Calculadora de crescimento exponencial

N = N₀ × (1 + r)^t fator de crescimento = 1 + r variação total = ((1 + r)^t − 1) × 100%

N₀

A quantidade inicial, o que existia antes de o crescimento começar. Ela precisa ser positiva, porque as colunas de porcentagem dividem por ela e uma quantidade inicial igual a zero transformaria a variação total numa divisão de zero por zero em vez de num número grande. Ela não carrega unidade: o mesmo cálculo cobre pessoas, reais, bactérias e pontos de índice

r

A taxa de crescimento por período, em porcentagem. Ela é informada como 5 para cinco por cento, e não como 0,05, e pode ser negativa — uma taxa de −20 por cento significa que a quantidade perde um quinto de si a cada período, o que é decaimento e não um cálculo separado. Ela não pode ficar abaixo de −100 por cento: exatamente em −100 a quantidade chega a zero, e abaixo disso o fator por período fica negativo e o sinal se inverte a cada período, o que já não é a descrição de uma quantidade

t

O número de períodos. O que conta como um período é decisão sua — anos, meses, dias, gerações — desde que a taxa esteja cotada na mesma unidade. Ele pode ser fracionário: meio período é uma entrada perfeitamente comum e multiplica pela raiz quadrada do fator do período inteiro, e não por metade dele. Valores negativos são recusados, já que voltar no tempo até uma quantidade anterior ao início é outra pergunta, diferente da que este painel responde

(1 + r)^t

O fator total pelo qual a quantidade foi multiplicada até o fim. É esta parte que torna o crescimento exponencial em vez de aditivo: cada período multiplica a totalidade do que já está lá, então o aumento do décimo período não é o aumento do primeiro, e sim muito maior. É também exatamente a operação da calculadora de potência — a base é 1 mais a taxa e o expoente é o número de períodos

1 + r

O fator de crescimento por período, a leitura do meio. Para uma taxa de 5 por cento ele é 1,05, o que significa que a quantidade é multiplicada por pouco mais de um a cada período. Ele é impresso separado porque é o número a que se recorrer quando a pergunta muda: um fator de 1,05 elevado a quatro períodos, a mesma taxa dobrada para 10 por cento, ou outra quantidade inicial, todos ficam a uma multiplicação de distância assim que ele está visível

((1 + r)^t − 1) × 100%

A variação total ao longo de todo o percurso, em porcentagem de onde ele começou. Uma taxa de 5 por cento ao longo de dez períodos dá 62,889 por cento e não 50, porque os cinco por cento de cada período são tirados de uma quantidade maior que a do período anterior. A subtração de um é o que transforma um fator numa variação: um fator de 1,6289 é uma variação de 62,89 por cento, e um fator abaixo de um dá uma variação negativa, que é como o decaimento é informado

r = −100%

O limite inferior, e a única taxa que leva a quantidade a exatamente zero. Ela é aceita porque é o limite de uma quantidade encolhendo: em −100 por cento o fator de crescimento é zero e todo período depois do primeiro multiplica zero por zero. Abaixo dela o fator é negativo, a quantidade alterna de sinal a cada período e o modelo parou de descrever qualquer coisa física — e é por isso que essa entrada é recusada em vez de calculada

Use sempre que uma quantidade estiver sendo multiplicada pelo mesmo fator repetidamente e você quiser saber onde ela chega ou em quanto deu o percurso inteiro: crescimento composto sobre um saldo, uma população crescendo a taxa fixa, um índice de preços subindo ao longo de décadas, uma cultura dobrando, um mercado encolhendo uma porcentagem estável por ano. A coluna da variação total é a que vale citar por escrito — um aumento de 62,9 por cento em dez períodos diz mais à maioria dos leitores do que o valor final, e é o número que a taxa sozinha não dá. É também a página que transforma uma taxa num fator, que é o passo de que toda pergunta de juros compostos precisa antes de poder ser calculada. Recorra à calculadora de meia-vida quando a quantidade estiver decaindo pela metade e a taxa for expressa como um tempo em vez de uma porcentagem, já que aquela página recebe a meia-vida direto e informa também a contagem. Recorra à calculadora de potência quando a base for um número que você já tem em vez de um derivado de uma taxa, que é a mesma operação sem a porcentagem na frente. Recorra à calculadora de juros compostos quando a multiplicação acontecer em datas marcadas e a pergunta envolver depósitos ou uma frequência de capitalização, já que essas são dimensões próprias do dinheiro que esta página não carrega.

1. 100 crescendo a 5 por cento por 10 períodos

   1. O fator de crescimento: 1 + 0,05 = 1,05
   2. O fator total: 1,05¹⁰ = 1,628894627…
   3. A quantidade final: 100 × 1,628894627… = 162,889463
   4. A variação total: (1,628894627… − 1) × 100 = 62,889463 por cento

   O caso padrão, e o que mostra por que a coluna da variação total existe. Dez períodos a cinco por cento soam como cinquenta por cento, e o painel diz 62,89 — o excedente vem de os cinco por cento de cada período serem tirados de uma quantidade maior que a anterior. Quem cita só o valor final contou o saldo à plateia mas não contou a história; a porcentagem é a parte que é repetida.

2. 100 encolhendo a 20 por cento por 3 períodos

   1. O fator de crescimento: 1 + (−0,20) = 0,8
   2. O fator total: 0,8³ = 0,512
   3. A quantidade final: 100 × 0,512 = 51,2
   4. A variação total: (0,512 − 1) × 100 = −48,8 por cento

   A mesma página fazendo decaimento, que é o motivo de aceitar taxa negativa em vez de criar um segundo instrumento. Três períodos de vinte por cento é uma perda de 48,8 por cento e não de 60, pelo mesmo motivo que o caso de crescimento passa dos cinquenta: cada período tira o seu quinto do que sobrou. Um fator de crescimento abaixo de um é também o sinal mais claro de que a convenção de sinal está funcionando.

3. 100 dobrando a cada período por 5 períodos

   1. Uma taxa de 100 por cento significa que a quantidade cresce tanto quanto ela já é, então o fator é 2
   2. O fator total: 2⁵ = 32
   3. A quantidade final: 100 × 32 = 3.200
   4. A variação total: (32 − 1) × 100 = 3.100 por cento

   A duplicação, que é o caso em que a aritmética é fácil o bastante para conferir de cabeça e a coluna da porcentagem não é. A quantidade foi multiplicada por 32, e a página informa isso como um aumento de 3.100 por cento — um número que soa absurdo ao lado de 32 vezes mais e que é exatamente a mesma afirmação. É a ilustração mais clara de por que a última coluna subtrai um antes de chamar aquilo de variação.

4. 100 crescendo a 5 por cento por meio período

   1. O fator de crescimento continua 1,05, já que ele é definido por período
   2. O fator total: 1,05^0,5 = 1,024695076…, que é a raiz quadrada de 1,05
   3. A quantidade final: 100 × 1,024695076… = 102,469508
   4. A variação total: 2,469508 por cento

   O período fracionário, e o caso que separa as duas leituras com mais clareza. O fator de crescimento fica em 1,05 porque é uma quantidade por período e meio período não o altera; o fator total é a raiz quadrada dele, então meio período de cinco por cento dá 2,47 por cento e não 2,5. Aplicar metade da taxa estaria errado, e é esta linha que mostra isso.

5. 2,5 crescendo a 12 por cento por 4 períodos

   1. O fator de crescimento: 1 + 0,12 = 1,12
   2. O fator total: 1,12⁴ = 1,57351936
   3. A quantidade final: 2,5 × 1,57351936 = 3,933798
   4. A variação total: 57,351936 por cento

   Uma quantidade inicial que não é redonda, o que não muda nada: as colunas de fator são completamente independentes de onde a quantidade começou, e 2,5 cresce exatamente os mesmos 57,35 por cento que 250 cresceria. As duas colunas que respondem em quanto são as que devem ser lidas ao comparar dois cenários, já que são as duas únicas que não se movem quando a quantidade inicial se move.

A taxa e o número de períodos precisam ser cotados na mesma base, e a página não tem como conferir isso: cinco por cento ao ano ao longo de dez meses dá uma resposta errada de aparência perfeitamente normal. O período é o que você decidir — um ano, um mês, um dia, uma geração — e a página nunca pergunta. O crescimento é modelado como a multiplicação pelo mesmo fator a cada período, que é o que crescimento composto significa e não é verdade para tudo que cresce: uma população encontrando um limite, um mercado saturando ou uma taxa que muda por conta própria ficam todos fora deste modelo. A taxa não pode ficar abaixo de −100 por cento, já que é ali que a quantidade chega a zero e depois disso o sinal se inverte a cada período. Já os dois limites superiores — 1.000 por cento de taxa e 1.000 períodos — são limites de entrada, e não a garantia de que nada estoura: uma combinação dentro deles ainda pode passar do que a precisão dupla representa, e quando isso acontece a página informa um cálculo que não deu certo em vez de imprimir um infinito. Medindo com esta taxa, o estouro começa em 289 períodos a 1.000 por cento, em 333 períodos a 700 por cento e em 998 períodos a 100 por cento, enquanto a 5 por cento os 1.000 períodos inteiros correm sem problema. A quantidade inicial precisa ser positiva, o que significa que uma quantidade que atravessa de negativa para positiva não pode ser representada. A capitalização acontece uma vez por período e não continuamente: uma taxa de 5 por cento ao ano capitalizada duas vezes ao ano a 2,5 por cento cada é um resultado diferente, e essa conta pertence à página de juros compostos, que carrega uma frequência de capitalização. Nada aqui modela depósitos, saques ou aportes — a quantidade é deixada em paz para crescer. Por fim, as saídas são arredondadas em seis casas decimais, o que importa para a coluna da porcentagem quando os números ficam grandes.

Por que a variação total é maior que a taxa vezes o número de períodos?

Porque a porcentagem de cada período é tirada de uma quantidade maior que a do período anterior. Dez períodos a cinco por cento não é cinquenta por cento e sim 62,89, já que os cinco por cento do segundo período incidem sobre uma quantidade que já cresceu. Essa composição é toda a diferença entre crescimento exponencial e aditivo, e a coluna da variação total é onde ela aparece: o valor final sozinho não a torna visível.

Posso usar uma taxa de crescimento negativa?

Pode — uma taxa negativa é decaimento e é calculada por esta mesma página. Uma taxa de −20 por cento significa que a quantidade perde um quinto de si a cada período, então 100 vira 51,2 depois de três períodos. A taxa não pode ficar abaixo de −100 por cento: exatamente em −100 a quantidade chega a zero e fica lá, e abaixo disso o fator por período fica negativo e a quantidade alterna de sinal a cada período, o que já não descreve uma quantidade.

O que conta como um período?

O que você decidir, desde que a taxa esteja cotada na mesma base. Cinco por cento ao ano com uma contagem de dez períodos significa dez anos; a mesma taxa ao mês com uma contagem de dez significa dez meses, e as duas respostas são de perguntas diferentes. A página não consegue conferir esse pareamento, então uma taxa cotada ao ano com a contagem de períodos em meses dá uma resposta errada de aparência perfeitamente normal.

Qual é a diferença entre o fator de crescimento e a variação total?

O fator de crescimento é por quanto um período multiplica; a variação total é em quanto deu o percurso inteiro. Uma taxa de 5 por cento dá um fator de crescimento de 1,05 — um número por período, o mesmo quer você rode um período quer cem — enquanto dez períodos dão uma variação total de 62,89 por cento, que é o fator composto. Quando a pergunta é quanto mais rápido isto é, o fator de crescimento é o número a comparar.

O número de períodos pode ser uma fração?

Pode, e meio período é uma entrada comum. Meio período de crescimento de cinco por cento não é 2,5 por cento — é a raiz quadrada de 1,05, que dá 2,47 por cento. É isso que torna os períodos fracionários significativos em vez de uma conveniência de arredondamento: a quantidade cresce suavemente ao longo do período e não num salto no final, e tirar a raiz é como essa continuidade é expressa.

Em que isto é diferente de uma calculadora de juros compostos?

A fórmula é a mesma, o assunto é outro. Esta página recebe uma taxa e um número de períodos e trabalha com qualquer quantidade; uma calculadora de juros compostos acrescenta o que o dinheiro tem e uma população não tem — uma frequência de capitalização, aportes regulares e um principal que pode ser amortizado. Se a pergunta envolver pagamentos entrando ou saindo do saldo, ou juros capitalizados ao mês em vez de uma vez ao ano, é aquela página que carrega as dimensões extras e esta não.

• Exponential Growth — the law this page evaluates, with the growth rate and the number of periods as its two parameters — Wolfram MathWorld (United States)
• Compound Interest — the same formula applied to money, including the compounding-frequency distinction that separates that calculation from this one — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponential Decay — the negative-rate half of the same law, where the factor per period is below one and the quantity approaches zero — Wolfram MathWorld (United States)