Калькулятор кубического корня

∛x = ∛(m³ · r) = m · ∛r ∛(n ÷ d) = ∛(n · d²) ÷ d

x

Подкоренное выражение, то есть число под знаком радикала. Оно может быть отрицательным, потому что кубический корень — корень нечётной степени, а нечётная степень отрицательного числа остаётся отрицательной: кубический корень из −27 равен −3, а из −1 равен −1. Оно может быть и десятичной дробью, до трёх знаков; в этом случае страница сначала превращает её обратно в обыкновенную дробь, а потом упрощает.

m³

Наибольший полный куб, который делит подкоренное выражение: 8, 27, 64, 125 и так далее. Его поиск и составляет всё упрощение целиком, причём страница ищет сверху вниз, поэтому первый найденный множитель оказывается наибольшим. Для 72 это 8, и под радикалом остаётся 9.

m

Кубический корень из этого полного куба, который выходит перед знаком радикала. Когда он целый, точная форма читается как 2∛9; когда он равен единице, коэффициент опускается и форма читается как ∛2, потому что 1∛2 никто не пишет.

r

То, что остаётся под радикалом после выноса всех кубических множителей. Остаток свободен от кубов, и именно поэтому форма окончательна. Когда не остаётся ничего — когда подкоренное выражение само было полным кубом, — знак радикала исчезает целиком, а точная форма становится обычным целым числом, как у кубического корня из 27.

d²

Квадрат знаменателя и причина, по которой десятичный случай не скопирован просто со страницы квадратного корня. Чтобы вынести знаменатель d из-под кубического корня, под ним нужен d в кубе, поэтому n ÷ d переписывается как (n · d²) ÷ d³, а кубический корень из этого равен ∛(n · d²) ÷ d. Если взять d вместо d², число всё равно получится — просто не то.

Обращайтесь к этой странице, когда нужна точная форма кубического корня или когда под корнем стоит отрицательное число. Калькулятор куба числа закрывает прямое направление — возводит число в куб и читает корень обратно — и печатает десятичную запись там, где эта страница печатает обозначение. Когда показатель не равен трём, калькулятор корней принимает любой показатель от 2 до 12 и упрощает выражение так же.

1. Упрощение кубического корня из 72

   1. Ищем наибольший полный куб, который делит 72
   2. 8 делит его: 72 ÷ 8 = 9, то есть 72 = 8 × 9
   3. Кубический корень из 8 равен 2, и он выходит вперёд: ∛72 = 2∛9
   4. Вычисление этой точной формы даёт 4,160168

   Проверка занимает одну строку: 2∛9 в кубе — это 2³ × 9, то есть 8 × 9, то есть 72. Десятичный столбец так не проверить — 4,160168 в кубе даёт 71,99999 с хвостом, — и в этом весь смысл печатать рядом точную форму.

2. Полный куб схлопывается в целое число

   1. 27 — это 3 × 3 × 3, поэтому наибольший кубический множитель равен самому 27
   2. После выноса под радикалом не остаётся ничего: 27 = 27 × 1
   3. Когда внизу ничего не осталось, знак радикала уходит, и точная форма равна 3
   4. Десятичное значение тоже 3, так что оба столбца сходятся

   Когда радикал пустеет, это и есть признак того, что подкоренное выражение было полным кубом. Полезно знать, что именно эту строку компьютер по умолчанию делает неправильно: возведение 27 в степень одной третьей в числах с плавающей точкой даёт 3,0000000000000004, и страница исправляет это, проверяя, даёт ли близкое целое число 27 при возведении в куб.

3. Отрицательное подкоренное выражение

   1. Сначала выносим знак: ∛−72 = −∛72
   2. Положительная часть упрощается точно так же, как раньше: ∛72 = 2∛9
   3. Возвращаем знак на место и получаем −2∛9
   4. Десятичное значение равно −4,160168, то есть минус положительный случай

   Минус ставится впереди, а не внутри радикала. −2∛9 и 2∛−9 — одно и то же число, но стандартной записью является только первая, а вторая выглядела бы как другое выражение. Это тот случай, который калькулятор квадратного корня не берёт вовсе: чётный корень из отрицательного числа не является действительным числом.

4. Десятичное подкоренное выражение, оказавшееся полным кубом

   1. 0,125 как дробь — это 1/8
   2. Обе части — полные кубы: ∛1 = 1 и ∛8 = 2
   3. Под радикалом ничего не остаётся, поэтому точная форма — дробь 1/2
   4. В десятичной записи это 0,5

   Эта строка и есть причина, по которой страница принимает три знака после запятой, а не два. Одна восьмая — самая естественная десятичная дробь из всех, какие вообще встречаются кубическому корню, и при двух знаках её нельзя было бы даже прочитать как дробь, так что читателя оттолкнула бы от страницы кубических корней именно та величина, которую сюда пустить нужнее всего.

Подкоренное выражение ограничено тремя знаками после запятой. Четвёртый знак был бы отклонён, а не округлён: упрощение работает через превращение десятичной дроби в обыкновенную и последующий перебор делителей, и дальше арифметика перестаёт быть надёжной — произведения целых чисел превысили бы то, что число с плавающей точкой представляет точно, и ответ оказался бы тихо неверным, а не просто медленным. По модулю значение ограничено 1 000 000 в обе стороны — до этой границы перебор остаётся дешёвым. Точная форма — это обозначение, а не число, и записывается одинаково во всех языках, потому что знак радикала и знак деления слов не содержат; десятичное значение рядом с ней округлено до шести знаков. Приводится только действительный кубический корень: у каждого ненулевого числа их три на комплексной плоскости, и два других не показываются. Кубический корень отрицательного числа печатается со знаком впереди — это стандартная запись, но не та же самая строка, что радикал над отрицательным подкоренным выражением.

Что делает калькулятор кубического корня?

Он принимает подкоренное выражение и возвращает две вещи: десятичное значение кубического корня и точную форму, в которой наибольший полный куб вынесен вперёд за знак радикала. Кубический корень из 72 равен 4,160168 в десятичной записи и 2∛9 в точной форме, и это одно и то же число, записанное двумя способами.

Как упростить кубический корень вручную?

Найдите наибольший полный куб, который делит подкоренное выражение, вынесите его и поставьте его кубический корень перед знаком. Для 72 этот множитель равен 8, а поскольку 72 ÷ 8 = 9, всё выражение превращается в 2∛9. Вы закончили, когда под радикалом не осталось ничего свободного от кубов: для 27 радикал пустеет полностью, и ответ — просто 3.

Может ли подкоренное выражение быть отрицательным?

Да, и это самое заметное отличие этой страницы от калькулятора квадратного корня, который отрицательные числа просто отклоняет. Кубический корень — корень нечётной степени, поэтому отрицательное подкоренное выражение допустимо: кубический корень из −64 равен −4. Знак выносится первым и печатается впереди точной формы, так что −72 упрощается в −2∛9, а не в радикал над отрицательным числом.

Почему точная форма иногда получается дробью?

Когда подкоренное выражение является кубом дроби, под радикалом не остаётся ничего, и точная форма схлопывается в обыкновенную дробь: кубический корень из 0,125 равен 1/2, а из 0,001 равен 1/10. Радикал выживает только тогда, когда под ним остаётся что-то свободное от кубов, — то же правило, по которому кубический корень из 27 оказывается обычным целым числом.

Сколько знаков после запятой принимает подкоренное выражение?

Три, то есть на один больше, чем допускает страница квадратного корня. Лишний знак существует ради одного числа: 0,125 — это ровно одна восьмая, а её кубический корень равен 0,5; при двух знаках её нельзя было бы опознать как дробь вообще. Четвёртый знак отклоняется, а не округляется, потому что дальше перебор делителей перестаёт быть точным.

• Cube Root — the inverse of cubing, defined on negative inputs because the index is odd — Wolfram MathWorld (United States)
• Cubic Number — the perfect cubes the simplification searches for, from 8 up to whatever the radicand allows — Wolfram MathWorld (United States)
• Radical — the radical sign, the radicand, and the convention for writing a coefficient in front of a root — Wolfram MathWorld (United States)