Калькулятор доходности облигации

Рыночная цена = Σ [ купон × (1 + i)^−k ] + номинальная стоимость × (1 + i)^−n, решается относительно i (k = 1 … n; купон = номинальная стоимость × купонная ставка ÷ число периодов в году; n = число лет до погашения × число периодов в году)

Рыночная цена

Сколько облигация стоит сегодня; это единственная величина, которая здесь задана, а не ищется

Купон

Номинальная стоимость × купонная ставка ÷ число периодов в году — 20 у облигации по умолчанию, выплачивается два раза в год

Номинальная стоимость

Сумма, возвращаемая при погашении, и база, от которой считается купон

Лет до погашения

Сколько осталось, в годах; умножается на число периодов в году и даёт количество предстоящих платежей

Доходность к погашению (i)

Неизвестное, которое здесь ищется: годовая ставка, дисконтирующая каждый оставшийся платёж ровно до рыночной цены

Пользуйтесь этим всякий раз, когда вам называют цену облигации, а её купона для сравнения с чем-либо не хватает. Купонная ставка зафиксирована на весь срок жизни облигации и ничего не говорит о том, сколько вы за неё платите: старая облигация с купоном 4 процента и новая облигация с купоном 4 процента имеют одну и ту же купонную ставку и совершенно разные доходности, если одна стоит 922,05, а другая 1000. Читайте доходность к погашению как отдачу, которую вы действительно получите, продержав бумагу до погашения и реинвестируя каждый купон по той же ставке, а текущую доходность рядом с ней — как честную величину по принципу деньги-на-деньги, но только за этот год: если эти двое далеки друг от друга, цена облигации далека от номинала, и большая часть отдачи приходит не от купонов, а от движения цены к номиналу. Случай, ради которого стоит открыть эту страницу, — цена около суммы всего, что облигация когда-либо заплатит, или выше неё: там текущая доходность всё ещё выглядит как купон, а доходность к погашению находится на нуле или ниже.

1. Номинал 1000, купон 4 %, 10 лет, два раза в год, цена 922,05

   1. Купон равен 1000 × 4 % ÷ 2 = 20 и выплачивается 20 раз за десять лет
   2. При доходности 5 процентов ставка за период равна 5 % ÷ 2 = 2,5 процента
   3. Приведённая стоимость двадцати купонов: 20 × (1 − 1,025⁻²⁰) ÷ 0,025 = 311,78
   4. Приведённая стоимость номинала: 1000 × 1,025⁻²⁰ = 610,27
   5. Вместе они дают 311,78 + 610,27 = 922,05, то есть ровно введённую цену, значит доходность равна 5 процентам
   6. Текущая доходность: 40, выплачиваемые каждый год, ÷ 922,05 = 4,34 процента — дисконт 77,95, который облигация возвращает сверх купонов, здесь как раз и не учтён

   Это случай по умолчанию со страницы цены облигации, прочитанный в обратную сторону, и такой прогон — самая дешёвая проверка того, что обе страницы считают одну и ту же арифметику: там облигацию оценили при доходности 5 процентов и получили 922,05, здесь на вход подают 922,05 и получают обратно 5. Заметьте ещё, что две доходности расходятся на 0,66 пункта у облигации, цена которой всего на 7,8 процента ниже номинала: с падением цены это расстояние растёт быстро, что и показывает следующий пример.

2. Та же облигация при цене 728,19 — доходность 8 %

   1. Купон по-прежнему 20 каждые полгода, поэтому сдвинулась только цена
   2. При доходности 8 процентов ставка за период равна 4 процентам
   3. Приведённая стоимость двадцати купонов: 20 × (1 − 1,04⁻²⁰) ÷ 0,04 = 271,8066
   4. Приведённая стоимость номинала: 1000 × 1,04⁻²⁰ = 456,3869
   5. Вместе 271,8066 + 456,3869 = 728,1935, что округляется до введённых 728,19
   6. Текущая доходность: 40 ÷ 728,19 = 5,49 процента против доходности к погашению 8 процентов

   Разрыв в 2,51 пункта между 5,49 и 8 — это те 271,81, которые облигация возвращает сверх своей цены, и в нём вся причина, по которой глубоко дисконтную облигацию нельзя судить ни по купону, ни по текущей доходности. Если читать здесь только текущую доходность, отдача занижается примерно на треть.

3. Бескупонная облигация: номинал 1000, купона нет, цена 610,27

   1. Ставим купонную ставку в ноль: до погашения облигация не платит вообще ничего
   2. 1000 × 1,025⁻²⁰ = 610,27, поэтому при доходности 5 процентов вся цена — это продисконтированный номинал
   3. Делить купон не на что, поэтому текущая доходность равна нулю: у бескупонной облигации текущей доходности в сколько-нибудь полезном смысле нет
   4. Дисконт 389,73 — это и есть вся отдача, и приходит он целиком в момент погашения

   Самое чистое доказательство того, что доходность — это не купон и не текущая доходность: облигация платит 0 процентов, а приносит 5, и ни один столбец, кроме доходности к погашению, об этом не говорит. Поэтому же страница умеет выдавать доходность для облигации, текущая доходность которой бессмысленна, — а это и есть большая часть работы любого долгового отдела.

Это чистая версия доходности облигации, а реальные расчёты грязнее в четырёх конкретных отношениях. Страница оценивает облигацию, у которой следующий купон наступит через целый период, поэтому она не учитывает накопленный купонный доход: между датами выплат продавцу причитается уже прошедшая часть текущего купона, и настоящий счёт добавляет её к котируемой цене. По этой причине здесь чистая цена, а не грязная. Предполагается, что каждый оставшийся купон — полный период, поэтому облигация с неполным первым или последним периодом вне области применения. Купонная ставка трактуется как годовая, поделённая поровну между периодами выплат, а не начисленная по фактическому числу дней, и никакой разницы между конвенциями 30/360 и фактический/фактический, по которым считаются реальные сделки, здесь не делается. Сообщаемая доходность к погашению предполагает, что каждый купон реинвестируется по той же ставке до погашения; это стандартное определение и одновременно стандартная оговорка: реинвестируйте по более низкой ставке — и фактическая отдача окажется ниже. Точность ответа ограничена введённой ценой: цена с двумя знаками закрепляет доходность примерно до тысячной доли пункта, и изменение цены на одну копейку её сдвигает. С другой стороны, у цены выше суммы всего, что облигация когда-либо заплатит, положительной доходности нет вообще, и страница говорит об этом, а не печатает отрицательное число. Ничто здесь не моделирует риск дефолта, ликвидность, налоги, право досрочного погашения или фонд погашения, и ни к одной величине не привязана валюта.

Что такое доходность к погашению?

Это единственная годовая ставка, при которой все платежи, которые облигация вам ещё должна, — каждый оставшийся купон и номинал при погашении — дисконтируются ровно до той цены, которая стоит сегодня. Это отдача, которую вы получили бы, купив по этой цене и продержав бумагу до погашения, и единственная доходность, позволяющая сравнивать облигации с разными купонами и разными ценами. В случае по умолчанию у облигации с номиналом 1000, купоном 4 процента два раза в год, десятью годами до погашения и рыночной ценой 922,05 доходность к погашению равна 5 процентам.

Как рассчитать доходность к погашению облигации?

Запишите уравнение цены — рыночная цена равна продисконтированным купонам плюс продисконтированный номинал — и найдите ставку, при которой оно верно. Как только до погашения остаётся больше одного периода, переставить это уравнение относительно ставки нельзя, поэтому ответ ищут, перебирая ставки и сужая отрезок. Для облигации по умолчанию 5 процентов дают 311,78 купонами плюс 610,27 номиналом, то есть ровно 922,05 — введённую цену.

Почему доходность к погашению отличается от текущей доходности?

Потому что они измеряют разное. Текущая доходность — это годовой купон, делённый на цену, и на этом она останавливается: 40 ÷ 922,05 = 4,34 процента. Доходность к погашению учитывает ещё и 77,95, которые эта облигация возвращает сверх своей цены, растянутые на десять лет до погашения, поэтому и читается как 5 процентов. Разрыв мал у облигации около номинала и велик у той, что далеко под ним: при цене 728,19 текущая доходность равна 5,49 процента против доходности к погашению 8.

Что такое дисконтная облигация?

Та, что стоит меньше возвращаемого ею номинала; так бывает, когда требуемая рынком доходность выше купонной ставки, которую платит облигация. Облигация по умолчанию — дисконтная: она стоит 922,05 и возвращает 1000, то есть идёт с дисконтом 77,95, и часть отдачи приходит именно этой разницей цен, а не купонным доходом. Чем глубже дисконт, тем большая доля общей отдачи из него и состоит: при цене 728,19 облигация возвращает на 271,81 больше, чем стоит.

Что значит, когда доходность облигации выше её купонной ставки?

Что вы покупаете её ниже номинала, поэтому купонная ставка занижает то, что вы заработаете. Облигация с купоном 4 процента, оценённая под доходность 8 процентов, платит ровно те же 40 в год, что и облигация с купоном 4 процента, оценённая под доходность 4 процента; разница в том, что первая стоит 728,19 и возвращает 1000. Всякий раз, когда доходность к погашению выше купонной ставки, цена обязана быть ниже номинала, а когда ниже — выше него.

Может ли доходность к погашению быть отрицательной?

На этой странице — нет, и для облигации, которую вы стали бы покупать, тоже. Отрицательная доходность означает, что сегодня вы платите больше, чем облигация когда-либо вернёт, то есть больше номинала плюс все оставшиеся купоны; на некоторых государственных рынках это встречается, но эта страница такого не показывает. Если вы введёте рыночную цену выше суммы всего, что облигация заплатит, страница остановится и скажет об этом, а не напечатает отрицательную ставку: арифметически такое число было бы определено, а финансово — вводило бы в заблуждение.

Какую доходность использовать для сравнения двух облигаций?

Доходность к погашению, потому что только она учитывает то, сколько вы платите. Две облигации с одной и той же купонной ставкой 4 процента и одним и тем же сроком — не одна и та же инвестиция, если одна стоит 922,05, а другая 1000, и купонная ставка этого не покажет. Текущая доходность полезна как проверка того, какая часть отдачи приходит деньгами уже в этом году, а не приростом цены, — и когда эти две величины далеки друг от друга, разрыв между ними и есть ответ на вопрос, который стоит задать до покупки.

• 31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables: the present value factors and the price formula this page solves in reverse — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Understanding Pricing and Interest Rates — why the price of a note or bond moves in the opposite direction to its yield — U.S. Department of the Treasury, Bureau of the Fiscal Service (TreasuryDirect), United States
• Current Yield — Investor.gov glossary (the ratio of the interest paid on a bond to its market price, which is the figure printed beside the yield to maturity) — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)