Калькулятор антилогарифма

x = b^y (b — основание, y — логарифм, x — аргумент)

y

Логарифм, то есть показатель степени, с которого вы начинаете. Он измеряется в единицах показателя и потому может быть любым числом в пределах, описанных ниже: отрицательным, дробным, равным нулю. Ноль соответствует аргументу 1, потому что любое основание в нулевой степени даёт единицу.

b

Основание, то есть число, которое возводится в степень. Оно должно быть положительным и не может равняться единице: единица в любой степени остаётся единицей, поэтому логарифм по основанию 1 не определён, а страница получила бы на любом вводе один и тот же ответ. Основания меньше единицы принимаются — они дают убывание вместо роста, и это законный случай.

b^y

Одно-единственное действие всей страницы: возведение основания в степень логарифма. Никаких таблиц и никаких промежуточных шагов здесь нет, поэтому ответ получается ровно настолько точным, насколько точно основание и показатель представлены числами с плавающей запятой. Именно из-за этой единственной операции страница и берёт на себя проверку крайних случаев.

x

Аргумент, то есть результат и то самое число, логарифм которого был дан. Он всегда положителен: никакая степень положительного основания не даёт ни нуля, ни отрицательного числа, поэтому отрицательный аргумент означал бы ошибку во вводе, а не ответ. Аргумент меньше единицы получается при отрицательном логарифме и означает, что исходное число было дробным.

1. Антилогарифм 3 по основанию 10

   1. Возведём основание в логарифм: 10 в степени 3
   2. 10 × 10 × 10 = 1000
   3. Аргумент равен 1000, ровно
   4. Проверка обратным ходом: логарифм 1000 по основанию 10 равен 3

   Здесь пару страниц видно лучше всего. Калькулятор логарифмов берёт 1000 и возвращает 3, а эта страница берёт 3 и возвращает 1000. Ни один из двух ответов не приблизителен, и проверка — одно возведение в степень, в любую сторону. Какое бы из двух чисел ни дала задача, второе получается из него одной и той же операцией наоборот.

2. Антилогарифм отрицательного логарифма

   1. Отрицательный показатель означает обратную величину положительной степени
   2. 10 в степени 2 равно 100, значит, 10 в степени −2 равно 1 ÷ 100
   3. Аргумент равен 0,01
   4. Аргумент меньше 1 всегда означает, что логарифм был отрицательным

   Половина того, о чём антилогарифм вообще спрашивают, и та половина, которую чаще всего считают вручную неправильно. Любой отрицательный логарифм даёт аргумент между 0 и 1 — никогда не ноль и никогда не отрицательное число, потому что никакая степень положительного основания не доходит ни до того, ни до другого. Аргумент ровно 1 — это разделительная черта, и соответствует она логарифму, равному нулю.

3. Антилогарифм дробного логарифма

   1. Разложим показатель: 10 в степени 2,5 — это 10 в квадрате, умноженное на квадратный корень из 10
   2. 10 в квадрате равно 100, а квадратный корень из 10 примерно равен 3,162278
   3. 100 × 3,162278 = 316,227766
   4. Точное значение иррационально, поэтому ответ округлён до шести знаков после запятой

   Случай, который отличает антилогарифм от таблицы: 2,5 не целое, поэтому и антилогарифм не целый. В точной записи это 100√10 — иррациональное число, и никакое количество знаков после запятой его не исчерпает. Показанные шесть знаков — предел отображения, а не само значение.

Основание должно быть положительным и не может равняться 1, по причине, названной выше: при вычислении в эту сторону основание 1 молча возвращает 1 на любом вводе, и это тот отказ, которого странице нужно избегать больше всего. Логарифм ограничен диапазоном от −1 000 до 1 000. За этими пределами аргумент превысил бы то, что способна представить арифметика двойной точности, — примерно 10³⁰⁸ в любую сторону, — и страница отказывает вместо того, чтобы напечатать бесконечность. Другой конец того же предела важнее: основание 10⁻¹⁵ в степени 100 уходит в машинный ноль, а ноль выглядит совершенно обычным ответом, хотя ни у одного логарифма аргумент не равен нулю, и такой ноль тоже отклоняется. Результат округляется до шести знаков после запятой для отображения. Основания меньше 1 принимаются и дают аргументы меньше 1 — это случай затухания, а не ошибка. Отрицательные основания отклоняются сразу: отрицательное основание в целой степени — действительное число, но в дробной степени — уже нет, а страница принимает дробные показатели, поэтому не принимает ни тех, ни других.

Что такое антилогарифм?

Это число, из которого был взят данный логарифм, то есть результат обратного хода. Если логарифм 1000 по основанию 10 равен 3, то антилогарифм 3 по основанию 10 равен 1000. Считается он одним действием — возведением основания в степень логарифма, — и именно поэтому таблицы антилогарифмов когда-то печатали отдельно от таблиц логарифмов.

Чем это отличается от возведения в степень?

Ничем, кроме точки зрения. Антилогарифм — это и есть возведение основания в степень, просто так его называют, когда смотрят на задачу со стороны логарифма. Разница только в том, что известно: калькулятор степеней берёт основание и показатель и выдаёт степень, а эта страница берёт те же два числа и возвращает то же число, но отвечает при этом на вопрос «из какого числа логарифм был бы равен вот этому».

Почему отрицательный логарифм даёт аргумент меньше единицы?

Потому что отрицательный показатель степени означает обратную величину. Десять в степени −2 — это 1 ÷ 100, то есть 0,01. Никакая степень положительного основания не даёт нуля или отрицательного числа, поэтому аргумент всегда остаётся между нулём и единицей, а не уходит за них.

Каким может быть основание?

Положительным и не равным единице. Единица в любой степени даёт единицу, поэтому логарифм по основанию 1 не имеет смысла, и страница отклоняет такое основание вместо того, чтобы вернуть один и тот же ответ на любом вводе. Отрицательные основания тоже отклоняются, потому что отрицательное число в дробной степени уже не является действительным числом, а страница принимает дробные показатели.

Почему у результата шесть знаков после запятой?

Это предел отображения, а не предел вычисления. Точное значение антилогарифма часто иррационально: при логарифме 2,5 по основанию 10 это 100√10, и никакое конечное число знаков его не исчерпает. Шесть знаков — тот компромисс, при котором числа умеренной величины остаются читаемыми, а мелкие ещё различимы.

Что происходит при очень больших или очень малых основаниях?

Страница считает до тех пор, пока результат остаётся представимым. Логарифм ограничен значениями от −1 000 до 1 000, потому что за этими пределами аргумент перевалил бы за то, что способна выразить арифметика двойной точности, — примерно 10³⁰⁸. Малый конец важнее: основание 10⁻¹⁵ в степени 100 обращается в машинный ноль, а ноль выглядит совершенно обычным ответом, поэтому такой результат отклоняется.

• Antilogarithm — the inverse of the logarithm, from the days when antilogarithms were looked up in printed tables — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — the operation behind the single step this page performs, including the behaviour of negative and fractional exponents — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Function — the general idea the log and antilog pair is an instance of, and why both directions are single steps — Wolfram MathWorld (United States)