Calculadora de equação reduzida da reta

pontos (x1, y1) e (x2, y2) → m = (y2 - y1) / (x2 - x1) → b = y1 - m * x1 → y = m * x + b

m

A inclinação: o quanto a reta sobe a cada passo para a direita. É a variação vertical dividida pela horizontal, e o sinal dela é a direção — positivo sobe, negativo desce, zero é uma reta horizontal. Uma inclinação de 4 significa que y ganha 4 para cada 1 que x ganha.

b

O intercepto em y: o valor de y onde a reta cruza o eixo vertical, que é o mesmo que o valor de y em x = 0. Ele é o que sobra de um ponto depois de descontada a contribuição da inclinação, e é o único número desta página que se lê direto da equação.

(x1, y1), (x2, y2)

Os dois pontos. Qualquer um deles pode ser chamado de primeiro: trocá-los inverte o sinal do numerador e do denominador da inclinação, e as duas inversões se cancelam. Eles não podem ter a mesma coordenada x, já que essa divisão seria por zero.

x, y

As duas variáveis da equação pronta. Qualquer par que a satisfaça está sobre a reta, e é isso que torna a equação útil: ponha qualquer x e ela devolve o y do ponto acima dele, sem precisar de nenhum dos dois pontos originais.

Use quando uma reta for descrita por dois dos seus pontos e você quiser a reta em si — a equação, a inclinação e onde ela cruza o eixo — em vez de um número sobre ela. Um par de leituras de uma tabela, duas posições num gráfico, um valor inicial e uma medição posterior: a partir disso, a inclinação diz a que velocidade muda e o intercepto diz de onde partiu. Se o que você quer é só a inclinação, ou só uma previsão em algum ponto entre os dois, as calculadoras ligadas logo abaixo fazem exatamente isso e nada mais.

1. (1, 2) e (3, 10) — o caso comum

   1. Variação vertical: 10 − 2 = 8. Variação horizontal: 3 − 1 = 2
   2. Inclinação: m = 8 / 2 = 4
   3. Intercepto: b = 2 − 4 × 1 = -2
   4. A equação: y = 4x - 2

   Confira contra os dois pontos, que é o hábito que vale manter: em x = 1, 4 × 1 − 2 = 2 ✓, e em x = 3, 4 × 3 − 2 = 10 ✓. O intercepto ser negativo enquanto os dois pontos estão acima do eixo não é erro — a reta é inclinada o bastante para cruzar o eixo bem à esquerda do primeiro ponto, em x = 0,5.

2. (0, 1) e (2, 2) — uma inclinação que não é número inteiro

   1. Variação vertical: 2 − 1 = 1. Variação horizontal: 2 − 0 = 2
   2. Inclinação: m = 1 / 2 = 0,5
   3. O primeiro ponto já está sobre o eixo, então b = 1 sai direto dele: b = 1 − 0,5 × 0 = 1
   4. A equação: y = (1/2)x + 1

   O coeficiente vem entre parênteses porque 1/2x se leria como 1 dividido por 2x. Repare que os dois números impressos concordam exatamente com a equação: a linha da inclinação diz 0,500000 e a equação diz (1/2), que é o mesmo número escrito como fração — a página imprime um decimal exato como fração quando o denominador é pequeno o bastante para valer a leitura.

3. (1, 3) e (5, 3) — uma reta horizontal

   1. Variação vertical: 3 − 3 = 0. Variação horizontal: 5 − 1 = 4
   2. Inclinação: m = 0 / 4 = 0
   3. Intercepto: b = 3 − 0 × 1 = 3
   4. A equação: y = 3, porque o termo da inclinação não contribui com nada

   Uma inclinação zero desmonta a equação: não sobra x nenhum nela, e escrever y = 0x + 3 só acrescentaria um termo que é sempre zero. Este é o único lugar em que a equação impressa deixa de parecer y = mx + b, e isso está certo e não é um atalho — todo ponto da reta tem y = 3, seja qual for o x.

Apenas retas, e apenas por dois pontos distintos. Se os dois pontos tiverem o mesmo x a reta é vertical: ela não tem inclinação e nunca cruza o eixo y, então não há equação reduzida a dar, e a página informa um cálculo que não deu certo em vez de imprimir alguma coisa — a resposta honesta ali é x = 3, que não é uma equação que esta página saiba produzir. Pontos coincidentes são o mesmo caso, já que por um único ponto passam infinitas retas. A inclinação é arredondada para seis casas decimais antes de o intercepto ser calculado a partir dela, de modo que os dois números impressos concordam sempre com a equação impressa, ao custo de a linha impressa diferir da exata além da sexta casa quando a inclinação é periódica — 1/3 vira 0.333333 e a equação é construída a partir disso. Aqui vale um aviso que só aparece nesta página: a linha Forma reduzida é impressa como texto puro e por isso não passa pela localização que o resto da página usa, então nela o separador decimal é o ponto e não há separador de milhar, enquanto a linha da inclinação logo acima, sendo um número, usa a vírgula. Com (1, 1) e (4, 2) as duas aparecem juntas na mesma tela: a Forma reduzida diz y = 0.333333x + 0.666667 e a Inclinação diz 0,333333. É o mesmo número em duas tipografias, e não um erro de cálculo. A equação é impressa, não resolvida: a página não dirá onde a reta encontra o eixo x, se duas retas são paralelas, nem quanto vale y em algum outro x. As coordenadas são limitadas a um milhão em qualquer direção, e nenhuma unidade entra na conta, já que uma coordenada é um número e não uma medição.

Qual ponto devo informar primeiro?

Qualquer um — a resposta não muda. Trocar os dois pontos inverte o sinal do numerador e do denominador em (y2 - y1) / (x2 - x1), e as duas inversões se cancelam. O mesmo vale para o intercepto, porque ele é calculado a partir de um ponto e da inclinação. A única coisa que importa é que as duas coordenadas de um mesmo ponto sejam digitadas na mesma linha do formulário.

E se os dois pontos tiverem o mesmo x?

Então a reta é vertical e a página informa que o cálculo não deu certo. Uma reta vertical não tem inclinação nenhuma — a variação horizontal é zero, então a divisão não tem resposta — e ela nunca cruza o eixo y, então a equação y = mx + b não consegue descrevê-la, quaisquer que sejam m e b escolhidos. A equação de uma reta vertical é x = 3, uma equação que não tem inclinação nem intercepto em y, e é por isso que ela está fora do que esta página produz.

Por que a inclinação é arredondada, e o que acontece com um decimal periódico?

Ela é arredondada para seis casas decimais, e o intercepto é então calculado a partir do valor arredondado e não do exato. Isso é deliberado: faz os dois números do painel concordarem exatamente com a equação impressa logo abaixo deles, de modo que a resposta pode ser conferida à mão. O preço é que, com uma inclinação periódica como o 1/3 que (1, 1) e (4, 2) produzem, a linha impressa é a linha arredondada — y = 0.333333x + 0.666667 em vez de um terço exato.

Em que isto é diferente da Calculadora de forma ponto-inclinação?

As entradas são diferentes. Esta página recebe dois pontos, que é o que você costuma ter; a de forma ponto-inclinação recebe um ponto e uma inclinação que você já conhece, e imprime a equação numa forma que mostra esse ponto. As duas descrevem a mesma reta, então elas podem ser usadas em sequência: pegue a inclinação que esta página informa e o primeiro dos seus dois pontos, e a outra escreverá a mesma reta de outro jeito.

Por que a equação às vezes mostra uma fração e às vezes um decimal?

Um decimal que termina em poucos dígitos é impresso como fração quando o denominador é pequeno — 0,5 sai como (1/2) e 0,25 como (1/4) — porque é assim que uma inclinação costuma ser escrita à mão. Qualquer coisa mais longa continua decimal, arredondada para seis casas, então um terço aparece como y = 0.333333x + 0.666667. O número é o mesmo nos dois casos, e a linha da inclinação acima da equação sempre concorda com ela.

Como conferir a resposta à mão?

Ponha um dos seus valores de x na equação impressa e veja se você chega ao y daquele ponto. Para (1, 2) e (3, 10) a equação é y = 4x - 2, e em x = 1 isso dá 2 enquanto em x = 3 dá 10 — os dois pontos estão sobre a reta. Se um deles falhar, a inclinação e o intercepto impressos acima da equação são os dois números a comparar com a sua própria aritmética.

• Slope — rise over run, and the sign conventions this page's first output follows — Wolfram MathWorld (United States)
• Line — the object all of this is about, and the several forms its equation can take — Wolfram MathWorld (United States)
• Linear equation — y = mx + b as the two-variable equation it is, with a slope and an intercept — Wolfram MathWorld (United States)