Калькулятор двойного угла

sin 2θ = 2 sin θ cos θ cos 2θ = cos²θ − sin²θ tan 2θ = 2 tan θ ÷ (1 − tan²θ)

θ

Угол, с которого вы начинаете, в градусах или радианах. Он может быть отрицательным и может быть больше полного оборота, и страница удваивает именно этот угол, а не полученное из него число

2θ

Удвоенный угол. Он выводится первым, в градусах, потому что всё остальное на странице читается при нём, а не при том угле, который вы ввели

sin θ, cos θ

Синус и косинус исходного угла. Формула их перемножает, а не удваивает ни одно из двух, — поэтому ответ не равен удвоенной величине

Обращайтесь сюда, когда угол собираются удвоить и нужно узнать, куда он попадёт, не выводя формулы вручную: поворот, применённый дважды, фаза, уходящая вперёд на удвоенный шаг, длина волны или период, прочитанные на удвоенной частоте. Формула двойного угла ниже — это те же три тождества, которые применяет калькулятор, так что страница годится и для проверки ручного расчёта. Если у вас есть удвоенное значение и вы хотите вернуть исходный угол, это половинное направление, и такой функции эта страница не выполняет. А если вам нужны три отношения при введённом угле, а не при его удвоенном, это ровно то, что делает страница про тригонометрию, и обе совпадают всюду, где обе определены.

1. Угол 30 градусов, удваивающийся до 60

   1. Дважды тридцать градусов — это шестьдесят, поэтому всё читается там
   2. sin 60 равен √3/2, то есть примерно 0,866, а cos 60 равен половине
   3. Тангенс — это их отношение, √3, то есть примерно 1,7321

   Угол, с которым страница открывается, и тот, ради которого она существует. Синус тридцати градусов равен 0,5, значит, удвоенная величина была бы равна единице, — но синус шестидесяти градусов равен 0,866, и никакое удвоение первого числа второго не даёт. Формула объясняет, откуда берётся 0,866: два умножить на 0,5 умножить на 0,866, то есть произведение синуса и косинуса тридцати. Удвоенный угол больше исходного вдвое; отношение — нет.

2. Угол 22,5 градуса, удваивающийся до 45

   1. Дважды двадцать два с половиной — это сорок пять градусов
   2. При сорока пяти градусах точка лежит на прямой y = x, поэтому синус и косинус равны
   3. Равные значения означают, что тангенс равен ровно единице, без округления

   Двадцать два с половиной — половина сорока пяти, поэтому эта строка читается как формула половинного угла в том направлении, в котором её обычно и нужно применять. Сорок пять — один из немногих углов с точными отношениями, и в обычную таблицу он не попадает, так что путь к нему лежит через удвоенное значение, а не через заучивание. Оба отношения равны 0,7071, потому что на этом угле координаты совпадают, а тангенс равен единице точно, а не 0,9999.

3. Угол 90 градусов, удваивающийся до 180

   1. Дважды девяносто — это сто восемьдесят градусов, половина оборота
   2. Точка лежит на отрицательной полуоси x, поэтому косинус равен минус единице, а синус — нулю
   3. Тангенс — это ноль, делённый на минус единицу, то есть ноль

   Единственная строка, где удвоенный угол доходит до крайнего значения: косинус принимает свою наименьшую возможную величину, минус единицу. Ничего на этой странице не ломается при девяноста градусах, хотя девяносто — тот угол, на котором отказывает страница про тригонометрию: тангенс здесь читается не там, а при ста восьмидесяти градусах, где он ведёт себя совершенно спокойно и равен нулю. Перенести чтение на другой угол достаточно, чтобы уйти с полюса.

4. Угол больше полного оборота, 750 градусов

   1. Семьсот пятьдесят градусов — это тридцать градусов плюс два полных оборота
   2. Удвоение даёт тысячу пятьсот градусов, то есть шестьдесят градусов плюс четыре полных оборота
   3. Четыре полных оборота ничего не меняют, поэтому значения те же, что при шестидесяти

   Все четыре столбца совпадают со строкой тридцати градусов, и так и должно быть: семьсот пятьдесят и тридцать — один и тот же угол, значит, у них одна и та же удвоенная величина и одни и те же три отношения при ней. Никакого особого случая для большого угла здесь нет: удвоенный угол сначала приводится в диапазон и только потом читается, а целые обороты отбрасываются. Угол, который на пять градусов меньше миллиона, ведёт себя точно так же и по той же причине.

Три вещи, которых эта страница не делает. Во-первых, тангенс удвоенного угла не выводится при сорока пяти, при ста тридцати пяти и на любом угле, который удваивается в прямой угол или в три четверти оборота, включая отрицательные версии этих углов и версии больше полного оборота. Отказ уносит с собой весь угол целиком, хотя синус и косинус удвоенного угла там обыкновенные числа. Во-вторых, значения выводятся с четырьмя знаками после запятой, и большинство из них иррациональны: точный синус удвоенных тридцати градусов равен корню из трёх, делённому на два, а 0,866 — это то, во что он превращается после округления. Косинус здесь ведёт себя хуже синуса: формула вычитает один квадрат из другого, а вблизи сорока пяти градусов эти квадраты почти равны, так что небольшой ответ получается как разность двух больших чисел. В-третьих, страница не обращает вычисление. Если дан синус 0,866 для удвоенного угла, то сам удвоенный угол может быть и шестьюдесятью, и ста двадцатью градусами, а исходный — любым из бесконечно многих углов, которые удваиваются в тот или другой; чтобы вернуть по отношению один угол, нужно решение, которого эта страница не принимает.

Синус удвоенного угла — это удвоенный синус угла?

Нет, и именно вокруг этой ошибки построена страница. Синус тридцати градусов равен 0,5, а синус шестидесяти равен 0,866, а не единице. Удвоение угла — не масштабирование его отношений. Синус удвоенного угла на самом деле равен удвоенному произведению синуса и косинуса исходного угла: перемножаются два разных значения, а не удваивается одно.

Почему страница отказывает при 45 градусах?

Потому что сорок пять удваивается в девяносто, а у тангенса девяноста градусов нет значения. Синус и косинус при девяноста в порядке — единица и ноль, — но страница выводит и тангенс тоже, а частичный ответ, выданный за полный, хуже, чем никакого. Тот же отказ распространяется на сто тридцать пять градусов, которые удваиваются в двести семьдесят, и на любой угол, отстоящий от этих двух на пол-оборота.

Каковы три формулы двойного угла?

Синус удвоенного угла равен удвоенному произведению синуса и косинуса исходного. Косинус удвоенного угла равен квадрату косинуса минус квадрат синуса; это же выражение записывают как единицу минус удвоенный квадрат синуса или как удвоенный квадрат косинуса минус единицу — все три дают одно и то же число, и брать надо ту запись, для которой у вас уже есть исходное отношение. Тангенс удвоенного угла равен удвоенному исходному тангенсу, делённому на единицу минус квадрат этого тангенса.

Чем полезен угол 22,5 градуса?

Тем, что его двойной равен сорока пяти, а сорок пять — один из немногих углов с точными отношениями: половина и половина для синуса и косинуса и ровно единица для тангенса. Двадцати двух с половиной нет ни в одной стандартной таблице, но это половина того угла, который в ней есть, поэтому до него можно добраться, прочитав формулу двойного угла справа налево. Такое обратное чтение и представляет собой формулы половинного угла.

Может ли угол быть отрицательным или больше полного оборота?

Да, и то и другое обрабатывается одинаково: угол удваивается, а результат приводится в диапазон, поэтому семьсот пятьдесят градусов читаются ровно как тридцать, а минус тридцать — ровно как триста тридцать. Целые обороты отбрасываются, потому что они ничего не меняют в том, куда указывает удвоенный угол. Следить стоит только за тем, что ответ всегда выводится в диапазоне от нуля до полного оборота.

Можно ли вводить угол в радианах?

Да — рядом с полем есть переключатель единиц, и удвоенный угол в любом случае выводится в градусах, потому что так объявлена единица вывода. Треть пи радиана и шестьдесят градусов — один и тот же угол и одни и те же четыре числа. Как всегда, проверьте, в каких единицах составлен источник, с которым вы сравниваете: в большинстве опубликованных таблиц подразумеваются градусы.

• Double-Angle Formulas — the three identities this page applies, and how they follow from the addition formulas — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Addition Formulas — the identities the double angle ones are a special case of, with everything derived rather than asserted — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, and where each of them has no value — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — the ratios in a right triangle, from first principles — Math is Fun (United Kingdom)