Калькулятор логарифмов

log_b(x) = ln x / ln b b^y = x ⟺ y = log_b(x)

x

Аргумент — число, от которого берётся логарифм. Он должен быть положительным: логарифм нуля уходит в минус бесконечность, а логарифм отрицательного числа вообще не является действительным числом, поэтому страница отклоняет и то и другое вместо того, чтобы напечатать значение, похожее на ответ

b

Основание — число, которое возводят в степень. Основание логарифма должно быть положительным и не может быть равно единице, потому что единица в любой степени остаётся единицей: единственный аргумент, у которого есть логарифм по основанию 1, — это сама единица, а это утверждение о единице, а не об аргументе, поэтому уравнение перестаёт нести информацию, и страница об этом сообщает

log_b(x)

Логарифм по введённому основанию, главное показание. Это показатель степени, который превращает основание в аргумент: логарифм 1000 по основанию 10 равен 3, потому что 10 в кубе — это 1000. Если читать страницу в обратную сторону, это ещё и число, столько раз основание нужно умножить на себя, — именно поэтому логарифм оказывается естественным инструментом для всего, что множится повторно

ln x

Натуральный логарифм, то есть логарифм по основанию e, где e приблизительно равно 2,718281828. Он вычисляется при основании, зафиксированном на e, независимо от того, что стоит в поле, и это тот логарифм, на языке которого записан математический анализ, и тот, для которого на инженерном калькуляторе есть отдельная клавиша. И период полураспада, и непрерывный рост читаются прямо с него

lg x

Десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10, тоже вычисляемый независимо от того, что стоит в поле. Это логарифм порядков величины — поэтому за ним стоят pH, децибелы и шкала Рихтера. Когда введённое основание равно 10, этот столбец и главный печатают одно и то же число, и в этом смысл, а не дублирование

1. Логарифм 1000 по основанию 10

   1. Основание 10, аргумент 1000 — это десятичный логарифм
   2. 10 × 10 × 10 = 1000, значит основание нужно умножить на себя три раза
   3. Логарифм равен 3, и он точный, а не округлённый
   4. Столбец десятичного логарифма тоже печатает 3, потому что введённое основание уже равно 10

   Случай, с которым страницу открывают чаще всего, и самое чистое доказательство того, что логарифм — это показатель степени, а не кнопка. Натуральный логарифм того же аргумента равен 6,907755, и эти два числа не соперники: они считают один и тот же факт в двух разных основаниях, и любое из них переводится в другое делением на логарифм нового основания.

2. Логарифм 1024 по основанию 2

   1. Основание 2, аргумент 1024 — основание, в котором считают компьютеры
   2. Удвоение десять раз: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024
   3. Значит логарифм равен 10, и 2 в десятой степени — ровно 1024
   4. Формула перехода к новому основанию даёт то же самое: ln 1024 ÷ ln 2 = 6,931472 ÷ 0,693147

   Случай с основанием 2 — тот, где логарифм перестаёт быть школьным объектом и становится считаемым: ответ показывает, сколько удвоений потребуется, и поэтому он всплывает везде — от двоичных приставок до глубины сбалансированного дерева. Заметьте, что столбец десятичного логарифма печатает 3,0103, а не 3: 1024 немного больше тысячи, и именно эту небольшую добавку и фиксирует дробная часть.

3. Логарифм 0,5 по основанию 2

   1. Аргумент меньше 1, поэтому логарифм отрицательный
   2. 2 в степени −1 — это 1 ÷ 2 = 0,5
   3. Логарифм равен ровно −1
   4. Здесь отрицательны все столбцы, включая оба именованных логарифма

   Та половина страницы, на которой при ручном счёте ошибаются чаще всего: аргумент меньше 1 даёт отрицательный логарифм, а через нуль логарифм проходит ровно при аргументе, равном 1. Ни у какого другого аргумента логарифм не равен нулю ни по какому основанию — это самый быстрый способ проверить подозрительный ответ.

Аргумент должен быть положительным действительным числом. Нуль и отрицательные аргументы отклоняются, а не считаются: первый уходит в минус бесконечность, второй вообще оказывается комплексным числом, и ни то ни другое страница напечатать не может. Основание должно быть положительным и не может быть равно 1 — по причине, изложенной выше, а не в качестве округления области определения. Страница сообщает шесть знаков после запятой, и это ограничение отображения, а не точности: арифметика под ним работает на полной точности двойного числа, а формула перехода к новому основанию считается в плавающей точке, поэтому логарифм, который обязан быть целым, может выйти на волосок в стороне от него и при выводе округляется обратно. Это инструмент для действительных чисел: комплексные логарифмы, логарифмы комплексных аргументов и связанные с ними разрезы сюда не входят. Он также ничего не строит, не дифференцирует и не интегрирует, а таблица ниже перечисляет только те логарифмы, которые выходят целыми числами: таблица десятичных логарифмов требовала бы локализации, поскольку 0,301030 в русской записи и 0.301030 в английской — это одно и то же число, записанное по-разному, тогда как целые числа везде записываются одинаково.

Что такое логарифм?

Это показатель степени, который превращает основание в аргумент. Спросить, чему равен логарифм 1000 по основанию 10, — значит спросить, в какую степень нужно возвести 10, чтобы получить 1000, и ответ равен 3. В этом и состоит всё определение: b в степени логарифм по основанию b от x равно x. Всё остальное про логарифмы — правила для произведения, частного и степени — выводится из этой фразы, поэтому страница и печатает показательную форму под формулой.

Почему основание логарифма не может быть равно единице?

Потому что единица в любой степени всё равно остаётся единицей. По основанию 1 уравнение «1 в степени y равно x» имеет решение только при x, равном 1, и тогда подходит любое y, так что логарифм не был бы одним числом. Арифметика показывает то же самое с другой стороны: вычисление по формуле перехода к новому основанию делит на логарифм основания, а логарифм единицы равен нулю по любому основанию, то есть деление идёт на нуль. Страница отклоняет основание 1, а не возвращает то, что случайно выдаст деление в плавающей точке.

Можно ли взять логарифм отрицательного числа?

Как действительное число — нет, и на этой странице тоже. Логарифм отрицательного аргумента комплексен, а этот инструмент работает с действительными числами. Нуль отклоняется по другой причине: логарифм нуля не неопределён, а неограничен — он уходит в минус бесконечность, когда аргумент приближается к нулю сверху, а минус бесконечность не то число, которое эта страница может напечатать. Оба отказа называют аргумент, из-за которого они случились.

Чем ln отличается от lg?

Это одна и та же операция в двух именованных основаниях. ln — натуральный логарифм, по основанию e, где e приблизительно равно 2,718281828; lg — десятичный логарифм, по основанию 10. Страница печатает оба независимо от того, какое основание вы ввели, потому что ни один из них не является частным случаем другого и оба спрашиваются по имени. ln — тот, что встречается в математическом анализе и в непрерывном росте, а lg стоит за pH, децибелами и любой шкалой, измеряемой порядками величины.

Почему страница печатает одно и то же число дважды?

Потому что вы ввели основание, совпадающее с одним из именованных логарифмов. При основании 10 главный столбец и столбец десятичного логарифма содержат одно число, а при основании e совпадают главный столбец и столбец натурального логарифма. Это не повторный расчёт, а подтверждение: так читатель видит, что набранное им основание и есть основание того логарифма, который он имел в виду. Любое другое основание даёт три разных числа.

Как проверить логарифм вручную?

Возведите основание в ответ и посмотрите, получится ли обратно аргумент. Для логарифма 1024 по основанию 2 ответ равен 10, а 2 в десятой степени — это 1024, значит сходится. Для дробного ответа проверка всё ещё работает, но в уме даётся труднее — вот здесь переход к новому основанию из блока формулы и оправдывает себя: разделить два уже известных логарифма проще, чем искать показатель степени.

• Logarithm — the definition, the change of base formula this page computes with, and the domain restrictions on the base and the argument — Wolfram MathWorld (United States)
• Natural Logarithm — the base-e logarithm, including the series and the derivative that make it the logarithm of calculus — Wolfram MathWorld (United States)
• Common Logarithm — the base-10 logarithm and its history as the logarithm of tables and orders of magnitude — Wolfram MathWorld (United States)