Калькулятор метода FOIL

(ax + b)(cx + d) = acx² + (ad + bc)x + bd F = ac O = ad I = bc L = bd (первые, внешние, внутренние, последние)

a, c

Два коэффициента при x, по одному из каждого двучлена. Ни один из них не может быть нулевым: двучлен с нулевым коэффициентом при x — это попросту константа, и умножение на неё не есть этот метод. Их произведение даёт первый член развёрнутой записи — вот почему старший коэффициент ответа равен ac, а не просто a или c.

b, d

Два постоянных члена. Они могут быть нулевыми, отрицательными или дробными, и именно они решают судьбу двух из четырёх произведений: внешняя пара ad и внутренняя пара bc складываются в средний член, а их произведение bd становится последним членом. Оба отрицательных — это как раз тот случай, когда последний член снова оказывается положительным.

F, O, I, L

Четыре произведения в том порядке, в котором их называет метод: first (ac), outer (ad), inner (bc), last (bd). Средний член развёрнутой записи — это сумма внешнего и внутреннего произведений, и это единственный шаг во всём методе, где два числа не просто выписывают, а складывают друг с другом.

x

Переменная, в которой записаны оба двучлена. Значения у неё здесь нет — ответ является выражением, а не числом, поэтому главное чтение на этой странице текстовое, а не числовая строка.

Обращайтесь к нему, чтобы перемножить два двучлена вручную и проверить результат шаг за шагом. Обратный путь — от готовой развёрнутой записи обратно к произведению — это разложение на множители, а страница о выделении полного квадрата начинает с того же выражения с другого конца.

1. (x + 2)(x + 3)

   1. First: x × x = x², поэтому первый коэффициент равен 1
   2. Outer: x × 3 = 3x, внешнее произведение равно 3
   3. Inner: 2 × x = 2x, внутреннее произведение равно 2
   4. Last: 2 × 3 = 6
   5. Внешнее и внутреннее складываются в средний член: 3x + 2x = 5x
   6. Развёрнутая запись: x² + 5x + 6

   Основной случай, и к тому же тот, где все четыре произведения положительны и различны. Средний член получается сложением внешнего и внутреннего произведений — это тот шаг, который читатели чаще всего пропускают, и именно ради него оба числа напечатаны рядом с ответом, чтобы его можно было проверить глазами.

2. Когда ни один коэффициент при x не равен 1

   1. First: 2x × 3x = 6x², старший коэффициент равен 6
   2. Outer: 2x × 4 = 8x
   3. Inner: 1 × 3x = 3x
   4. Last: 1 × 4 = 4
   5. Средний член: 8x + 3x = 11x
   6. Развёрнутая запись: 6x² + 11x + 4

   Старший коэффициент здесь произведение, а не одно число, поэтому его нельзя вычитать ни из одного из двух двучленов. Больше в методе ничего не меняется: средний член по-прежнему сумма внешнего и внутреннего произведений, и это единственное место, где два из четырёх чисел сливаются в одно.

3. Разность квадратов

   1. First: x × x = x²
   2. Outer: x × (−5) = −5x
   3. Inner: 5 × x = 5x
   4. Last: 5 × (−5) = −25
   5. Внешнее и внутреннее произведения равны −5x и +5x и сокращаются нацело
   6. Среднего члена не остаётся, поэтому развёрнутая запись: x² − 25

   Случай, доказывающий, что средний член — это сумма, а не произведение. Все четыре названных произведения отличны от нуля, а в развёрнутой записи всего два члена, потому что те два, которые образовали бы средний, равны по величине и противоположны по знаку. Страница, которая просто печатала бы четыре произведения не складывая их, выглядела бы так, будто потеряла член.

Коэффициент при x в каждом двучлене должен быть отличен от нуля. Если он нулевой, то x в этом двучлене не с чем образовать пару, выражение превращается в постоянную, умноженную на двучлен, а первый шаг метода не даёт ничего, — поэтому такое значение отклоняется с указанием имени поля. Все четыре коэффициента ограничены по модулю миллионом: внешнее и внутреннее произведения складываются до округления, а самые крупные промежуточные значения вырастают до того порядка, который читатель уже не проверит на глаз. Дробные результаты печатаются дробями, когда знаменатель не больше тысячи и делится нацело, и шестью знаками после запятой во всех остальных случаях, поэтому (x + 1/2)(x + 3) даёт половину, а не десятичную запись 0,5. Эта страница умножает, а не раскладывает на множители. Переход от развёрнутой записи обратно к двум двучленам — обратная задача, и страница за неё не берётся.

Что означает FOIL?

First, Outer, Inner, Last. Эти четыре слова называют в указанном порядке четыре пары членов, взятых из двух двучленов: два первых члена, два внешних в напечатанном произведении, два внутренних и два постоянных. Перемножьте эти четыре пары и сложите — получится развёрнутая запись.

Что такое развёрнутая запись?

Это сумма одночленов, в которую превращается произведение после раскрытия скобок: у двух двучленов она состоит из трёх членов — старшего, среднего и последнего. В частном случае, когда постоянные члены равны по величине и противоположны по знаку, средний член исчезает целиком и остаётся только разность квадратов.

Почему внешнее и внутреннее произведения складывают?

Потому что оба дают член с x, а подобные члены приводят. В методе FOIL ничего не является необязательным: четыре произведения — это полный список пар, а результат — их сумма. Внешний и внутренний члены единственные, которые могут слиться, и именно поэтому у развёрнутой записи двух двучленов три члена, а не четыре.

Работает ли метод с отрицательными коэффициентами?

Да, и знак путешествует вместе со своим членом. В (x + 5)(x − 5) внешнее произведение равно −5x, а внутреннее +5x; они сокращаются, поэтому средний член пропадает целиком и остаются только два члена. Два отрицательных постоянных члена — другой случай: тогда последний член снова становится положительным, потому что минус на минус даёт плюс.

Может ли коэффициент при x быть нулевым?

На этой странице нет. Двучлен, у которого коэффициент при x равен нулю, на самом деле просто постоянная величина, и умножение на неё — это обычная арифметика, а не этот метод: первый шаг не дал бы ничего, что можно записать. Такое значение отклоняется с указанием имени поля, а не подменяется молча трактовкой «считать это константой».

Почему в ответе иногда пропадает член?

Потому что его коэффициент вышел нулевым. Когда внешнее и внутреннее произведения сокращаются, члена с x нет вовсе, и запись печатается как x² − 25, а не как x² + 0x − 25. Отбрасывать пустой член — это договорённость, которой печать пользуется на всей странице, а четыре подписанных произведения по-прежнему показывают, куда он делся.

• Quadratic Equation — the equation whose left-hand side the expansion produces, and the standard form the coefficients feed into — Wolfram MathWorld (United States)
• Completing the Square — the same quadratic expression taken the other way, from expanded form into a squared bracket — Wolfram MathWorld (United States)
• Parabola — the curve an expanded quadratic draws, and the reason its coefficients are worth getting right — Wolfram MathWorld (United States)