x - 1)
   4. Старший коэффициент 2 ставится перед скобкой: y = 2(x - 1)² - 1

   Проверка — раскрыть обратно: 2(x - 1)² = 2x² - 4x + 2, и прибавление -1 возвращает 2x² - 4x + 1, то есть исходное выражение. Именно это и делает запись переписыванием, а не другой кривой: та же парабола, описанная своей точкой поворота вместо коэффициентов. Двойка впереди делает настоящую работу и никуда не исчезает; только при старшем коэффициенте 1 скобка остаётся стоять сама по себе.

2. y = -x² + 4 — ветви вниз, без члена с x

   1. Вершина по x: h = -0 / (2 × -1) = 0
   2. Вершина по y: k = 4 - 0 = 4
   3. При h = 0 скобка сказала бы (x - 0), поэтому она сворачивается до простого x²
   4. Старший коэффициент -1 записывается одним минусом: y = -x² + 4

   Это случай, когда форма с вершиной и стандартный вид дают одну и ту же строку, и в этом весь смысл: когда b равно нулю, вершина уже лежит на оси y, так что сдвигать было нечего и дополнять нечего. Читайте ответ как описание, а не как изменение: кривая раскрывается вниз и поворачивает в точке (0, 4), то есть в четырёх единицах над началом координат.

3. y = 0,5x² + 3x + 0,5 — дробный старший коэффициент

   1. Вершина по x: h = -3 / (2 × 0,5) = -3
   2. Вершина по y: k = 0,5 - 9 / 2 = 0,5 - 4,5 = -4
   3. Скобка строится вокруг h = -3, поэтому читается (x + 3) — знак меняется на противоположный
   4. Половина печатается дробью и берётся в скобки, потому что 1/2(x + 3)² читалось бы как 1, делённое на 2(x + 3)²: y = (1/2)(x + 3)² - 4

   Раскрытие подтверждает: (1/2)(x + 3)² = 0,5x² + 3x + 4,5, а 4,5 - 4 возвращает свободный член к 0,5. Дробь появляется потому, что коэффициенты были дробными, а не потому, что что-то округлили: 1/2 точно, тогда как 0,5 — то же самое число, и напечатанная форма — та, которую человек написал бы от руки.

Старший коэффициент не может быть нулём. При a = 0 нет ни квадрата, который нужно дополнить, ни вершины, которую можно сообщить, потому что график — прямая: страница отклоняет такой ввод, а не выдумывает ответ. Коэффициенты ограничены миллионом в любую сторону, а очень маленькое a вместе с очень большим b отклоняется отдельно: вершину вынесло бы за ту границу, за которой число ещё что-то означает. Уравнение печатается, а не решается: страница не сообщает ни корни, ни точки пересечения кривой с осью x, ни значение y при каком-нибудь другом x. Корни считает калькулятор квадратного уравнения, на который ведёт ссылка, а раскрытие формы с вершиной обратно — дело калькулятора метода FOIL. Числа печатаются дробями, когда знаменатель достаточно мал, чтобы читаться, и значениями с шестью знаками после запятой в остальных случаях, поэтому вершина в одну треть выходит как 0,333333. Единиц измерения здесь нет ни у чего: коэффициенты квадратичной функции — числа, а не измерения.

Что такое форма с вершиной?

Это запись y = a(x - h)² + k, при которой вершина квадратичной функции видна прямо: точка поворота параболы — это точка (h, k), и обе координаты читаются из уравнения без единого вычисления. Стандартный вид ax² + bx + c описывает ту же кривую: это две перестановки одного и того же, и a в них одно и то же число.

Чем это отличается от калькулятора полного квадрата?

Арифметика та же, и вершина получается одинаковой, потому что обе страницы берут одни и те же три коэффициента. Различается то, что они возвращают: та страница печатает переписанное выражение a(x - h)² + k и объясняет метод, а эта печатает уравнение параболы y = a(x - h)² + k и посвящена чтению графика — где он поворачивает, куда раскрывается и насколько широк.

Как понять, раскрывается парабола вверх или вниз?

По знаку a, числа перед скобкой. Положительное — вверх, и тогда вершина является низшей точкой кривой, а k — наименьшим значением; отрицательное — вниз, и тогда вершина высшая, а k наибольшее. Страница не печатает готовый вердикт, потому что знак a не входит в её выводы, но сам коэффициент a виден прямо в уравнении, перед скобкой.

Где проходит ось симметрии?

При x = h — это вертикальная прямая через вершину, то самое h, которое стоит в скобке. Относительно этой прямой парабола зеркально симметрична, и именно поэтому вершина и есть точка поворота: всё слева от неё является отражением чего-то справа. Отсюда же следует, что два корня, когда они есть, стоят на одинаковом расстоянии по обе стороны от неё, а их среднее равно h.

Почему в уравнении иногда появляются дроби?

Потому что точное значение и было дробью. Десятичная дробь, которая заканчивается за несколько знаков и имеет небольшой знаменатель, печатается дробью — 0,5 как 1/2, 0,25 как 1/4, — так её и написали бы от руки, и вдобавок 1/2 точно, тогда как 0,5 лишь приблизительно то же самое. Всё, что длиннее, печатается десятичной дробью, округлённой до шести знаков, поэтому вершина в одну треть выглядит как 0,333333.

Почему последний член иногда пропадает из ответа?

Потому что координата y вершины равна нулю, а прибавлять к уравнению нечего — получился бы член, который всегда равен нулю. Происходит это ровно тогда, когда кривая касается оси x, а не пересекает её: вершина лежит на оси, и квадратичная функция является полным квадратом. Так что y = (x + 1)² — это полная форма с вершиной, а не обрезанная.

• Parabola vertex — the point this page reports, and why the curve turns around there — Wolfram MathWorld (United States)
• Vertex — the same notion for curves in general, of which the parabola's turning point is one case — Wolfram MathWorld (United States)
• Quadratic polynomial — ax² + bx + c and the several ways it can be written, vertex form among them — Wolfram MathWorld (United States)