Калькулятор времени удвоения

t = ln(2) ÷ ln(1 + r) t ≈ 72 ÷ R

r

Темп прироста за один период, записанный десятичной дробью, а не процентами: темп 5 процентов за период входит в формулу как 0,05. Он должен быть положительным, потому что величина, которая не растёт, не удвоится никогда, а в поле он вводится процентами. Описывает он рост с начислением на накопленное — прирост каждого периода применяется ко всей сумме, включая всё выросшее раньше, и именно это делает время удвоения конечным.

ln 2

Натуральный логарифм двух, примерно 0,693147, и единственная константа точной формулы. Он здесь потому, что удвоение означает ровно одно: множитель роста дошёл до двух. Вопрос, сколько раз надо умножить на (1 + r), чтобы из единицы получилось два, логарифм и превращает в деление.

t

Время удвоения, выраженное в периодах и печатаемое тремя знаками после запятой. Собственной единицы измерения у него нет: если введённый темп был месячным, t — это число месяцев, если годовым — число лет. Последнее удвоение всегда неполное, и поэтому t не целое: через 14 периодов при 5 процентах величина ещё чуть меньше двух, а переваливает за два в середине пятнадцатого.

R

Тот же темп, но в процентах, то есть ровно то число, которое набрано в поле. Правило 72 — это приближение, делящее 72 на R, и оно выводится второй строкой панели. Оно точнее всего около 8 процентов, завышает результат на низких темпах и занижает на высоких, а существует потому, что деление на круглое число было куда проще проделать в уме, чем логарифм.

Обращайтесь сюда, когда темп прироста известен, а нужно время. Калькулятор экспоненциального роста крутит ту же модель в обратную сторону: он берёт начальную величину и число периодов. Калькулятор периода полураспада — зеркальное отражение этой страницы, с множителем в одну вторую вместо двух. А калькулятор правила 72 — та же арифметика в денежном контексте, где заголовком стала прикладная примета, а не точный ответ.

1. Пять процентов за период

   1. Темп как десятичная дробь равен 0,05, поэтому каждый период умножает величину на 1,05
   2. Точный ответ: ln 2 ÷ ln 1,05 = 0,693147 ÷ 0,048790 = 14,207 периода
   3. Правило 72 даёт 72 ÷ 5 = 14,4 периода
   4. Два ответа расходятся чуть больше чем на четверть периода, а это обычный разрыв между приметой и истиной

   Проверить ответ вручную легко: 1,05 в четырнадцатой степени равно 1,98, чуть меньше двух, а в пятнадцатой — 2,08, чуть больше. Значит, переход происходит между четырнадцатым и пятнадцатым периодом, ровно там, где говорит 14,207. Такую проверку стоит проделать один раз: она показывает, что эта десятичная дробь — положение на шкале времени, а не бухгалтерская условность.

2. Один процент за период

   1. Точный ответ: ln 2 ÷ ln 1,01 = 0,693147 ÷ 0,009950 = 69,661 периода
   2. Правило 72 даёт 72 ÷ 1 = 72 периода
   3. Здесь примета промахивается на 2,3 периода, а при одном проценте это больше двух лишних периодов ожидания
   4. Ошибка систематическая, а не случайная: правило 72 настроено на темпы около 8 процентов и уходит в сторону на низких

   Расхождение на низких темпах — причина, по которой два показания выводятся рядом, а не одно вместо другого. Примета, ошибающаяся на два периода за срок накопления, — это реальная разница, и видеть оба числа нужно, чтобы понимать, какому из них доверять при вашем темпе.

3. Двадцать процентов за период

   1. Точный ответ: ln 2 ÷ ln 1,2 = 0,693147 ÷ 0,182322 = 3,802 периода
   2. Правило 72 даёт 72 ÷ 20 = 3,6 периода
   3. На этот раз примета занижает, а не завышает, — так и происходит выше 8 процентов
   4. Проверка: 1,2 в кубе равно 1,728, а 1,2 в четвёртой степени — 2,074, значит, переход лежит между третьим и четвёртым периодом

   Между этим примером и примером с одним процентом ошибка правила меняет знак — завышает на низких темпах и занижает на высоких, — и это форма приближения, а не его дефект. Темп, при котором два показания подходят ближе всего друг к другу, — около 8 процентов: там примета даёт 9, а точный ответ равен 9,006.

У времени удвоения нет собственной единицы измерения. Оно измеряется в том же периоде, в котором измерялся темп, поэтому 14,207 — это годы, если темп был годовой, месяцы, если месячный, и минуты, если вы наблюдали за бактериями. Страница не может этого знать и не станет угадывать. Темп должен быть положительным и лежать в пределах от 0,1 % до 1 000 % за период; ноль отклоняется, потому что ни у одной из двух формул нет для него ответа, а отрицательный темп описывает убывающую величину, которая никогда не удваивается и относится к калькулятору периода полураспада. Константа 2 зафиксирована: страница находит время удвоения, и попросить у неё время утроения или роста в любое другое число раз нельзя. Рост предполагается гладким и постоянным, приложенным непрерывно, а не годовыми ступенями, — обычная модель, но не то, что в действительности делает банк. Показание правила 72 приближённо по построению и приводится для сравнения, а не как ответ, и разбора погрешности между двумя показаниями здесь нет.

Как считается время удвоения?

Натуральный логарифм двух делится на натуральный логарифм единицы плюс темп. При 5 процентах за период это 0,693147 ÷ 0,048790, что даёт 14,207 периода. Логарифм здесь потому, что удвоение — это повторное умножение неизвестное число раз, а логарифм превращает его в деление.

Что такое правило 72 и насколько оно точно?

Это примета, делящая 72 на темп в процентах, поэтому при 5 процентах удвоение выходит примерно за 14,4 периода. Около 8 процентов она попадает в точку, на низких темпах завышает результат — при 1 проценте даёт 72 против истинных 69,661, — а на высоких занижает: при 20 процентах выходит 3,6 против истинных 3,802. Оба числа показаны рядом именно затем, чтобы разрыв был виден при вашем темпе.

Время удвоения измеряется в годах?

Только если введённый темп был годовым. Темп задаётся за период, а период выбираете вы: месячный темп даёт ответ в месяцах, дневной — в днях, а бактериальная культура, удваивающаяся каждые двадцать минут, — ответ в двадцатиминутных промежутках. Страница намеренно не подписывает результат, потому что не может знать, какой период вы имели в виду.

Почему нулевой или отрицательный темп отклоняется?

Потому что удваиваться нечему. При нуле величина остаётся на месте, а правило 72 делит на ноль; при отрицательном темпе величина убывает, и честный вопрос превращается во время полураспада, а не удвоения. Темпы ниже 0,1 процента за период отклоняются по той же практической причине, а убывающий случай берёт на себя калькулятор периода полураспада.

Чем это отличается от экспоненциального роста?

Направлением. Эта страница берёт темп прироста и возвращает время; калькулятор экспоненциального роста берёт темп и число периодов и возвращает получившуюся величину. Модель под ними одна и та же, поэтому время удвоения в 14,207 периода при 5 процентах — это в точности утверждение, что множитель роста достигает двух именно в этой точке кривой.

• Exponential Growth — growth at a rate proportional to the current quantity, and the doubling time that follows from it — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Function — the base e, the natural logarithm that undoes it, and why ln 2 appears in every doubling formula — Wolfram MathWorld (United States)
• Compound Interest — the same growth factor applied period after period, which is where the doubling time is usually met first — Wolfram MathWorld (United States)