Калькулятор правила 72

Правило 72: лет до удвоения ≈ 72 ÷ годовая ставка; точно: лет = ln 2 ÷ ln(1 + годовая ставка ÷ 100)

Годовая ставка

Годовая ставка в процентах — 8 означает восемь процентов, — и она должна быть больше нуля, потому что обе формулы делят на величину, которая там обращается в нуль

72

Числитель сокращённого способа, подобранный так, чтобы деление было легко делать в уме при тех ставках, которые встречаются чаще всего

ln 2

Натуральный логарифм двух, примерно 0,6931; он появляется потому, что удвоение означает решение уравнения «(1 + ставка) в степени n равно 2»

Лет до удвоения

Сколько времени занимает удвоение при ставке с капитализацией; ответ правила и точный ответ приводятся рядом друг с другом

Погрешность

Ответ правила минус точный ответ: при низких ставках она положительна, при высоких отрицательна

Кратность за срок по правилу

Во сколько раз на самом деле вырастут ваши деньги, если ждать ровно столько, сколько назвало правило; почти при любой ставке это чуть меньше двух

Пользуйтесь сокращённым способом, когда ответ нужен в уме по ходу разговора, и берите точную цифру, когда ответ куда-то записывается. Сложный процент растёт по кривой, а правило заменяет эту кривую делением, поэтому два ответа сходятся только посередине диапазона ставок. Поскольку в том диапазоне, где живут обычные ставки, два ответа близки, правило лучше всего для грубых прикидок при пяти–десяти процентах, и хуже всего на обоих краях: ниже примерно трёх процентов оно сильно завышает ожидание, выше примерно пятнадцати — занижает. Вывод с кратностью отвечает на вопрос, который погрешность поднимает, но не решает: стоит ли вообще что-нибудь потерять из-за промаха в пятую часть года. При 20 % ожидание 3,6 года по правилу вместо точных 3,802 оставляет вам 1,93 ваших денег вместо 2 — недостача около семи процентов от ожидаемого прироста, и это стоит знать, прежде чем применять правило к высокой ставке. Ну а если нужно точное время удвоения, а не прикидка, смотрите на второй вывод, а не на первый.

1. Восемь процентов: ставка, при которой правило почти точно

   1. Правило: 72 ÷ 8 = 9,00 года
   2. Точный ответ: ln 2 ÷ ln 1,08 = 0,693147 ÷ 0,076961 = 9,006 года
   3. Погрешность: 9,00 − 9,006 = −0,006 года, это около двух дней
   4. Рост по ставке 8 % ровно 9 лет: 1,08⁹ = 1,9990

   Это случай по умолчанию, потому что он же и лучший случай правила, и стоит увидеть, насколько хорош лучший случай: промах — около двух дней из девяти лет. Кратность здесь и выдаёт, что даже тут ответ не точен: девять лет по 8 % с капитализацией дают 1,9990 ваших денег, а не 2, и до последней тысячной нужно ещё пару дней.

2. Один процент: правило завышает ожидание больше чем на два года

   1. Правило: 72 ÷ 1 = 72,00 года
   2. Точный ответ: ln 2 ÷ ln 1,01 = 0,693147 ÷ 0,009950 = 69,661 года
   3. Погрешность: 72,00 − 69,661 = +2,339 года
   4. Рост по ставке 1 % 72 года: 1,01⁷² = 2,0471

   На ставке сберегательного счёта правило щедро отмеряет ожидание, и направление промаха обратно тому, что обычно предполагают. Кратность делает это наглядным: ожидание 72 года по ставке 1 % оставляет вам 2,0471 ваших денег вместо 2, то есть лишние два с лишним года не потеряны, а просто перебраны. Это самая большая погрешность во всей таблице.

3. Двадцать процентов: теперь правило занижает ожидание

   1. Правило: 72 ÷ 20 = 3,60 года
   2. Точный ответ: ln 2 ÷ ln 1,2 = 0,693147 ÷ 0,182322 = 3,802 года
   3. Погрешность: 3,60 − 3,802 = −0,202 года
   4. Рост по ставке 20 % за 3,6 года: 1,2^3,6 = 1,9278

   Сравните это со случаем одного процента — и смысл страницы становится виден: знак погрешности переменился. Теперь правило обещает удвоение на пятую часть года раньше срока, и если положиться на него, вы получите 1,9278 ваших денег вместо 2 — около семи процентов ожидаемого прироста. Два этих случая намеренно далеко разнесены по ставке и близки по величине промаха в годах, поэтому сама по себе погрешность в годах — плохой ориентир, и рядом с ней печатается кратность.

Правило 72 — приближение, и эта страница не делает вид, что это не так; она показывает, насколько велико приближение при вашей ставке. Оно предполагает, что ставка капитализируется и остаётся одной и той же весь срок: у ставки, которая меняется на полпути, нет единственного срока удвоения, и правилу нечем его выразить. Оно работает только при ставке выше нуля, потому что и деление, и логарифм отказывают на нуле, — поэтому поле не принимает ставку ниже десятой доли процента. Оно ничего не знает ни о налоге, ни об инфляции, поэтому напечатанный срок удвоения — это срок в номинальных деньгах: при инфляции 3 % вклад, удвоившийся за двадцать четыре года, не удвоился в том, что на него можно купить. И оно описывает одну сумму, которую не трогают, поэтому к серии пополнений оно не относится: там арифметика другая и срок короче. Наконец, это правило про число 72, а не про ваше вложение: точный ответ — тот, которым стоит пользоваться, когда цифра важна, а сокращённый — тот, которым пользуются, когда разговаривают.

Как работает правило 72?

Разделите 72 на годовую ставку — получится примерное число лет, за которое деньги удвоятся. При восьми процентах это 9,00 года, а точный ответ — 9,006 года, то есть правило почти идеально; при одном проценте оно говорит 72 года, тогда как точный ответ — 69,661; при двадцати процентах оно говорит 3,60, тогда как точный ответ — 3,802. Правило — инструмент устного счёта, и эта страница показывает рядом точный срок удвоения.

Почему правило 72 только приблизительно?

Потому что оно заменяет логарифм делением. Точный срок удвоения получается решением уравнения сложного процента относительно числа периодов, а это натуральный логарифм двух, делённый на логарифм единицы плюс ставка. Правило берёт вместо этого фиксированный числитель, и такой числитель хорошо подходит лишь в некотором диапазоне ставок: два ответа пересекаются где-то между семью и восемью процентами и расходятся в противоположные стороны по разные стороны от этой точки.

В какую сторону ошибается правило 72?

В обе, в зависимости от ставки, и это как раз то, чего большинство не ожидает. Ниже точки пересечения правило даёт слишком длинный срок: при одном проценте оно говорит 72 года против точных 69,661, завышая ожидание больше чем на два года. Выше неё правило даёт слишком короткий срок: при двадцати процентах оно говорит 3,60 против точных 3,802. Знак погрешности меняется между семью процентами, где она ещё положительна, и восемью, где она уже стала отрицательной.

Что означает кратность за срок по правилу?

Это то, во сколько раз на самом деле вырастут ваши деньги, если ждать ровно столько, сколько назвало правило. Рост по ставке восемь процентов за 9 лет даёт 1,9990 ваших денег вместо двух, которые подразумевает правило, а при двадцати процентах ожидание 3,60 года по правилу даёт всего 1,9278. Этот вывод переводит погрешность из лет в деньги — в ту форму, в которой промах действительно чего-то стоит.

Можно ли пользоваться правилом 72 при низкой ставке?

Можно, но с падением ставки погрешность быстро растёт, и растёт она в сторону завышения срока. При одном проценте правило говорит 72 года, тогда как точный срок удвоения — 69,661 года, разрыв больше двух лет, а вклад, растущий по одному проценту 72 года, заканчивает на 2,0471 от начальной величины. Ставку на нуле или ниже поле не примет вовсе, потому что и деление, и логарифм там ломаются.

Учитывает ли правило 72 инфляцию или налог?

Нет, и точная цифра на этой странице тоже их не учитывает. Обе работают со ставкой, которую вы ввели, поэтому если это номинальная доходность, то и срок удвоения — в номинальных деньгах: вклад, удвоившийся номинально за двадцать четыре года при инфляции три процента, не удвоился в покупательной способности. То же и с налогом: доходность, облагаемая по ходу, капитализируется по меньшей эффективной ставке, и срок удвоения для посленалоговой ставки длиннее показанного здесь.

• 31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables: the present value factors and the price formula for Treasury notes and bonds — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Compound Interest Calculator — the forward form of the arithmetic, for checking a rate by growing a balance at it — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• H.15 Selected Interest Rates — the published benchmark rates a computed rate is compared against — Board of Governors of the Federal Reserve System (United States)