Калькулятор доходности к погашению

Чистая цена за 100 = Σ (купон за период ÷ (1 + y ÷ m)^t) + 100 ÷ (1 + y ÷ m)^(m × n)

Чистая цена за 100

Чистая цена: сколько вы платите за каждые 100 номинала, без накопленного купона; доходность — это ставка, которая дисконтирует все оставшиеся платежи ровно до этого числа

Купонная ставка

Купонная ставка в процентах от номинала за год, выплачиваемая m равными частями; ноль допустим и описывает облигацию, которая ничего не платит до самого погашения

m

Сколько купонных платежей приходит за год (раз в год, два раза в год, раз в квартал или раз в месяц); одна и та же облигация, котируемая при двух частотах, — это две разные доходности

n

Сколько лет осталось до возврата номинала, целым числом, поэтому число оставшихся платежей равно m × n

y

Доходность к погашению: номинальная годовая ставка с начислением m раз в год, которая решает уравнение, — то самое число, которое котируют дилеры

Эффективная годовая доходность

Эффективная годовая доходность — та же ставка, переписанная как один годовой множитель, (1 + y ÷ m)^m − 1; она всегда выше y, когда m больше единицы, и разрыв этот есть само начисление

Текущая доходность

Текущая доходность — купоны за год, делённые на чистую цену, без учёта выигрыша или потери от возврата к номиналу; именно поэтому она расходится с доходностью к погашению на любой облигации, которая котируется не по номиналу

Берите её, чтобы сравнивать облигации с разными купонами и разными сроками по одной шкале: ровно для этого котируемая доходность и нужна. Облигацию с купоном 2 % по 92 и облигацию с купоном 8 % по номиналу можно упорядочить по этому числу, тогда как по купонам их упорядочить нельзя. Берите её, чтобы проверить цену, которую вам назвали, или чтобы увидеть, какую ставку рынок закладывает в цену. Неверный это инструмент в трёх местах. Он предполагает, что вы держите до погашения и что каждый купон реинвестируется по той же ставке, а такого обещания не даёт ни один рынок: облигация, пройденная через падение ставок, заработает меньше, чем обещала её доходность к погашению. Это номинальная ставка с начислением по частоте купона, поэтому облигация с двумя выплатами в год и облигация с ежемесячными выплатами, котируемые по одной доходности, за год платят не одно и то же; для этого рядом и стоит эффективная годовая доходность. И о кредитном риске она не говорит ничего: доходность заметно выше государственной кривой на том же сроке — это рынок, назначающий цену реальному шансу не получить деньги назад.

1. Облигация с купоном 4 % на десять лет по 92,205 за 100

   1. Купоны за год: 4,00 на каждые 100 номинала, выплачиваемые как 2,00 дважды в год, то есть 20 платежей по 2,00
   2. Найдите ставку, которая дисконтирует 20 платежей по 2,00 плюс 100 в конце до 92,205: 2,5 % за полугодие
   3. Запишите её так, как это делают дилеры, удвоив полугодовую ставку: 5,000 % в год
   4. Перепишите её как один годовой множитель: 1,025 × 1,025 − 1 = 5,0626 % эффективных
   5. Текущая доходность, которая игнорирует возврат к номиналу: 4,00 ÷ 92,205 = 4,34 %

   Это случай по умолчанию, и две последние строки — его суть. Котируемые 5,000 % и 5,0626 % — одна и та же ставка, записанная по двум соглашениям, и второе из них есть то, что деньги действительно делают за год: 0,0626 — не округление, а полугодовое начисление. Текущая доходность 4,34 % — наименьшая из трёх и та, которую чаще всего называют в газете, потому что только её можно посчитать в уме; она же единственная, которая не замечает, что облигация покупается на 7,795 ниже номинала и будет погашена по 100.

2. Бескупонная облигация по 61,027 даёт 5 % и нулевую текущую доходность

   1. Купонная ставка равна нулю, поэтому каждый купон в уравнении — это 0,00 и остаётся только 100 в момент погашения
   2. 100 ÷ 1,025^20 = 100 ÷ 1,638616 = 61,027
   3. Запишите это так, как это делают дилеры: 2,5 % за полугодие, удвоенные до 5,000 % в год
   4. Перепишите как один годовой множитель: 1,025 × 1,025 − 1 = 5,0625 % эффективных
   5. Текущая доходность: 0,00 ÷ 61,027 = 0,00 %

   Бескупонная облигация — то место, где два соглашения расходятся чище всего, потому что купона, который путал бы арифметику, здесь нет: вся отдача — это 38,973 между ценой и номиналом, и приходит она вся сразу. Котируемая доходность равна 5,000 %, эффективная годовая — 5,0625 %, и разница между ними есть всё начисление целиком. Текущая доходность здесь ровно ноль, так что читатель, отбирающий облигации по текущей доходности, эту не увидит никогда, и это самый наглядный довод против такого отбора.

3. Цена с одним знаком: 95,5 даёт 4,566 %

   1. Купоны: 20 платежей по 2,00 плюс 100, возвращаемые в конце
   2. Решите уравнение относительно полугодовой ставки, которая дисконтирует этот поток до 95,5: 2,2831 % за полугодие
   3. Удвойте её для котируемой доходности, печатаемой с тремя знаками: 4,566 % в год
   4. Эффективная годовая доходность: 1,022831 × 1,022831 − 1 = 4,6177 %
   5. Текущая доходность: 4,00 ÷ 95,5 = 4,19 %

   Цены на рынке котируются с дробной частью пункта, а не целыми числами, и доходность, которая получается в ответ, почти никогда не бывает круглой; поэтому страница печатает три знака для котируемой доходности и четыре для эффективной. Порядок трёх чисел при этом сохраняется: эффективная годовая доходность выше котируемой, а текущая ниже обеих, потому что при 95,5 облигация всё ещё покупается с дисконтом и 4,5 от возврата к номиналу принадлежат тому, кто держит её до конца.

Три вещи, которыми это число не является. Это не обещание: доходность к погашению предполагает, что каждый купон реинвестируется по той же ставке до погашения, и если ставки за это время упадут, вы заработаете меньше, чем она говорила, — этот разрыв называется риском реинвестирования, и никакая котировка доходности его не оценит. Это номинальная ставка с начислением по частоте купона, поэтому она несравнима между облигациями с разной частотой выплат, пока вы не посмотрите на эффективную годовую доходность рядом. И она использует чистую цену, без накопленного купона: для оценки облигации между купонными датами это правильно, но означает, что здешняя цена — не та сумма наличных, которую вы отдаёте. Текущая доходность рядом — мера проще и с определённым слепым пятном: поскольку она игнорирует разницу между ценой и номиналом, она занижает отдачу по облигации с дисконтом и завышает её по купленной с премией, а на бескупонной облигации она равна нулю независимо от того, сколько та зарабатывает. И наконец, ничего здесь не знает ни о кредитном риске, ни о налогах, ни об условиях досрочного выкупа; облигация, которую могут погасить досрочно, может так и не дойти до срока, который предполагает эта страница.

Как посчитать доходность к погашению?

Это ставка, которая дисконтирует все оставшиеся платежи — каждый купон и номинал в конце — до цены, которую вы платите. Переставить формулу так, чтобы получить её напрямую, нельзя, поэтому её находят поиском: задайте ставку, оцените облигацию по ней и сужайте диапазон, пока цена не совпадёт. Для облигации с купоном 4 % на десять лет по 92,205 за 100 с выплатами дважды в год ответ — 2,5 % за полугодие, то есть котируемые 5,000 % в год.

Почему чистая цена за 100 номинала, а не сумма в валюте?

Потому что номинал в уравнении сокращается: котировка за 100 делает две разные облигации сравнимыми с одного взгляда и убирает поле, которое можно было бы заполнить только неправильно. Облигация по 92,205 стоит 92,205 % номинала независимо от того, равен номинал 100 или 1 000 000. Если ввести вместо этого сумму в валюте — 922,05 для той же облигации, — сообщения об ошибке не будет: получится доходность ниже нуля, потому что арифметика обязывает вас вернуть те 100, которые предполагает уравнение.

Чем доходность к погашению отличается от эффективной годовой доходности?

Это два соглашения записи одной и той же ставки. Котируемая доходность к погашению номинальна: это ставка за период, умноженная на число периодов, поэтому 2,5 % дважды в год записываются как 5,000 %. Эффективная годовая доходность переписывает её как множитель за целый год, 1,025 × 1,025 − 1 = 5,0626 %, и это то, что деньги действительно делают. Равны они только тогда, когда купон платится раз в год. При квартальных выплатах те же котируемые 5,000 % дают 5,0946 % эффективных, а при ежемесячных — 5,1162 %: чем чаще начисляется процент, тем шире этот разрыв.

Почему текущая доходность отличается от доходности к погашению?

Потому что текущая доходность считает только купоны. Это купоны за год, делённые на цену, и она ничего не говорит о том, что облигация, купленная ниже номинала, будет погашена по номиналу, а это настоящая часть отдачи. В случае по умолчанию купон равен 4,00 против цены 92,205, поэтому текущая доходность — 4,34 %, тогда как доходность к погашению — 5,000 %; недостающие 0,66 пункта — это те 7,795 возврата к номиналу, размазанные по десяти годам. На облигации, котируемой ровно по 100, эти два числа совпадают, а на бескупонной облигации текущая доходность равна нулю независимо от того, сколько та зарабатывает.

Влияет ли частота купона на ответ?

Она меняет котируемое число даже тогда, когда облигация стоит ровно столько же. Десять лет купонов по 4 % — это 40,00 на каждые 100 номинала в сумме, как их ни плати, но дисконтирование различается: одна и та же облигация, оценённая под 5 % годовых, стоит 92,278 при годовых выплатах, 92,168 при квартальных и 92,143 при ежемесячных. Причин две. Номинальная котировка — это ставка за период, умноженная на число периодов, поэтому одна и та же эффективная отдача записывается тем большим номинальным числом, чем чаще начисление. И платежи, приходящие раньше, стоят дороже, поэтому облигация с ежемесячными выплатами стоит чуть больше годовой при одной и той же котируемой ставке.

О чём говорит доходность к погашению выше купонной ставки?

О том, что облигация котируется ниже номинала, поэтому часть вашей отдачи — это выигрыш, который вы получаете при погашении по 100. В случае по умолчанию купонная ставка равна 4 %, а доходность — 5,000 %, потому что цена равна 92,205. Верно и обратное: облигация, котируемая выше номинала, даёт меньше своего купона, потому что при возврате к номиналу вы несёте потерю. Крайний случай — первая строка справочной таблицы, где цена 140 за 100 есть в точности сумма всех оставшихся платежей вообще без дисконтирования: доходность равна 0 %, а у любой цены выше неё неотрицательного ответа нет.

• Understanding Pricing and Interest Rates — why a note or bond sells at a discount or a premium, and what the quoted yield means — U.S. Department of the Treasury, Bureau of the Fiscal Service (TreasuryDirect), United States
• Yield — Investor.gov glossary, for the rate a bond's payments imply at a given price — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• Bonds — Investor.gov glossary, for the coupon, the face value and the maturity date that the equation is built out of — U.S. Securities and Exchange Commission, Investor.gov (United States)
• 31 CFR Part 356, Appendix B — Formulas and Tables: the present value formula the Treasury uses to price its own notes and bonds from a yield — U.S. Department of the Treasury rule, via the Electronic Code of Federal Regulations (United States)