Калькулятор половинного угла

sin(θ/2) = √((1 − cos θ) / 2) cos(θ/2) = √((1 + cos θ) / 2) tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)

θ

Угол, с которого вы начинаете, в градусах или радианах. Он может быть отрицательным и может быть больше полного оборота, и прежде чем что-либо делить, его приводят в диапазон

θ/2

Половина угла. Она всегда выводится в диапазоне от нуля до половины оборота. Все остальные числа на странице читаются здесь, а не при введённом угле

cos θ

Косинус целого угла. Это единственный вход, который нужен формулам для синуса и косинуса, — оба корня строятся из него, поэтому значение на неудобном угле всё равно может оказаться точным

sin θ

Синус целого угла, нужный двум дробным записям тангенса. Он стоит в знаменателе, поэтому не должен быть нулём, — и углы, где он равен нулю, в точности те, где половина упирается в прямой угол

Обращайтесь сюда, когда половинный угол нужен в трёх отношениях и выводить формулы вручную не хочется: колебание на половине вынуждающей частоты, угол между двумя зеркальными поверхностями, хорда, видимая под половиной центрального угла, шаг, равный половине полного оборота или его четверти. Формулы ниже — это те же три тождества, которые применяет калькулятор, так что страница годится и для проверки ручного расчёта. Соседние страницы закрывают остальное. Если у вас есть угол, а не его половина, нужна формула двойного угла — она читает те же соотношения в обратную сторону, и обе страницы совпадают всюду, где обе определены. А если нужны три отношения при угле из поля, а не при его половине, страница про тригонометрию читает их там и ничего не делит.

1. Угол 30 градусов, делящийся до 15

   1. Половина тридцати градусов — пятнадцать, поэтому всё читается там
   2. Формула для синуса: косинус тридцати равен 0,866, единица минус это даёт 0,134, половина от 0,134 равна 0,067, а квадратный корень из неё — 0,2588
   3. Косинус — тот же корень, но под ним плюс: единица плюс 0,866 будет 1,866, половина от этого 0,933, а её квадратный корень 0,9659
   4. Тангенс — их отношение, 0,2588, делённое на 0,9659, что даёт 0,2679; дробная запись сходится: 0,134, делённое на 0,5, даёт 0,268

   Угол, с которым страница открывается, и тот, что показывает ошибку, ради которой страница и сделана. Синус тридцати градусов равен 0,5, значит, половина была бы 0,25, — но синус пятнадцати градусов равен 0,2588, чуть больше половины. Два значения настолько близки, что неверный ответ выглядит правдоподобно, — именно поэтому страница его и печатает. Заметьте ещё, что у целого угла здесь точный косинус, половина корня из трёх, а половина угла всё равно вышла иррациональной: деление угла пополам уводит со стандартной таблицы, а не приводит к ней.

2. Угол 90 градусов, делящийся до 45

   1. Половина девяноста градусов — сорок пять
   2. Косинус девяноста равен нулю, поэтому обе формулы сводятся к квадратному корню из половины, то есть к 0,7071
   3. Оба корня здесь — одно и то же число, потому что под ними одно и то же: единица минус ноль и единица плюс ноль
   4. Равные значения означают, что тангенс равен ровно единице, без округления

   Единственная строка, где знаменитый угол получается из угла, ничем не знаменитого. Сорок пять градусов — один из немногих углов, чьи три отношения выписываются точно: синус и косинус равны половине корня из двух, а тангенс равен единице. Путь к нему лежит через половину угла, а не через заученную таблицу, и эта строка и есть такой путь. Здесь же синус и косинус равны между собой, а это случается при сорока пяти и при двухстах двадцати пяти градусах, — но из этих двух в таблицу попадает только сорок пять.

3. Угол 400 градусов, то есть тот же, что 40

   1. Четыреста градусов — это сорок градусов плюс один целый оборот
   2. Целый оборот ничего не меняет в том, куда указывает угол, поэтому чтение берётся при сорока
   3. Половина сорока — двадцать, значит, три отношения таковы же, как при двадцати градусах: 0,342, 0,9397 и 0,364

   Введите сорок градусов в то же поле, и все четыре числа совпадут — в этом и смысл строки. Если бы угол делился пополам до приведения в диапазон, здесь получилось бы двести градусов, а там двадцать, то есть два разных ответа на один вопрос; поэтому порядок зафиксирован обратный. То же самое верно для семисот пятидесяти градусов: их половина читается как у пятнадцати.

4. Угол минус 30 градусов, делящийся до 165

   1. Минус тридцать градусов — это триста тридцать, то есть треть оборота до полного
   2. Половина трёхсот тридцати — сто шестьдесят пять
   3. Сто шестьдесят пять лежит во второй четверти, поэтому синус положителен, а косинус отрицателен
   4. Значит, и тангенс отрицателен: минус 0,2679

   Строка, на которой спотыкаются. Отрицательный угол делится пополам не в отрицательную половину, потому что угол сначала приводится в диапазон; половина отрицательного угла — это угол в верхней половине окружности. Синус здесь тот же 0,2588, что и в строке тридцати градусов, и это не совпадение: пятнадцать и сто шестьдесят пять — зеркальные отражения относительно вертикальной оси, поэтому синус у них общий, а косинусы противоположны. Тангенс меняет знак вместе с косинусом.

Три вещи, которых эта страница не делает. Во-первых, тангенс не выводится при ста восьмидесяти градусах, при пятистах сорока, при минус ста восьмидесяти и на любом угле, который они представляют с точностью до целого оборота, потому что половина каждого из них — прямой угол, а у тангенса там нет значения. Отказ уносит с собой всё чтение целиком, хотя синус и косинус при этой половине обыкновенные числа — единица и ноль. Во-вторых, три отношения выводятся с четырьмя знаками после запятой, и большинство из них иррациональны; с напечатанной половиной угла дело обстоит иначе: деление целого числа градусов даёт в худшем случае половину градуса, а двух знаков после запятой хватает, чтобы записать её точно. В-третьих, страница не работает в обратную сторону. Половину угла делят с ним все углы на целый оборот от него и никакие другие, поэтому значение в двадцать градусов говорит, что исходный угол был сорок, или четыреста, или любой из бесконечно многих углов между ними. А половины в сто девяносто пять градусов не получится ни при каком вводе: половина всегда выводится в пределах от нуля до половины оборота, так что этот ответ в списке невозможных — при любом исходном угле, включая углы вплоть до миллиона градусов.

Синус половинного угла — это половина синуса угла?

Нет, и именно вокруг этой ошибки построена страница. Синус тридцати градусов равен 0,5, значит, половина — 0,25, но синус пятнадцати градусов равен 0,2588. Эти два числа настолько близки, что неверный ответ выглядит разумно, поэтому страница и печатает верный вместе с шагами. Синус половинного угла на самом деле равен квадратному корню из единицы минус косинус целого угла, делённой на два: корень из косинуса, а не доля синуса.

Каковы три формулы половинного угла?

Синус половинного угла — это квадратный корень из единицы минус косинус целого угла, делённой на два. Косинус половинного угла — тот же корень, только под ним плюс вместо минуса. Тангенс половинного угла записывается тремя способами: единица минус косинус, делённая на синус; синус, делённый на единицу плюс косинус; и квадратный корень из единицы минус косинус, делённой на единицу плюс косинус, — и все три дают одно и то же число. Обычно удобнее брать дробные записи: они вообще не требуют извлечения корня.

Почему отрицательный угол делится пополам не в отрицательный?

Потому что угол приводится в диапазон до деления, а не после. Минус тридцать градусов — это триста тридцать, а половина трёхсот тридцати — сто шестьдесят пять. Если бы угол делился первым, получилось бы минус пятнадцать; это настоящий угол, но он не попадает в тот диапазон, в котором выводится ответ, и разошёлся бы со всей остальной страницей в том, какой из двух зеркальных углов имеется в виду. Ответ всегда берётся тот, что лежит в верхней половине окружности.

Почему страница отказывает при 180 градусах?

Потому что половина ста восьмидесяти — девяносто, а у тангенса девяноста градусов нет значения. Синус и косинус при девяноста в порядке — единица и ноль, — но страница выводит и тангенс вместе с ними, а частичный ответ, выданный за полный, хуже, чем никакого. Тот же отказ распространяется на пятьсот сорок градусов и на минус сто восемьдесят, которые представляют собой тот же угол, и на любой угол, отстоящий от них на целый оборот.

Чем это отличается от формулы двойного угла?

Это одни и те же три соотношения, прочитанные в противоположных направлениях. Формула двойного угла берёт угол и даёт синус, косинус и тангенс при удвоенном; формула половинного угла берёт угол и даёт три отношения при его половине. Разница, которая действительно важна, — в том, куда уходит округление. Удвоение оставляет вас на целых градусах, поэтому при удвоении тридцати получается ровно шестьдесят; деление пополам часто уводит со стандартной таблицы, поэтому половина тридцати — пятнадцать, и её отношения иррациональны.

Можно ли вводить угол в радианах?

Да — рядом с полем есть переключатель единиц, и половина угла в любом случае выводится в градусах, потому что так объявлена единица вывода. Шестая часть пи радиана и тридцать градусов — один и тот же угол и одни и те же четыре числа. Следить надо за одним: единица относится к углу, который вы вводите, а не к половине, — половина всегда показывается в градусах.

• Half-Angle Formulas — the three identities this page applies, with the sign questions the page resolves by keeping the half in the upper half of the circle — Wolfram MathWorld (United States)
• Double-Angle Formulas — the same relations read the other way, and the page these identities are usually met from first — Wolfram MathWorld (United States)
• Trigonometric Functions — the definitions of sine, cosine and tangent, and where each of them has no value — Wolfram MathWorld (United States)
• Sine, Cosine and Tangent — the ratios in a right triangle, from first principles — Math is Fun (United Kingdom)