Calculadora de taxa média de variação

taxa de variação média = Δy ÷ Δx = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

x₁

A entrada no primeiro extremo do intervalo — o valor mais antigo daquilo que a função recebe, o tempo no caso da velocidade, a posição no caso geométrico. Nada a restringe, e ela não precisa ser menor que x₂: os extremos podem ser informados em qualquer ordem.

x₂

A entrada no segundo extremo. Ela não pode ser igual a x₁. Se for, o denominador da razão é zero e não há intervalo sobre o qual tirar média: a função estaria sendo convocada a variar sem que a entrada variasse, o que é um segmento vertical e não uma taxa.

y₁, y₂

A saída da função nesses dois valores de entrada. Seja a função uma fórmula, uma tabela de leituras ou uma curva na tela, tudo o que a página precisa são os dois valores — e a ordem importa para as duas colunas de variação, ainda que se cancele na razão.

Δy ÷ Δx

A taxa média em si: a variação total da saída dividida pelo comprimento do intervalo em que ela aconteceu. Na notação delta, a letra grega representa uma diferença, então Δy é a variação de y e Δx é a variação de x. Ler a expressão como linguagem de por unidade é o ponto — a resposta é quanto y andou para cada unidade de x.

(y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

A mesma grandeza escrita por extenso. Ela é numericamente idêntica à inclinação da reta que une os dois pontos, e é por isso que as duas calculadoras chegam à mesma resposta a perguntas diferentes: a página da inclinação pergunta quão íngreme é uma reta, e esta pergunta a que velocidade uma função se moveu ao longo de um intervalo. Só a segunda formulação sobrevive no cálculo, onde o intervalo é tomado cada vez mais estreito.

1. A taxa média de variação de x² no intervalo de 1 a 3

   1. O intervalo tem duas unidades: Δx = 3 − 1 = 2
   2. A saída variou oito: Δy = 9 − 1 = 8
   3. Divida: 8 ÷ 2 = 4
   4. Então a função ganhou, em média, 4 unidades de saída por unidade de entrada

   Para a função quadrática a resposta segue uma regra que vale conhecer: em um intervalo de a até b, a taxa média é sempre a + b, aqui 1 + 3 = 4. Essa regra vale porque b² menos a² se fatora como (b − a)(b + a), e o b − a se cancela com o denominador. É também por isso que a tabela de referência abaixo é construída a partir dessa única função.

2. Uma velocidade média ao longo de três segundos

   1. A entrada é o tempo em segundos, de 0 a 3
   2. A saída é a posição, que passou de 10 para 70
   3. A posição variou 60 ao longo de 3 segundos: 60 ÷ 3 = 20
   4. A velocidade média é 20 unidades de distância por segundo

   É a leitura que torna a grandeza concreta: com a posição no eixo vertical e o tempo no horizontal, a taxa média de variação é a velocidade média. E ela é uma média no sentido pleno — a velocidade real pode ter variado o tempo todo, e esta razão não diz nada sobre o meio do intervalo, só sobre os dois extremos.

3. Trocando os dois extremos de lugar

   1. Os mesmos dois pontos do primeiro exemplo, listados na outra ordem
   2. Δx = 1 − 3 = −2 e Δy = 1 − 9 = −8
   3. A razão é −8 ÷ −2 = 4, o mesmo valor de antes
   4. As duas colunas de variação trocaram de sinal enquanto a taxa não mudou

   Quem vê um Δx negativo ao lado de uma taxa positiva não encontrou um erro. A razão não se altera quando numerador e denominador trocam de sinal ao mesmo tempo, então a taxa média não depende de qual extremo é chamado de primeiro; as duas colunas de variação dependem, porque elas descrevem um sentido de percurso entre os pontos. O resultado principal responde a que velocidade, e as colunas de variação respondem de onde para onde.

As duas entradas precisam ser diferentes. Quando x₂ é igual a x₁, a razão tem denominador zero, e a página recusa o cálculo em vez de devolver infinito: um segmento vertical não tem taxa de variação por unidade de x, porque x não está variando. Os extremos podem ser informados em qualquer ordem, e a taxa média é a mesma nos dois sentidos, mas as duas colunas de variação são assinadas e trocam de sinal quando a ordem troca. A página informa uma taxa ao longo de um intervalo e nunca uma taxa em um ponto — a taxa instantânea é um limite que esta página não toma, e exigi-la requer conhecer a função em vez de dois dos seus valores. Cada coordenada é limitada a uma ordem de grandeza de um trilhão, acima da qual a subtração perderia precisão e as seis casas decimais exibidas seriam enganosas. O resultado é arredondado para seis casas decimais, enquanto a aritmética roda em precisão total. A página não imprime ângulo nenhum: um ângulo é propriedade de uma reta, e uma função ao longo de um intervalo não tem um, o que é uma das maneiras pelas quais esta página difere da calculadora de coeficiente angular que ela lista entre as relacionadas.

O que é a taxa média de variação?

É a variação total da saída de uma função ao longo de um intervalo, dividida pelo comprimento desse intervalo. Se a posição passa de 10 para 70 ao longo de três segundos, a taxa média é 60 ÷ 3, ou 20 unidades por segundo. A palavra média está fazendo trabalho de verdade: a grandeza resume o intervalo inteiro em um único número e não diz nada sobre como a função se comportou por dentro dele.

Em que isto é diferente da inclinação?

A aritmética é idêntica — as duas dividem a variação da grandeza vertical pela variação da horizontal — mas a pergunta é outra. A inclinação descreve quão íngreme é uma reta, uma propriedade da própria reta. A taxa média de variação descreve a que velocidade uma função se moveu entre dois pontos, que é a grandeza que mantém o sentido quando o intervalo é estreitado em direção a zero. Só uma dessas ideias sobrevive no cálculo.

Por que a resposta é a mesma quando troco os dois pontos de lugar?

Porque a razão não se altera quando numerador e denominador trocam de sinal ao mesmo tempo, e trocar os extremos inverte os dois de uma vez. As duas colunas de variação de fato se invertem, já que elas registram um sentido de percurso do primeiro ponto para o segundo. Então a taxa responde a que velocidade, e as colunas de variação respondem de onde para onde — as duas estão corretas ao mesmo tempo.

A taxa média de variação pode ser negativa?

Pode, e isso significa que a saída caiu enquanto a entrada subiu ao longo daquele intervalo. No intervalo de −3 a −1, a função f(x) = x² cai de 9 para 1, então a taxa média dela é −4. Um valor negativo não é sinal de que algo foi digitado ao contrário; ele é o sentido da variação, e é por isso que as duas colunas de variação são impressas ao lado da razão.

O que acontece se as duas entradas forem iguais?

A página recusa o cálculo e informa que aquela combinação não gerou resultado. Com x₂ igual a x₁ o denominador é zero, então não há intervalo sobre o qual tirar média — a função estaria sendo convocada a variar sem que a entrada variasse. Isso é um segmento vertical, e ele não tem taxa por unidade de x. A página recusa em vez de devolver infinito, que não é uma taxa.

A taxa média é a mesma coisa que a taxa instantânea?

Só quando a função é uma reta, em que a taxa é constante em toda parte e as duas coincidem. Fora disso, a média descreve o intervalo como um todo e a instantânea descreve um único valor de entrada. Estreitar o intervalo cada vez mais é o que transforma a média na instantânea, e esse limite é a derivada — um passo que esta página não dá, porque ela trabalha a partir de dois valores e não da fórmula da função.

• Average Rate of Change — the definition over an interval, the secant line reading, and the passage to the instantaneous rate — Wolfram MathWorld (United States)
• Secant Line — the line through the two endpoints, whose slope is the number this page computes — Wolfram MathWorld (United States)
• Derivative — the limit of the average rate of change as the interval shrinks, which is where this quantity is heading — Wolfram MathWorld (United States)