Калькулятор цены облигации

Цена облигации = Σ [ купон за период × (1 + i)^−k ] + номинальная стоимость × (1 + i)^−n (k = 1 … n; i = доходность к погашению ÷ число периодов в году; n = число лет × число периодов в году)

Номинальная стоимость

Сумма, возвращаемая при погашении, и база, от которой считается купон; она должна быть больше нуля

Купонная ставка

Годовая ставка, которую облигация платит на свою номинальную стоимость; она делится поровну между периодами выплат в году, а не начисляется по фактическим дням

Доходность к погашению

Годовая ставка, по которой дисконтируется каждый платёж, — та отдача, которую облигация предлагает при запрашиваемой за неё цене

Лет до погашения

Целое число оставшихся лет; число платежей равно ему, умноженному на количество купонов в год

Частота купона

Сколько раз в год платится купон: раз в год, два раза в год, раз в квартал или раз в месяц

Купон за период

Номинальная стоимость, умноженная на купонную ставку и делённая на число выплат в году, — сумма за период, а не за год

Текущая доходность

Годовой купон, делённый на цену; это не доходность к погашению, потому что здесь не учитывается прибыль или убыток при погашении

Премия или дисконт

Цена минус номинал: положительно, когда облигация стоит дороже, чем возвращает, отрицательно — когда дешевле

Пользуйтесь этим, чтобы проверить названную вам цену, посмотреть, что сделает с уже имеющейся облигацией изменение доходности, или понять, почему одна и та же облигация стоит по-разному в двух местах. За этим же расчётом стоит факт, который многих удивляет: цена уже купленной облигации движется в сторону, противоположную её доходности, поэтому инвестор, держащий бумагу до погашения, от роста ставок не страдает, а тот, кому приходится продавать, — страдает. Оцените облигацию при нескольких доходностях, и закономерность станет конкретной: таблица ниже ведёт одну и ту же облигацию от нулевой доходности, при которой она стоит номинал плюс все купоны, которые когда-либо будут выплачены, через точку, где доходность равна купонной ставке и цена точно равна номиналу, и дальше к доходности восемь процентов, где цена уходит глубоко в дисконт.

1. Номинал 1000, купон 4 %, 10 лет, цена при доходности 5 %

   1. Купон за период: 1000 × 4 % ÷ 2 = 20
   2. Периодов: 10 лет × 2 = 20, а доходность за период равна 5 % ÷ 2 = 2,5 %
   3. Приведённая стоимость двадцати купонов: 20 × (1 − 1,025⁻²⁰) ÷ 0,025 = 311,78
   4. Приведённая стоимость номинала: 1000 × 1,025⁻²⁰ = 610,27
   5. Цена: 311,78 + 610,27 = 922,05, дисконт 77,95
   6. Текущая доходность: 40 ÷ 922,05 = 4,34 %

   Это значение по умолчанию, и здесь доходность выше купонной ставки, поэтому облигация продаётся ниже номинала. Дисконт — не штраф, а механизм, который поднимает вашу отдачу с 4 процентов, которые платит купон, до 5 процентов, которые предлагает рынок: вы платите 922,05 за поток, который при погашении стоит 1000, и 77,95, полученные в конце, восполняют разницу. Обратите внимание, что купон за период равен 20, то есть это полугодовая сумма, и что текущая доходность 4,34 процента выше купонной ставки 4 процента, потому что заплаченная цена ниже номинала.

2. Та же облигация по номиналу: доходность равна купонной ставке

   1. Купон за период: 1000 × 4 % ÷ 2 = 20
   2. Доходность за период: 4 % ÷ 2 = 2 %
   3. Приведённая стоимость двадцати купонов: 20 × (1 − 1,02⁻²⁰) ÷ 0,02 = 327,03
   4. Приведённая стоимость номинала: 1000 × 1,02⁻²⁰ = 672,97
   5. Цена: 327,03 + 672,97 = ровно 1000,00

   Когда доходность равна купонной ставке, две приведённые стоимости вынужденно складываются в номинал, и эта строка — ось, вокруг которой вращается вся таблица: выше неё облигация стоит дороже, чем возвращает, ниже — дешевле. Эта же строка показывает, что текущая доходность и доходность к погашению — не одно и то же: здесь обе равны 4 процентам, но при любой другой цене они расходятся, потому что текущая доходность не учитывает прибыль или убыток при погашении облигации.

3. Выплата два раза в год вместо одного слегка меняет цену

   1. Купон за период: 1000 × 4 % ÷ 1 = 40, выплачивается десять раз
   2. Доходность за период: 5 % ÷ 1 = 5 %
   3. Приведённая стоимость десяти купонов: 40 × (1 − 1,05⁻¹⁰) ÷ 0,05 = 308,87
   4. Приведённая стоимость номинала: 1000 × 1,05⁻¹⁰ = 613,91
   5. Цена: 308,87 + 613,91 = 922,78, дисконт 77,22

   Та же облигация, та же доходность, тот же срок, изменено одно число. Выплата купона раз в год вместо двух даёт 922,78 вместо 922,05, потому что деньги, полученные позже, дисконтируются сильнее. Разрыв в этом случае мал, а вот столбец купона за период — нет: здесь он равен 40 против 20 в полугодовом случае, и оба числа относятся к одному периоду. Это самая неверно читаемая величина на странице, поэтому подпись и говорит об этом прямо.

Это чистая версия оценки облигаций, а реальные расчёты грязнее в трёх конкретных отношениях. Страница оценивает облигацию, у которой следующий купон наступит через целый период, поэтому она не учитывает накопленный купонный доход: продавцу причитается та часть текущего купона, которая уже прошла, и настоящий счёт добавляет её сверху. Предполагается, что каждый оставшийся купон — полный период, поэтому облигация с неполным первым или последним купоном, что обычно для новых выпусков, здесь не моделируется. Оцениваются только простые облигации, поэтому у облигации, которую эмитент может погасить досрочно или которую вы можете предъявить к погашению, цена зависит и от этих опционов, а не только от доходности. Помимо этого, расчёт использует целые годы и равномерные периоды, а не календарные даты, поэтому он не совпадает с конвенциями подсчёта дней, по которым рассчитываются реальные сделки, — вплоть до копейки. Он игнорирует налог на купон и на прирост капитала, игнорирует издержки сделки и ничего не говорит о кредитном риске: введённая доходность принимается как данность, а облигацию, которая может быть не погашена, следует оценивать при более высокой.

Как рассчитать цену облигации?

Продисконтируйте к сегодняшнему дню все платежи, которые облигация сделает, по доходности к погашению и сложите их. Для облигации с номиналом 1000, купоном 4 процента два раза в год и десятью годами до погашения, оцениваемой при доходности 5 процентов: двадцать купонных платежей по 20 стоят сегодня 311,78, номинал 1000 стоит 610,27, а цена равна 922,05.

Почему цена ниже номинала?

Потому что доходность, по которой вы оцениваете, выше купонной ставки, которую платит облигация. Облигация платит на номинальную стоимость только 4 процента, поэтому никто не даст за неё 1000, когда в другом месте доступны 5 процентов; цена падает до тех пор, пока купон плюс прибыль при погашении не сложатся в 5 процентов отдачи. Разница между ценой и номиналом и есть дисконт, а тот же механизм в обратную сторону даёт премию, когда купонная ставка выше доходности.

Чем текущая доходность отличается от доходности к погашению?

Текущая доходность — это годовой купон, делённый на заплаченную цену, поэтому в случае по умолчанию это 40, делённое на 922,05, то есть 4,34 процента. Доходность к погашению — это ставка, которую вы заработали бы, продержав облигацию до конца, и она учитывает 77,95, которые вы получаете, когда облигация за 922,05 гасится за 1000. У облигации, оценённой по номиналу, эти две величины равны; при дисконте текущая доходность — меньшая из двух, а при премии — большая.

Показанный купон — за год или за период?

За период. Облигация с номиналом 1000 и купоном 4 процента платит в сумме 40 в год, и эти 40 делятся на столько платежей, сколько их в году: 20 два раза в год, 10 четыре раза в год, 40 один раз в год. Поле на этой странице — сумма одного платежа, поэтому одна и та же облигация с купоном 4 процента показывает 20 в полугодовом случае и 40 в годовом.

Почему частота выплат меняет цену?

Потому что деньги, выплаченные раньше, можно раньше реинвестировать, поэтому облигация, которая платит раньше, при той же доходности стоит немного больше. На облигации по умолчанию выплата два раза в год даёт 922,05, а раз в год — 922,78, разница 73 копейки; квартальные и месячные выплаты опускают цену ещё немного, до 921,68 и 921,43. При таких ставках эффект мал, но он растёт вместе с купоном и сроком.

Что будет, если доходность к погашению равна нулю?

Каждый коэффициент дисконтирования становится единицей, и цена оказывается просто суммой всего, что облигация когда-либо заплатит: номинал плюс все купоны. Для облигации с номиналом 1000 и купоном 4 процента два раза в год с десятью годами до погашения это 1000 плюс двадцать платежей по 20, то есть ровно 1400. Этот случай стоит знать, потому что формула, записанная в замкнутом виде, обязана обрабатывать его отдельно, а арифметике на этой странице этого не требуется.

• 31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables: the present value factors and the price formula for Treasury notes and bonds — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)
• Understanding Pricing and Interest Rates — why the price of a note or bond moves in the opposite direction to its yield — U.S. Department of the Treasury, Bureau of the Fiscal Service (TreasuryDirect), United States
• Current Yield — Investor.gov glossary (the ratio of the interest paid on a bond to its market price) — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)