O que é a forma ponto-inclinação?

É uma maneira de escrever uma equação linear que mantém visível um ponto conhecido da reta: y menos a altura do ponto é igual ao coeficiente angular vezes x menos a posição do ponto. Qualquer ponto e qualquer coeficiente angular podem ser escritos assim, e ler a equação de volta diz qual ponto e qual inclinação a produziram. Em muitos livros brasileiros essa arrumação aparece com o nome de equação fundamental da reta.

Por que ela é útil se a forma reduzida é mais simples?

Porque ela é construída direto do que se conhece. A forma reduzida é mais prática para desenhar o gráfico, mas chegar até ela exige multiplicar e juntar termos, e qualquer deslize de aritmética fica escondido dentro de uma constante. A forma ponto-inclinação mantém os números dados onde eles foram digitados, então pode ser conferida de relance.

O que o intercepto em y me diz?

Onde a reta encontra o eixo y, que é a altura dela quando x vale zero. Ele sai das mesmas três entradas: parta do ponto conhecido e desfaça a subida que o coeficiente angular teria produzido para chegar ali desde o eixo. Se o ponto conhecido já estiver sobre o eixo, o intercepto é simplesmente a altura dele.

Por que um coeficiente angular igual a 1 é escrito sem número?

Pelo mesmo motivo que um coeficiente 1 é omitido em qualquer outro lugar: escrever 1(x − 2) acrescenta um símbolo que não carrega informação nenhuma. Um coeficiente angular −1 mantém o sinal de menos mas também dispensa o algarismo, e é aí que o parêntese precisa ficar — o menos pertence ao lado de fora dele, e tirar o parêntese muda a reta.

Por que coeficientes fracionários ficam entre parênteses?

Para manter a fração presa ao parêntese e não ao x. Um coeficiente fracionário escrito sem parênteses daria 1/2(x − 4), que se lê como um dividido pelo dobro do parêntese — outra expressão. Com os parênteses fica (1/2)(x − 4) e a ordem da multiplicação não deixa dúvida.

Uma reta vertical pode ser escrita assim?

Não. Uma reta vertical não tem coeficiente angular — a subida dela é real enquanto o deslocamento horizontal é zero — então não existe valor de m que a produza, e a forma ponto-inclinação não consegue descrevê-la. Uma reta assim é escrita como x igual a uma constante, e essa forma está fora do que esta página trata.

Calculadora de forma ponto-inclinação

Resultado

y - 3 = 2(x - 1)

Forma ponto-inclinação

Forma reduzida: y = 2x + 1
Intercepto em y: 1,000000

Uma calculadora de forma ponto-inclinação escreve a equação da reta quando se conhece um ponto dela e o coeficiente angular. A resposta volta em duas arrumações: a forma ponto-inclinação, que mantém o ponto visível como os números que o compuseram, e a forma reduzida, que multiplica tudo e deixa o intercepto em y legível de imediato. O padrão é um coeficiente angular 2 passando pelo ponto (1, 3), que dá y − 3 = 2(x − 1), ou seja y = 2x + 1 depois de arrumada. Tudo o que a reta faz já está visível na primeira arrumação, e é por isso que ela é a preferida: o coeficiente angular é o número da frente e as coordenadas do ponto ficam onde foram digitadas. Um coeficiente fracionário é uma entrada legítima e sai como fração em vez de arredondado, porque a equação é um objeto exato e um decimal seria apenas uma das grafias de um dos seus números. Os três números digitados viram uma equação linear: a página devolve a regra que vale para a reta inteira, e não um valor isolado.

Dez coeficientes angulares e pontos, e as equações que eles produzem

Coeficiente angular	x₁	y₁	Forma ponto-inclinação
2	1	3	y - 3 = 2(x - 1)
1	0	0	y = x
1	5	0	y = (x - 5)
-1	2	5	y - 5 = -(x - 2)
-1	0	4	y - 4 = -x
0	1	3	y - 3 = 0
0.5	4	1	y - 1 = (1/2)(x - 4)
3	0	-2	y + 2 = 3x
-2	-1	-3	y + 3 = -2(x + 1)
4	2	2	y - 2 = 4(x - 2)

Cada linha recebe um coeficiente angular e um ponto e mostra a equação que sai. As linhas foram escolhidas para cobrir as convenções de escrita e não por acaso, já que são elas que o leitor confere: a segunda tem as duas coordenadas iguais a zero, o que elimina o parêntese por completo, e a terceira tem altura zero, o que deixa o lado esquerdo como um y sozinho. A sexta tem coeficiente angular zero e imprime um 0 simples do lado direito. A sétima carrega um coeficiente fracionário, que fica entre parênteses, e a nona tem coordenadas negativas, que trocam os dois sinais de uma vez. Entre todas, são os casos em que uma resposta escrita à mão costuma sair errada, e as coordenadas assinadas são o que torna a segunda e a nona linhas dignas de serem lidas lado a lado. Os valores são calculados na construção da página pelo mesmo código que responde ao formulário acima. A tabela usa ponto como separador decimal, conforme o padrão do sistema.

Fórmula

y − y₁ = m(x − x₁) forma reduzida: y = mx + (y₁ − m·x₁)

m: O coeficiente angular: quão íngreme a reta sobe ou desce, como número assinado. Ele é o coeficiente que fica na frente do parêntese do lado direito e passa a ser o coeficiente de x depois que a equação é arrumada. Um coeficiente angular igual a zero deixa a reta horizontal, e é o caso em que a página escreve um 0 simples no lugar de um parêntese multiplicado por nada.
x₁, y₁: O único ponto conhecido. Aqui basta um: o coeficiente angular fixa a direção e o ponto fixa a posição, e os dois juntos determinam a reta. Os índices são os que a fórmula usa e não a posição numa lista — não existe um segundo ponto nesta página.
intercepto em y: Onde a reta cruza o eixo y, que é a constante que sobra depois de arrumar a equação. Ele sai das mesmas três entradas: a reta passa pelo ponto informado, então a altura dela em x igual a zero é a altura desse ponto menos a subida que o coeficiente angular teria produzido no caminho até lá.
x, y: As duas variáveis que a equação relaciona. Nenhuma das duas recebe um valor: a resposta é uma regra que vale para todos os pontos da reta ao mesmo tempo, e é por isso que a leitura principal é um texto e não um número.

Use esta página para escrever uma reta quando a inclinação dela e um ponto sobre ela forem conhecidos: a partir de uma taxa e de um valor inicial, do coeficiente angular de uma tangente num lugar conhecido, ou de dois pontos depois de já ter calculado o coeficiente angular entre eles. O caminho contrário, sair de dois pontos para o coeficiente angular, é o assunto da página de inclinação; usar uma equação pronta para prever um valor mais adiante na reta é o assunto da página de interpolação.

Exemplos resolvidos

Coeficiente angular 2 passando por (1, 3)
1. Ponha o coeficiente angular e o ponto no molde: y − y₁ = m(x − x₁)
2. O lado esquerdo vira y − 3 e o parêntese vira (x − 1)
3. A forma ponto-inclinação é y − 3 = 2(x − 1)
4. Multiplique o parêntese: 2(x − 1) = 2x − 2
5. Passe o −3 para o outro lado: y = 2x − 2 + 3 = 2x + 1
6. A forma reduzida é y = 2x + 1, então o intercepto em y é 1
É o caso padrão, e o que vale ler contra as entradas: os dois números dentro do parêntese são as coordenadas digitadas, com o sinal trocado pela subtração. É para isso que a arrumação ponto-inclinação serve — ela mantém o ponto dado legível em vez de dobrado dentro de uma constante.
Coeficiente angular −1, em que o parêntese precisa ficar
1. O molde dá y − 5 = m(x − 2)
2. Um coeficiente angular −1 é escrito como um sinal de menos sozinho em vez de −1, do mesmo jeito que um coeficiente 1 é omitido
3. O parêntese fica: escrever −x − 2 daria uma reta diferente
4. A forma ponto-inclinação é y − 5 = −(x − 2)
5. Multiplique: −(x − 2) = −x + 2, então y = −x + 2 + 5
6. A forma reduzida é y = −x + 7 e o intercepto em y é 7
É a linha com mais chance de sair errada à mão. Um coeficiente angular 1 e um −1 são os dois escritos sem número visível, mas o sinal de menos tem de ficar fora do parêntese: tirar o parêntese transforma −(x − 2) em −x − 2, um erro de sinal no meio de uma equação que fora isso parece perfeitamente normal.
Um coeficiente angular fracionário
1. Um coeficiente angular 0,5 é mantido como a fração exata 1/2 em vez de escrito como decimal
2. O molde dá y − 1 = (1/2)(x − 4)
3. A fração fica entre parênteses, porque 1/2(x − 4) se leria como um dividido pelo dobro do parêntese
4. O mesmo parêntese se repete na forma reduzida: y = (1/2)x − 1
5. O intercepto em y é −1
É o caso que decide duas convenções de uma vez. As frações são mantidas exatas para que a equação continue sendo uma equação e não uma aproximação, e um coeficiente fracionário é colocado entre parênteses para continuar preso ao parêntese e não à variável. As duas convenções são as mesmas que as outras páginas de álgebra usam para o mesmo tipo de número.

Limitações

O coeficiente angular e as duas coordenadas são limitados a uma ordem de grandeza de um milhão. Entradas fracionárias são impressas como frações quando o denominador divide exatamente e não passa de mil, e como seis casas decimais nos demais casos — então 0,5 sai como 1/2 enquanto um decimal de expansão longa cai no arredondamento, e 1/3 sai como 0.333333. O coeficiente angular e as coordenadas são aceitos apenas como números decimais: a página não recebe uma fração digitada como texto, então 1/3 precisa ser informado como o decimal a que ele arredonda, 0,333333. Aqui vale um aviso de digitação que só existe nesta língua: o separador decimal é a vírgula e o ponto é separador de milhar, então digitar 1.5 é lido como quinze — escreva 1,5 para obter um e meio. Uma reta vertical não pode ser escrita nesta forma: o coeficiente angular dela não existe, e nenhum valor de m a produz, de modo que uma reta vertical pelo ponto informado simplesmente não é uma das retas que esta página descreve. As duas linhas de equação são impressas como texto puro e por isso não passam pela localização que o resto da página usa: nelas o separador decimal é o ponto e não há separador de milhar, enquanto o Intercepto em y, sendo número, usa a vírgula e o ponto de milhar. Com coeficiente angular 1/3 as duas tipografias aparecem na mesma tela — a Forma ponto-inclinação diz y - 1 = 0.333333(x - 1) e o Intercepto em y diz 0,666667. É o mesmo tipo de número em duas tipografias, e não um erro de cálculo. O que a página não faz é achar o coeficiente angular para você a partir de dois pontos, nem dizer onde a reta cruza o eixo x.

Perguntas frequentes

O que é a forma ponto-inclinação?: É uma maneira de escrever uma equação linear que mantém visível um ponto conhecido da reta: y menos a altura do ponto é igual ao coeficiente angular vezes x menos a posição do ponto. Qualquer ponto e qualquer coeficiente angular podem ser escritos assim, e ler a equação de volta diz qual ponto e qual inclinação a produziram. Em muitos livros brasileiros essa arrumação aparece com o nome de equação fundamental da reta.
Por que ela é útil se a forma reduzida é mais simples?: Porque ela é construída direto do que se conhece. A forma reduzida é mais prática para desenhar o gráfico, mas chegar até ela exige multiplicar e juntar termos, e qualquer deslize de aritmética fica escondido dentro de uma constante. A forma ponto-inclinação mantém os números dados onde eles foram digitados, então pode ser conferida de relance.
O que o intercepto em y me diz?: Onde a reta encontra o eixo y, que é a altura dela quando x vale zero. Ele sai das mesmas três entradas: parta do ponto conhecido e desfaça a subida que o coeficiente angular teria produzido para chegar ali desde o eixo. Se o ponto conhecido já estiver sobre o eixo, o intercepto é simplesmente a altura dele.
Por que um coeficiente angular igual a 1 é escrito sem número?: Pelo mesmo motivo que um coeficiente 1 é omitido em qualquer outro lugar: escrever 1(x − 2) acrescenta um símbolo que não carrega informação nenhuma. Um coeficiente angular −1 mantém o sinal de menos mas também dispensa o algarismo, e é aí que o parêntese precisa ficar — o menos pertence ao lado de fora dele, e tirar o parêntese muda a reta.
Por que coeficientes fracionários ficam entre parênteses?: Para manter a fração presa ao parêntese e não ao x. Um coeficiente fracionário escrito sem parênteses daria 1/2(x − 4), que se lê como um dividido pelo dobro do parêntese — outra expressão. Com os parênteses fica (1/2)(x − 4) e a ordem da multiplicação não deixa dúvida.
Uma reta vertical pode ser escrita assim?: Não. Uma reta vertical não tem coeficiente angular — a subida dela é real enquanto o deslocamento horizontal é zero — então não existe valor de m que a produza, e a forma ponto-inclinação não consegue descrevê-la. Uma reta assim é escrita como x igual a uma constante, e essa forma está fora do que esta página trata.

Referências

Point-Slope Form — the arrangement this page starts from, and the reason a slope and a single point are enough — Wolfram MathWorld (United States)
Linear Equation — the general form the two outputs are both special cases of, and the standard form the answer can be rearranged into — Wolfram MathWorld (United States)
Slope — the number that fixes the line's direction, and the quantity that has no value at all for a vertical line — Wolfram MathWorld (United States)

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