Calculadora de coeficiente angular

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) b = y₁ − m·x₁ ax + by = c ⇒ m = −a ÷ b, b = c ÷ b

x₁, y₁, x₂, y₂

Os dois pontos, usados quando o seletor está em dois pontos. O primeiro ponto e o segundo são intercambiáveis — trocá-los inverte o sinal do numerador e do denominador ao mesmo tempo, então a inclinação dá o mesmo. O que não é intercambiável é pôr um x numa caixa de y: nada confere isso, e o resultado será um número de aparência perfeitamente comum

a, b, c

Os três coeficientes da equação da reta ax + by = c, usados quando o seletor está em equação. Eles só são lidos nesse modo, e no outro são ignorados sem nenhuma indicação na tela. Repare que o b aqui é o coeficiente de y, não o intercepto em y — o intercepto é uma saída separada, e confundir os dois é o erro mais comum nesta forma

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

A inclinação a partir de dois pontos: a variação vertical dividida pela horizontal. É o mesmo número por mais afastados que os pontos estejam, e é isso que faz uma reta ser reta — pegue dois pontos a um quilômetro de distância ou dois pontos a um milímetro e a razão não muda. O único caso que quebra isso é x₁ igual a x₂, onde o denominador é zero e a reta é vertical

m = −a ÷ b

A inclinação a partir da equação da reta, obtida reorganizando ax + by = c em y = (−a ÷ b)x + (c ÷ b). O sinal de menos é fácil de perder, e perdê-lo dá uma inclinação de módulo certo com sinal errado — que é exatamente o erro que faz uma reta parecer subir quando ela desce. Quando b é zero a reorganização divide por zero e a reta é vertical, então esse caso é recusado em vez de aproximado

b = y₁ − m·x₁

O intercepto em y, onde a reta cruza o eixo vertical. Ele é calculado a partir da inclinação e de um dos pontos em vez de lido num gráfico, e é impresso para toda entrada, inclusive aquelas em que ele é zero. Uma reta que passa pela origem tem intercepto exatamente 0, o que vale ver escrito: é o caso em que a equação não tem termo constante nenhum

angle = arctan(m)

O ângulo de inclinação, o arco-tangente da inclinação em graus, que fica entre −90 e 90. Uma inclinação de 1 dá 45 graus, uma de −1 dá −45, e uma reta horizontal dá 0. Ele não é o ângulo de inclinação usado na geometria analítica, que vai de 0 a 180 e diria 135 para a mesma reta de −45; o arco-tangente é usado aqui porque é o ângulo que sai direto da inclinação, um para um e invertível

Use quando uma inclinação tiver que sair de uma reta que chegou até você em qualquer uma das duas formas usuais, e também quando a equação de uma reta precisar ser lida quanto à inclinação e ao intercepto sem ser reorganizada à mão — 2x + 3y = 6 é inclinação −2/3 e intercepto 2 num passo só. É a página para conferir uma reta que você já desenhou: uma inclinação que volta com o sinal errado, ou um intercepto que não bate com o lugar em que a reta cruza o eixo, significa que a equação foi mal lida em algum ponto. O ângulo é útil quando a inclinação precisa ser comparada com uma rampa física, embora seja o arco-tangente e não o ângulo de inclinação, então leia aquela coluna com a diferença em mente. Recorra à Calculadora de inclinação quando a pergunta for sobre o declive de uma rampa e não sobre uma reta — é a mesma aritmética com outro vocabulário, e a resposta de lá sai em porcentagem. Recorra à calculadora de fórmula de Bhaskara quando a equação tiver um termo x², já que uma curva não tem uma inclinação única e aquela página acha onde ela cruza o zero. Recorra à calculadora de forma ponto-inclinação quando a inclinação já for conhecida e o que você quiser for a equação, que é a pergunta desta página lida ao contrário.

1. A reta que passa por (1, 2) e (4, 8)

   1. A variação em y: 8 − 2 = 6
   2. A variação em x: 4 − 1 = 3
   3. A inclinação: 6 ÷ 3 = 2
   4. O intercepto: 2 − 2 × 1 = 0, então a reta passa pela origem
   5. O ângulo: arctan(2) = 63,4349 graus

   O caso de dois pontos com todas as respostas redondas menos o ângulo — que é a situação comum, já que o arco-tangente de uma inclinação racional quase nunca é um número inteiro de graus. O intercepto exatamente 0 merece uma pausa: ele diz que a equação desta reta é y = 2x sem nada somado, e quem esperava que o intercepto fosse uma distância visível acima do eixo está olhando para uma reta que cruza bem na origem.

2. A reta que passa por (0, 3) e (4, 0)

   1. A variação em y: 0 − 3 = −3
   2. A variação em x: 4 − 0 = 4
   3. A inclinação: −3 ÷ 4 = −0,75, negativa porque a reta desce para a direita
   4. O intercepto: 3 − (−0,75 × 0) = 3, que é visível no gráfico como o ponto (0, 3)
   5. O ângulo: arctan(−0,75) = −36,8699 graus

   A inclinação negativa, e o caso em que a convenção do ângulo importa. Esta reta desce para a direita, então o ângulo é negativo — um livro de geometria chamaria o ângulo de inclinação da mesma reta de 143,13 graus, e os dois números descrevem uma reta só. O intercepto aqui é o mais fácil possível de conferir, já que o primeiro ponto tem x igual a 0 e está exatamente sobre o eixo vertical.

3. A reta 2x + 3y = 6

   1. Reorganize na forma y = mx + b: 3y = 6 − 2x, então y = 2 − (2 ÷ 3)x
   2. A inclinação é −a ÷ b = −2 ÷ 3 = −0,666667
   3. O intercepto é c ÷ b = 6 ÷ 3 = 2
   4. O ângulo: arctan(−0,666667) = −33,6901 graus
   5. A conferência: em x = 0 a equação fica 3y = 6, então y = 2, que é o intercepto

   O modo equação, e o caso que mostra por que a fórmula tem um sinal de menos. Perder esse sinal dá 0,666667 em vez de −0,666667 — a mesma inclinação de subida trocada por descida, que é o tipo de erro que uma conferência contra a equação original pega e uma olhada no número não. O intercepto pode ser confirmado pondo x igual a zero na equação em vez de confiar na fórmula.

4. A reta x − y = 4

   1. Reorganize: −y = 4 − x, então y = x − 4
   2. A inclinação é −a ÷ b = −1 ÷ (−1) = 1
   3. O intercepto é c ÷ b = 4 ÷ (−1) = −4
   4. O ângulo: arctan(1) = 45 graus exatos

   Um b negativo, que é onde os dois sinais de menos das fórmulas se cancelam e as respostas saem positivas. É também uma das poucas retas cujo ângulo é um número inteiro de graus: inclinação 1 é 45 graus e inclinação −1 é −45, e é por isso que essas duas linhas estão na tabela de referência. O intercepto de −4 diz que a reta cruza abaixo da origem, o que quem supusesse que coeficiente negativo significa inclinação negativa entenderia exatamente ao contrário.

5. A reta horizontal por (2, 5) e (6, 5)

   1. A variação em y: 5 − 5 = 0
   2. A variação em x: 6 − 2 = 4
   3. A inclinação: 0 ÷ 4 = 0 — uma reta horizontal, e a inclinação dela é zero e não indefinida
   4. O intercepto: 5 − 0 × 2 = 5, a altura em que a reta está
   5. O ângulo: arctan(0) = 0 graus

   A inclinação zero, que é o caso mais confundido com a reta vertical que esta página recusa. Uma reta horizontal tem inclinação exatamente zero — ela não sobe nem desce — enquanto uma reta vertical não tem inclinação nenhuma, e a diferença é se o zero cai no numerador ou no denominador. Todas as saídas aqui são números limpos, o que faz desta a linha mais fácil da página de conferir contra um esboço.

Os dois grupos de caixas de entrada estão na tela e o seletor de dados informados decide qual deles é lido. O grupo que não está sendo lido não fica esmaecido — a página não consegue fazer isso — então números digitados no grupo errado são ignorados em silêncio, e o resultado não se move quando eles mudam. Esse é o único comportamento desta página que não dá para descobrir olhando a tela, e o único conserto é conferir o seletor: as caixas de dois pontos são lidas quando ele diz dois pontos, e as caixas a, b e c são lidas quando ele diz equação da reta. Retas verticais são recusadas nos dois modos em vez de reportadas como inclinação infinita, porque infinito não é um número utilizável e uma reta vertical de fato não tem inclinação; uma reta horizontal é um caso completamente diferente e volta com inclinação exatamente zero. O ângulo é o arco-tangente da inclinação e vai de −90 a 90 graus, não o ângulo de inclinação de 0 a 180 usado na geometria analítica — a mesma reta descendente é −45 aqui e 135 lá, e confundir os dois põe um erro de sinal em qualquer coisa calculada a partir do ângulo. A inclinação é um número puro, sem unidade, o que só é significativo quando os dois eixos são medidos na mesma coisa: uma inclinação de 5 entre uma distância em metros e um tempo em segundos é 5 metros por segundo, e a página não dirá isso. As coordenadas são limitadas a um milhão em valor absoluto, o que é uma faixa de exibição. Não há faixas de classificação: o quão inclinada é uma reta não tem limiar autoritativo, e o sinal da inclinação já diz se ela sobe ou desce. Por fim, a página trata apenas de retas — uma curva tem uma inclinação diferente em cada ponto, e nada aqui calcula derivada.

Por que mudar uma caixa às vezes não muda a resposta?

Porque o seletor está no outro grupo. Os dois grupos de caixas ficam sempre na tela, e só um deles é lido por vez: com o seletor em dois pontos, as caixas a, b e c são ignoradas por completo, e com ele em equação da reta, as quatro caixas de coordenadas é que são. O grupo que não está em uso não fica esmaecido, então o seletor é a única indicação de quais números contam — confira-o primeiro sempre que um resultado parecer travado.

Qual é a inclinação de uma reta vertical?

Não existe, e esta página recusa essa entrada em vez de imprimir infinito. A inclinação é a variação em y dividida pela variação em x, e numa reta vertical a variação em x é zero, então a conta pede uma divisão por zero. Infinito não é um número que se possa levar para o passo seguinte, e dizer que a inclinação é infinita sugeriria um número muito grande em vez de nenhum número. Uma reta horizontal é o caso oposto: a inclinação dela é exatamente zero.

Como achar a inclinação a partir de uma equação?

Reorganize ax + by = c na forma y = mx + b. Fazendo isso você chega a uma inclinação de −a ÷ b e a um intercepto de c ÷ b, que é o que a página calcula quando o seletor está em equação. O sinal importa mais do que parece: para 2x + 3y = 6 a inclinação é −2/3, e perder o menos dá uma reta de mesma inclinação de subida indo para o outro lado.

O ângulo informado é a mesma coisa que o ângulo de inclinação da geometria?

Não. O ângulo que esta página informa é o arco-tangente da inclinação e fica entre −90 e 90 graus; o ângulo de inclinação usado na geometria analítica fica entre 0 e 180. Para uma reta que desce para a direita os dois discordam em 180 graus: esta página informa −45 para uma inclinação de −1, enquanto o ângulo de inclinação da mesma reta é 135. Esta página usa o arco-tangente porque ele sai da inclinação de forma direta e um para um, sem precisar de uma regra extra para somar 180 quando a inclinação é negativa.

A inclinação tem unidade?

Não sozinha. A inclinação é a razão entre duas variações, então é um número puro, e só vira tanto por unidade quando os dois eixos são medidos na mesma coisa — metros em cada eixo dão um número adimensional, enquanto metros contra segundos dão metros por segundo. A página não pergunta, então não tem como converter nem rotular; se os eixos estiverem em unidades diferentes, a inclinação é uma taxa e a unidade é justamente a única coisa que a página não pode fornecer.

Dá para usar isto para achar a equação de uma reta?

Não — esta página caminha no sentido contrário. Ela recebe uma reta já descrita, por dois pontos ou por uma equação, e informa a inclinação e o intercepto dela. Ir de uma inclinação e um ponto até a equação é outra tarefa, e a calculadora de forma ponto-inclinação é a página para isso. O que esta página entrega no caminho é o intercepto, e inclinação mais intercepto já é a equação reduzida da reta, caso você queira escrevê-la por conta própria.

• Slope — the definition of the slope of a line as rise over run, with the two-point and equation forms this page evaluates — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the general equation ax + by = c and its rearrangement into slope-intercept form, including the vertical case where b is zero — Wolfram MathWorld (United States)
• Inverse Tangent — the arctangent used for the angle column, and the range from −90 to 90 degrees that distinguishes it from the inclination angle — Wolfram MathWorld (United States)