Calculadora de potenciação

bⁿ = b × b × … × b (n fatores) b⁻ⁿ = 1 ÷ (b × b × … × b)

b

A base, o número que é multiplicado por si mesmo. É um número puro, sem unidade, e pode ser negativo, decimal ou zero — cada um desses casos tem regra própria mais abaixo. Base negativa só vale com expoente inteiro, porque raiz de índice par de um número negativo não é real

n

O expoente, quantas vezes a base aparece no produto. Nesta página ele é um número real, não só inteiro: uma fração quer dizer raiz (expoente 0,5 é a raiz quadrada, 0,3333 fica perto da raiz cúbica), e o sinal de menos quer dizer o recíproco da potência positiva

bⁿ

A potência propriamente dita, a leitura principal. Ela sai em notação científica assim que deixa a faixa que vai de 0,001 até um milhão, então 2 elevado a 64 aparece como uma mantissa e um expoente de dez em vez de um inteiro de vinte algarismos. Nada é truncado aqui — o único teto é o que um número de precisão dupla consegue guardar

b × b × … × b

A forma expandida, a mesma expressão escrita como multiplicação repetida. Produtos com mais de seis fatores são abreviados com reticências; abaixo disso são escritos por inteiro, e é por isso que 3 elevado a 4 mostra quatro fatores e 2 elevado a 10 não mostra dez

b⁻ⁿ = 1 ÷ (b × b × … × b)

O que um expoente negativo faz: toma o recíproco da potência positiva, um dividido pelo produto. 2 elevado a −3 é 1 ÷ 8, e não −8. É a leitura errada mais comum dessa notação, e é por isso que a forma expandida vale a pena ser impressa — o recíproco fica visível nela e em nenhum outro lugar da página

b⁰ = 1

Qualquer base diferente de zero elevada a zero dá 1, e a forma expandida diz isso imprimindo um 1 sozinho em vez de um produto vazio. A regra do degrau obriga: cada divisão pela base precisa continuar valendo conforme o expoente cai de um em um, e b ÷ b é 1 — então 7 elevado a 0 ser 1 não é uma convenção que a página escolheu. Zero elevado a zero é o único caso que essa regra não resolve, e ele é recusado

0,5 como expoente

Expoente fracionário é raiz: elevar um número a 0,5 é a raiz quadrada, a um terço é a raiz cúbica. É isso que faz a página recusar base negativa com expoente fracionário — a raiz cúbica de um número negativo é perfeitamente real, mas calculá-la por esse caminho não é, e a calculadora de raízes é a página que sabe a diferença

Use esta página sempre que um número estiver sendo multiplicado por si mesmo um número fixo de vezes e a resposta for o que você procura: crescimento composto escrito como um único fator em vez de uma corrente de multiplicações, uma duplicação repetida um número definido de vezes, um fator de escala aplicado várias vezes seguidas, a probabilidade de o mesmo evento acontecer em sequência, o tamanho de uma unidade de armazenamento como potência de dois. Ela também é a página das duas notações que as pessoas confundem — o produto escrito por extenso e a potência escrita curta —, porque imprime as duas de uma vez: a forma expandida é a definição e a potência é o valor, e ver as duas lado a lado é o que torna o expoente negativo legível. Use a calculadora de raízes quando o expoente for a incógnita e o que se pede for uma raiz, já que os casos negativos e fracionários lá têm regras próprias. Use a calculadora de crescimento exponencial quando a base for fixa e vier de uma taxa, que é a forma de toda pergunta de juros e de população. Use a calculadora de logaritmo quando a potência for conhecida e o que você quer for o expoente; é a mesma relação lida ao contrário.

1. 2 elevado a 10

   1. A base é 2 e o expoente é 10, então dez fatores de 2 são multiplicados entre si
   2. Aos pares: 2 × 2 = 4, e 4 × 4 = 16, e 16 × 16 = 256, que são oito fatores
   3. Sobram dois fatores: 256 × 2 × 2 = 1.024
   4. O produto tem mais de seis fatores, então a forma expandida é abreviada para 2 × 2 × … × 2

   É a linha em que a tabela de referência termina, e o único número desta página que vale saber de cor: um kilobyte tem 1.024 bytes por causa dele. A abreviação na segunda leitura não é falta de espaço — dez fatores e reticências carregam exatamente a mesma informação que dez fatores escritos, e a contagem já está no expoente que você digitou.

2. 2 elevado a −3

   1. O expoente é negativo, então a resposta é o recíproco da potência positiva
   2. A potência positiva primeiro: 2 × 2 × 2 = 8
   3. O recíproco de 8 é 1 ÷ 8 = 0,125
   4. A forma expandida imprime o próprio recíproco, então a divisão fica visível: 1 ÷ (2 × 2 × 2)

   É o caso em que a forma expandida ganha o seu lugar. Quem lê o sinal de menos como resposta negativa espera −8 e recebe 0,125; a leitura 1 ÷ (2 × 2 × 2) é o que torna o recíproco óbvio em vez de algo a ser lembrado. É também a leitura que diz que a resposta tinha de sair menor que 1, já que dividir um por um número maior que um não pode dar outra coisa.

3. 1,05 elevado a 4

   1. Quatro fatores de 1,05 são multiplicados entre si, o que dá quatro anos de crescimento de 5%
   2. Dois fatores: 1,05 × 1,05 = 1,1025
   3. Quatro fatores: 1,1025 × 1,1025 = 1,21550625
   4. A potência é impressa com seis casas decimais, então aparece como 1,215506

   É a forma com que esta página é usada fora da sala de aula: base decimal pouco acima de 1, expoente contando períodos. Quatro fatores dão 1,2155, o mesmo que dizer que a quantidade cresceu 21,55% ao longo dos quatro períodos — a taxa em si é o que a calculadora de crescimento exponencial deduz para montar a base, e lá a porcentagem é impressa diretamente em vez de você ter de subtrair um. A forma expandida sai como texto puro: os fatores aparecem exatamente como foram digitados, com ponto decimal e sem separador de milhar, então quatro fatores de 1,05 saem como 1.05 e uma base 1.000 sairia como 1000 × 1000 × 1000.

4. 7 elevado a 0

   1. Expoente zero quer dizer produto vazio — nenhum fator de 7 é multiplicado
   2. Um produto vazio é 1, que é o elemento neutro da multiplicação: multiplicar por ele não muda nada
   3. A regra do degrau concorda: 7¹ ÷ 7 = 1, e 7⁰ ÷ 7 = 7⁻¹, então 7⁰ tem de ser 1 para o padrão se manter
   4. A forma expandida imprime o 1 sozinho em vez de uma multiplicação vazia

   A entrada que mais se espera que seja 0 e mais se chuta como 0. Nada está sendo multiplicado, então nada pode sair daí — mas 1 é o valor que mantém correta toda potência vizinha, e é por isso que a definição é um produto vazio em vez de um apelo à intuição. A tabela de referência começa em 2⁰ = 1 pelo mesmo motivo.

5. −2 elevado a 3

   1. A base é negativa e o expoente é inteiro, que é a combinação permitida
   2. −2 × −2 = 4, já que multiplicar dois negativos dá positivo
   3. 4 × −2 = −8
   4. A quantidade de fatores negativos é ímpar, então o sinal da resposta é negativo

   Base negativa não é recusada — só base negativa com expoente fracionário é, porque é aí que a resposta deixa de ser um número real. O sinal do resultado segue a paridade do expoente, e a forma expandida torna isso contável: três fatores de −2 se emparelham uma vez e sobra um fator negativo. Troque o expoente para 4 e a resposta é +16.

Esta página eleva um número a uma potência e nada mais. Ela não soma potências, não as multiplica nem combina duas delas — as propriedades das potências ficam enunciadas no bloco de fórmula e são aplicadas à mão, o que é deliberado, já que a página não tem uma segunda base com que aplicá-las. Ela não calcula logaritmos: dadas uma potência e uma base, descobrir o expoente é a pergunta inversa e pertence à calculadora de logaritmo. Base negativa só é aceita com expoente inteiro, e a recusa não é incapacidade de calcular — a raiz cúbica de −8 é mesmo −2 —, mas uma decisão de encaminhamento, porque a conta que produziria esse resultado é uma radiciação e não uma potenciação, e a calculadora de raízes é a página que tem essa regra. O resultado é calculado em precisão dupla e só é exato onde a precisão dupla é: números inteiros são guardados exatamente até 2⁵³, e acima disso um inteiro volta com os inteiros vizinhos indistinguíveis dele. O expoente é limitado a ±64 e a base a um milhão, e esses são limites de entrada, não limites matemáticos: 1.000.000⁵⁰ ainda sai como 1,000000 × 10³⁰⁰, e 1.000.000⁵¹ já levanta um erro em vez de imprimir um infinito, o que acontece antes do que a faixa sugere. A forma expandida é abreviada acima de seis fatores, então ela é uma leitura da multiplicação e não uma transcrição completa dela. Por fim, o valor é arredondado para seis casas decimais antes de a notação ser escolhida, e é daí que vem o único resultado enganoso desta página: 2⁻²¹ vale 4,77 × 10⁻⁷, cai abaixo da menor casa mostrada e o painel imprime 0,000000 sem avisar que houve arredondamento.

O que significa um expoente negativo?

Significa o recíproco da potência positiva, não um número negativo. 2 com expoente −3 é 1 ÷ (2 × 2 × 2), que dá 0,125 — a resposta é menor que 1, não abaixo de zero. A forma expandida desta página imprime a divisão em vez de apenas o resultado, porque o sinal de menos é a única parte da notação que costuma ser lida ao contrário.

Por que qualquer número elevado a zero dá 1?

Porque expoente zero quer dizer produto vazio, e um produto vazio é o elemento neutro da multiplicação, que é 1. A regra do degrau diz o mesmo: cada vez que o expoente cai de um, o valor é dividido pela base, e descer um degrau a partir de 7¹ = 7 dá 7 ÷ 7 = 1. Nunca é 0 — nada foi multiplicado, então nada pode sair daí.

Quanto é 0 elevado a 0?

Não tem valor definido, e esta página diz isso em vez de imprimir um. Duas regras colidem nesse ponto: qualquer base diferente de zero elevada a zero dá 1, e zero elevado a qualquer expoente positivo dá 0. O JavaScript devolve 1 para essa expressão, mas isso é uma decisão da linguagem para manter coerência entre as próprias operações, e não um resultado matemático — é por isso que a página recusa a entrada em vez de concordar em silêncio.

Posso usar um expoente fracionário, como 0,5?

Pode, com base positiva — expoente 0,5 é a raiz quadrada, então 2 elevado a 0,5 dá 1,414214. Base negativa com expoente fracionário é recusada, porque essa resposta não é um número real: a conta por trás de uma potência fracionária passa por um logaritmo, e o logaritmo de um número negativo não existe nos reais. Raízes de índice ímpar de números negativos são reais, e a calculadora de raízes é a página que sabe a diferença.

Por que a forma expandida para em seis fatores?

Porque a partir daí as reticências carregam tanta informação quanto o produto inteiro. 2 elevado a 64 escrito por extenso passa de cem caracteres repetindo o mesmo fator, e a contagem já está no expoente que você digitou, então abreviar para 2 × 2 × … × 2 não perde nada. Abaixo de seis fatores a multiplicação é escrita por inteiro, e é por isso que 3 elevado a 4 mostra os quatro.

Quando a resposta passa a sair em notação científica?

Quando ela sai da faixa que vai de 0,001 até um milhão — o próprio milhão já está fora, e 10⁶ sai como 1,000000 × 10⁶. Dentro dessa janela o número sai como decimal comum, porque 9.375 se lê de relance e obrigaria a traduzir 9,375 × 10³ antes. A escolha da notação vem depois do arredondamento, e não antes: o valor é fixado em seis casas decimais e só então a faixa é consultada, então qualquer resultado abaixo de 5 × 10⁻⁷ chega ao painel já como zero.

• Power — the definition of a power as repeated multiplication, together with the rules for negative and fractional exponents — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — the operation itself, including the reciprocal rule for negative exponents and the treatment of the indeterminate case 0⁰ — Wolfram MathWorld (United States)
• Exponentiation — the arithmetic of powers across number systems, and the reason a negative base with a non-integer exponent has no real value — Wikipedia