Калькулятор периода полураспада

N = N₀ × (½)^(t ÷ T) n = t ÷ T остаточная доля = N ÷ N₀

N₀

Начальное количество — всё, что было до того, как хоть что-то распалось. Единицы у него на этой странице нет: граммы, беккерели, атомы и концентрации — один и тот же вход, потому что закон распада спрашивает только, какая доля осталась. Оно должно быть больше нуля: при начальном количестве, равном нулю, оставшаяся доля превращается в деление нуля на ноль, а не в маленькое число.

T

Период полураспада — время, за которое уходит половина того, что есть. Это свойство вещества, а не образца, поэтому при изменении начального количества он не меняется. Его нужно указывать в той же единице, что и прошедшее время; страница не спрашивает, в какой именно, потому что два времени делятся друг на друга и отношение не меняется при переводе обоих.

t

Прошедшее время — интервал, про который вы спрашиваете. Оно измеряется в той же единице, что и период полураспада, и не может быть отрицательным: формула охотно заработала бы назад, но «сколько было раньше» — другой вопрос, не тот, на который настроена эта панель.

n = t ÷ T

Число прошедших периодов полураспада — вторая величина и та, по которой проверяется всё остальное. Периоды считают, а не отсчитывают целыми шагами: 2,5 — совершенно обычное значение, оно означает, что образец находится между вторым и третьим делением пополам. Его печатают с четырьмя знаками после запятой, чтобы 2,9999 и 3 оставались различимыми: первое значит «почти три периода», второе — «ровно три».

(½)^n

Оставшаяся доля — одна вторая, умноженная сама на себя по одному разу за каждый период полураспада. В ней весь закон распада: ни константы, ни другого основания, кроме одной второй, ни зависимости от вещества сверх периода полураспада. Десять периодов полураспада оставляют меньше десятой доли процента, и доля никогда не становится ровно нулём, сколько бы периодов ни прошло, хотя в конце концов при двойной точности она и обнуляется.

N = N₀ × (½)^n

Оставшееся количество — главная величина. Это начальное количество, умноженное на эту долю, поэтому ответ пропорционален, а не абсолютен: удвоение начального количества удваивает остаток в каждой точке кривой, а проценты остаются прежними.

N ÷ N₀

Оставшаяся доля, выраженная в процентах, — печатается со знаком процента. Это та величина, которую стоит называть, когда вещество неизвестно: «осталось около 25 %» говорит всё то же, что «2,5 беккереля», но только после того, как известна исходная активность, и это единственная из трёх, которая переживает изменение начального количества.

Обращайтесь к ней, когда что-то распадается со скоростью, выраженной через период полураспада, — именно так записывают радиоактивный распад всего неустойчивого: радиоизотоп, лекарство, выводимое из организма, разлагающийся загрязнитель, популяция, убывающая в постоянной пропорции. Это же страница для двух вопросов, которые возникают вокруг радиоуглеродного датирования: сколько исходного углерода-14 осталось через заданное число лет и скольким периодам полураспада соответствует измеренная доля, причём второй шаг как раз и превращается в возраст. За калькулятором экспоненциального роста идите тогда, когда основание не одна вторая, а выведено из скорости: перед вами тот же экспоненциальный распад с другой константой. За калькулятором времени удвоения — когда вопрос задан в обратную сторону и количество растёт: удвоение есть то же деление пополам, прочитанное наоборот. За калькулятором сложных процентов — когда тот же показатель степени применяется к деньгам, где умножение происходит по расписанию, а не непрерывно.

1. 100 единиц при периоде полураспада 5, спустя 15

   1. Прошло периодов полураспада: 15 ÷ 5 = 3
   2. Оставшаяся доля: (½)³ = 1 ÷ 8 = 0,125
   3. Оставшееся количество: 100 × 0,125 = 12,5
   4. В процентах: 12,5 %

   Та же строка, что есть в справочной таблице, и самая простая для проверки без страницы: три деления пополам от 100 дают 50, затем 25, затем 12,5. Именно для такого счёта по шагам и нужно число периодов полураспада, и поэтому страница печатает его рядом с количеством — одно количество ничего не говорит о том, далеко ли вы ушли вдоль кривой.

2. Углерод-14 с периодом полураспада 5 730 лет, спустя 11 460

   1. Прошло периодов полураспада: 11 460 ÷ 5 730 = 2
   2. Оставшаяся доля: (½)² = 0,25
   3. Оставшееся количество: 1 × 0,25 = 0,25
   4. В процентах: 25 %

   Тот случай, вокруг которого страница и строилась, и причина, по которой у двух полей времени нет выбора единицы: здесь единица — год, а период полураспада далеко выходит за всё, что вместил бы список из часов и недель. Начальное количество взято равным 1, а не реальному измерению, поэтому ответ читается прямо как доля: через два периода полураспада остаётся четверть исходного углерода-14, а это первая половина рассуждения в любом радиоуглеродном датировании.

3. 200 единиц при периоде полураспада 4, спустя 10

   1. Прошло периодов полураспада: 10 ÷ 4 = 2,5
   2. Оставшаяся доля: (½)^2,5 = 1 ÷ √32 = 0,176776695…
   3. Оставшееся количество: 200 × 0,176776695… = 35,355339…
   4. В процентах: 17,67767 %

   Обычный случай и тот, который показывает, что периоды полураспада не считают целыми шагами: прошло два с половиной, поэтому образец находится между четвертью и восьмой частью от исходного. Доля здесь иррациональна, отсюда и десятичные знаки в ответе — он был бы точным только при целом числе периодов. Читать 2,5 как счёт — значит делать настоящую работу: умножьте 12,5 % на квадратный корень из одной второй и получите те же 17,68 %.

4. 80 единиц при периоде полураспада 12, ровно через 12

   1. Прошло периодов полураспада: 12 ÷ 12 = 1
   2. Оставшаяся доля: (½)¹ = 0,5
   3. Оставшееся количество: 80 × 0,5 = 40
   4. В процентах: 50 %

   Один период полураспада — это определение самой величины, а не её частный случай. Это та строка, к которой стоит обратиться, когда период полураспада где-то назвали и нужно убедиться, что он означает именно то, что вы думаете: с чего бы вы ни начали, через это время половина уйдёт, и начальное количество на ответ никак не влияет.

Эта страница отвечает только в одну сторону: даны начальное количество, период полураспада и интервал — сколько осталось. Обратные вопросы — сколько времени нужно, чтобы дойти до заданного количества, и каков период полураспада при известных начальном и конечном количествах — полями этой панели не являются, хотя оба следуют из того же уравнения и оба разобраны в блоке с формулой и в вопросах ниже. Отдельной страницы-калькулятора ни для одного из них в этом наборе нет, поэтому тому, кому такой расчёт нужен, придётся переставить показатель степени, а не ждать второго набора полей. Оба поля времени используют одну единицу, и страница никогда не спрашивает, какую: период полураспада в днях при прошедшем времени в часах даёт ответ, ошибочный в двадцать четыре раза, и приходит он с совершенно нормальным видом — это единственная ошибка на этой странице, которую нельзя заметить изнутри. Начальное количество не подписано, поэтому страница не переводит между единицами массы или активности: граммы на входе — граммы на выходе. Оценок нет: «сколько осталось» — непрерывная величина, и страница её печатает, а не судит. Доля никогда не доходит до нуля, но теряет разрядность: после примерно тысячи периодов полураспада результат в числах с плавающей точкой равен ровно нулю, и это предел арифметики, а не утверждение о веществе. И наконец, это модель распада целыми делениями пополам, она предполагает постоянную скорость — а это и означает период полураспада, и это верно не для всего, что убывает.

Как посчитать, сколько осталось через заданное время?

Разделите прошедшее время на период полураспада — получите число периодов полураспада, — а затем столько же раз разделите пополам начальное количество. При периоде полураспада 5 и прошедшем времени 15 прошло три периода, поэтому оставшаяся доля равна 1 ÷ 8, а начальное количество 100 оставляет 12,5. Страница делает то же самое одним выражением: начальное количество, умноженное на одну вторую в степени «прошедшее время, делённое на период полураспада».

Сколько времени пройдёт, пока не останется определённое количество?

Переверните уравнение. Разделите нужное количество на начальное — получите долю, возьмите логарифм этой доли по основанию одна вторая и умножьте на период полураспада. Если нужно, чтобы осталась восьмая часть, это три периода полураспада, каким бы ни было вещество; если четверть — два, поэтому при периоде полураспада 5 730 лет ответ равен 11 460 годам. Число периодов полураспада стоит посчитать первым: всё остальное — одно умножение.

В каких единицах должны быть период полураспада и прошедшее время?

В любых, лишь бы в одних и тех же. Два времени делятся друг на друга, поэтому период полураспада 5 дней при прошедшем времени 15 дней даёт ровно тот же ответ, что 120 часов и 360 часов. Выбирать единицу страница намеренно не предлагает: единицы, которыми реально пользуются, идут от секунд до миллиардов лет, и никакой список их не вместит. Плата за это — смешение единиц не обнаруживается: дни против часов дают ответ в двадцать четыре раза больше, и выглядит он совершенно нормально.

Ответ когда-нибудь доходит до нуля?

Математически — нет: каждый период полураспада убирает половину того, что есть, а половина положительного числа всегда положительна, поэтому оставшаяся доля приближается к нулю, не достигая его. На практике достигает: компьютер хранит число с конечной точностью, и после примерно тысячи периодов полураспада результат теряет разрядность и возвращается ровно нулём. Это исчерпывается арифметика, а не исчезает вещество, и происходит это далеко за пределами любого разумного применения модели.

Чем период полураспада отличается от постоянной распада?

Это два описания одного и того же распада. Постоянная распада — это скорость за единицу времени в показателе степени, а период полураспада — время, за которое уходит половина; связаны они множителем, равным натуральному логарифму двух, то есть период полураспада равен этому логарифму, делённому на постоянную распада. Здесь используется период полураспада, потому что именно так публикуют числа — 5 730 лет для углерода-14, несколько часов для лекарства, — тогда как постоянная распада появляется, если записать тот же закон с основанием e.

Влияет ли начальное количество на то, сколько длится распад?

Нет. В этом весь смысл периода полураспада: это свойство вещества, а не образца. Начать со 200 единиц вместо 100 означает, что останется 200 умножить на два в степени минус n вместо 100 умножить на два в степени минус n, поэтому каждая величина вдоль кривой удвоена, а проценты те же. Число периодов полураспада и оставшаяся доля при изменении начального количества не сдвигаются вовсе.

• Half-Life — the definition of the half-life and the exponential decay law that this page evaluates, including the relation between the number of half-lives and the fraction remaining — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Decay — the general law of which this page is the half-life case, with the decay constant and the half-life related by a factor of the natural logarithm of two — Wolfram MathWorld (United States)
• Radiocarbon dating — how the remaining fraction of carbon-14 in a sample is turned into an age, which is the step that follows the number this page prints — Wikipedia